高一期中期末复习——平面向量基础卷（含解析）

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高一期中期末复习——平面向量基础卷（含解析）
一、单选题
1．已知向量 ，且 ，则向量 可以是（　　）
A． B． C． D．
2．的内角、、的对边分别为、、，若，则等于
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
3．已知向量，若∥，则等于（　　）
A．3 B． C． D．
4．已知向量，，且，则向量与的夹角等于（　　）
A． B． C． D．
5．在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（　　）
A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解
6．设向量 ， ，则“ ”是“ ”成立的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知，，则的最小值为（　　）.
A．-1 B．1 C．4 D．7
二、多选题
9．下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，则与的夹角是钝角
C．向量能作为平面内所有向量的一个基底
D．若，则在上的投影向量为
10．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是(　　)
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，的三角形有两解，则的取值范围为
11．下列条件中，一定能推出三角形ABC为等腰三角形的有（　　）
A． B．
C． D．且
三、填空题
12．在中，若，则　 　 ．
13．如图，网格纸上小正方形的边长为，向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则　 　．
14．海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为　 　m.（计算结果精确到0.1）
四、解答题
15．已知，在下列条件下求
（1）向量与平行时；
（2）向量与的夹角为﹔
（3）向量与垂直时．
16．已知O为坐标原点，，.
（1）判断的形状，并给予证明；
（2）若，求证：A、B、C三点共线；
（3）若D是线段AB上靠近点A的四等分点，求D的坐标.
17．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角B的大小；
（2）若，，△的面积为，求a，c的值．
18．如图，在中，已知，，.Q为BC的中点.
（1）求AQ的长；
（2）P是线段AC上的一点，当AP为何值时，.
19．在中，内角、、的对边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，．求：
（ⅰ）边长；
（ⅱ）的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：不妨设 ，因为 ，且 ，
所以
再将各选项依次代入检验得A选项满足，其他选项不满足.
故答案为：A
【分析】 根据题意，依次分析选项中向量是否与 垂直，即可得答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】由正弦定理得或120°，
故答案为：D.
【分析】 由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合B的范围，由特殊角的三角函数值即可求解出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】因为，若∥，
所以，
所以，
所以。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，进而得出m的值，再由向量的坐标运算和向量的模的坐标表示，进而得出向量的模。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：因为，，所以，
，则，解得，即，
则，，，
，因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直数量积为零求得t的值，再根据向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】由正弦定理得：，
，，则，
，
，，只能为锐角的一个值，只有一个解.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理得，进而结合A，进行判断即可得答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】若 ， ，所以 ，
所以 ，所以 或 ，
即 或 ，
所以“ ”不能推出“ ”，但“ ”可以推出“ ”，
故“ ”是“ ”成立的必要而不充分条件，
故答案为：B.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合二倍角公式，同角三角函数间的关系进行判断即可。
7．【答案】B
8．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以
所以当时，取得最小值1，所以的最小值是1，
故答案是：B
【分析】要求的最小值，只需求的最小值，由已知可得，当时，取得最小值1，所以的最小值是1.
9．【答案】A,D
【解析】【解答】A：原式=，故A正确；
B：当与是相反向量时，此时与的夹角为，此时，故B错误；
C：观察两个向量，发现，所以两向量平行，向量不能作为基底；故C错误；
D：根据要求，，即在上的投影向量为正确；
综上，正确答案为：AD.
【分析】关于A选项：平面向量加减法的运算；关于B选项：需要考虑与为相反向量来进行判断；关于C选项：需观察向量坐标是否成比例，即判断是否平行即可；关于D选项：直接计算投影向量判断结果即可.
10．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、因为sinA＞sinB，所以由正弦定理可得，所以A＞B，故A正确；
B、由余弦定理可知，所以C为钝角，故B正确；
C、因为acosA＝bcosB，由正弦定理可得，即sin2A＝sin2B，
所以或，或，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
D、因为且三角形有两解，所以，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由正弦定理和余弦定理可判断AB，利用正弦定理和倍角公式可判断C，结合三角形解的情况可判断D．
11．【答案】A,D
【解析】【解答】，所以，三角形为等腰三角形，A符合题意；
，整理得，除能得出外还可得出，即三角形为直角三角形，不一定能得出等腰三角形，B不符合题意；
由得，，，或，所以或，三角形不一定是等腰三角形，C不符合题意；
由得，又，所以，则，即，所以，三角形为等边三角形，也属于等腰三角形.
故答案为：AD.
【分析】 利用余弦定理化角为边变形后判断A、B；利用正弦定理化边为角变形判断C；利用正弦定理化