高一期中期末复习——平面向量提升卷（含解析）

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高一期中期末复习——平面向量提升卷
一、单选题
1．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．在中，若，则A=（　　）
A． B． C． D．
4．已知向量，若，则（　　）
A． B． C．或 D．或
5．已知等边三角形 的边长为6，点 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．已知 ，则 的取值范围是（　　）
A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]
7．已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．-1
8．在 中，过中线 的中点 任作一直线分别交 ， 于 ， 两点，设 ， ，则（　　）
A． 为定值 B． 为定值
C． 的最小值为 D． 的最小值为6
二、多选题
9． 已知向量满足，且，则（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（　　）．
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果O为的重心，那么
D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么
11．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（　　）
A． B．
C．a的取值范围是 D．a的取值范围是
三、填空题
12．已知向量，，则在方向上的投影为　 　.
13．在中，内角的对边分别为，且， ，则外接圆的面积为　 　.
14．已知在三角形中，角、、的对边分别为、、，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为　 　．
四、解答题
15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：在中，内角的对边分别为，且满足____.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
16．设向量，满足，，．
（1）求的值；
（2）已知与的夹角的余弦值为，求的值．
17．为了测量一个不规则湖泊 两端之间的距离，如图，在东西方向上选取相距 的 两点，点 在点 的正东方向上，且 四点在同一水平面上．从点 处观测得点 在它的东北方向上，点 在它的西北方向上；从点 处观测得点 在它的北偏东 方向上，点 在它的北偏西 方向上．
（1）求 之间的距离；
（2）以点 为观测点，求点 的方位角．
18． 在平面直角坐标系中，设向量，，其中，分别是的两个内角．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的面积的最大值．
19．如图所示，已知，与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为，并设，其中为实数．
（1）求外接圆的直径；
（2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域；
（3）求为直径时，的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：易知，
则
.
故答案为：B．
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】C
【解析】【解答】依题意 ， ，
设 是 中点，连接 ，
由于三角形 是等边三角形，所以 ， ，
由于 ，所以 ，
所以四边形 是矩形，
所以 ，
中， ，
即 。
故答案为：C
【分析】依题意知 ，再利用三角形法则结合共线定理，得出 ，设 是 中点，连接 ，由于三角形 是等边三角形，再利用三线合一，所以 ， ，由于 ，所以 ，再利用直角三角形中正弦函数的定义，进而求出。
所以四边形 是矩形，
6．【答案】D
【解析】【解答】设 ，则 ，
，
∴（ ）2 2
| |22＝4，所以可得： ，
配方可得 ，
所以 ，
又
则 [0，2]．
故答案为：D．
【分析】设 ，可得 ，构造（ ）2 2 ，结合 ，可得 ，根据向量减法的模长不等式可得解.
7．【答案】C
8．【答案】C
【解析】【解答】由题意可得 ，
，
同理可得 ．
由于 、 共线， ，且 ．
，
，
故 ， ，
， 均与 取值有关，故AB错误；
，当且仅当 时成立，故C正确；
，当且仅当 时成立，故D错误．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合共线定理和平面向量基本定理，再结合求和法和求积法，得出m+n与mn均与 取值有关，再利用均值不等式求最值的方法得出4m+n的最小值和m+4n的最小值，进而找出正确的选项。
9．【答案】B,C
【解析】【解答】解：AD、，，即，整理可得 ，
又因为，且，所以，所以，，故错误；
B、因为，所以的夹角，所以向量共线且方向相反，所以，故B正确；
C、，所以，故C正确．
故答案为：BC．
【分析】将两边平方，结合，即可得和的值，可判断A、C、D；利用向量夹角公式计算向量的夹角，可判断B.
10．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：对于选项A：由题意，结合，
可得，即选项A错误.
对于选项B：由，
可得；
整理得，
即得，即选项B正确；
对于选项C：如果O为的重心，
则可知，
可知，即选项C正确；
对于选项D：如果O为的内心，设内切圆半径为r，
则，
又，，则，所以，
可知，即选项D正确.
故选：BCD.
【分析】依题意易判断A错误，利用平面向量线性运算计算，平面向量基本定理（在同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合）可知B正确，由重心性质可得C正确，根据三角形内心性质并利用勾股定理可判断D正确.
【点睛】
本题关键在于将重心、内心性质转化为向量OA，OB，OC之间得关系式，进而实现问题求解.
11．【答案】A,D
【解析】【解答】AB、 ，
由正弦定理得，，即 ，，即，
，，又，，或（舍），，A正确，B错误；
CD、由正弦定理得，又得，即，，C错误，D正确.
故答案为：AD
【分析】由结合正弦定理得，利用二倍式和和差化积化简得，进而得到判断AB；利用正弦定理可得，再结合锐角三角形求角范围，进而求得a的范围判断CD.
12．【答案】
13．【答案】
【解析】【解答】由，可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，
又由，所以，
设外接圆半径为，可得，所以
所以外接圆的面积为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，进而得出，再利用三角形中角C的取值范围，进而得出角A的余弦值，再结合三角形中交2A的取值范围，进而得出角A的正弦值，再利用正弦定理的性质得出三角形外接圆的半径，再结合圆的面积公式得出三角形外接圆的面积。
14．【答案】
【解析】【解答】解：因为与共线，
所以，即，得，
因为，所以，所以，，
因为，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理可得，
又因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，即，即，
所以，解得，
所以三角形的周长为，
故答案为：.
【分析】根据向量共线，得到，求出角，再根据，利用正弦定理求得2R，然后将转化为边，再结合余弦定理即可得解.
15．【答案】（1）解：若选①，，即，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，化简得，
所以，因为，所以，所以.
若选②因为，由正弦定理可得，
整理得，
又，
所以.
又因为，可得，所以，
又，所以.
若选③，由，
得，
由正弦定理得，整理得，
所以，又，所以.
（2）解：因为，由余弦定理得，
又，所以，即，解得，
则的面积.
【解析】【分析】(1) 若选① ，首先由正弦定理整理化简已知条件结合两角和的余弦公式，代入数值计算出coaA的取值，从而得出角A的大小。 若选② ，由正弦定理整理化简原式然后由两角和的余弦公式，计算出cosA的取值，由此得出角A的取值。 若选③ 首先整理化简原式再由正弦定理，计算出a、b、c之间的关系，并代入到余弦定理由此计算出cosA的取值，从而得出角A的大小。
(2)由(1)的结论结合余弦定理代入数值计算出bc的取值，并代入到三角形面积公式由此计算出结果。
16．【答案】（1）解：由。
可得，
所以；
因此，
可得.
（2）解：因为，
又因为，
所以，
即，则；
又∵，解得．
【解析】【分析】（1）利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出的值，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则和，从而可得的值.
（2）根据数量积求向量夹角计算公式，可得，解方程可得的值.
（1）由可得，
所以；
因此，
可得.
（2）易知
而
所以，
即，也即；
又∵，
解得．
17．【答案】（1）解：由已知得 ，
所以
在 中，由正弦定理得 ．
同理，在 中， ，所以 ，
由正弦定理得 ．可以计算出 ，
在 中， 所以
（2）解：作 ．由（1）知 ，
所以 ，即点 在点 的北偏东 方向上．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角差的正弦公式，进而求出C，D两点的距离。
（2） 作 ，由（1）知 ，进而求出 的值 ，从而求出点 的方位角 。
18．【答案】（1）解： 已知向量，，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
故．
（2）解： 因为，
所以，
即，
因为，
则，
所以，
即．
因为，
即，
所以，
即，
由余弦定理得，分别为内角，，的对边，
由基本不等式得，当且仅当时，取得等号，
所以，当且仅当时，取得等号，
所以面积的最大值为．
【解析】【分析】 (1) 根据向量平行结合两角和公式可得，即可得结果；
(2) 根据数量积的坐标表示结合两角和差公式可得，再利用解三角形知识以及基本不等式运算求解.
19．【答案】（1）解：在中，由余弦定理得，，解得，
由正弦定理得，，
所以外接圆的直径为．
（2）解：连接，由意可知，，
在中，由正弦定理，则，
又因为，
则，
所以
，
由正弦定理得，
所以．
（3）解：法一：设与交于点，当为直径时，，
此时，
由正弦定理可得：，
则由正弦定理得，
由向量的共线定理可得存在，
使得且，
故.
法二：连接，
由题意可知，，
此时，，即，
同理，由，得，
即，
解得，
因此．

【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得的值，再由正弦定理，即可求出外接圆直径.
（2）由正弦定理和同角三角函数的平方关系得出的值，结合两角和的正弦公式得出的值，再由正弦定理得出，并求出函数的定义域.
（3）利用两种方法求解.
法一：由正弦定理和同角三角函数的平方关系，从而得出的值，再结合向量的共线定理，即可求出当为直径时的的值．
法二：连接，由，，从而列方程求解得出当为直径时的的值．
（1）在中，由余弦定理得，，解得，
由正弦定理得，，
所以外接圆的直径为．
（2）连接，由意可知，，
在中，由正弦定理，则，
又，则，
于是
，
由正弦定理得，，
所以．
（3）法一：设与交于点，当为直径时，，
此时，
又由正弦定理可得，
于是，
因此由正弦定理得，
而由向量的共线定理可得存在，使得，且，
故，
法二：连接，由题可知，，
由于此时，，即，
同理，由得，，即，
解得，因此．
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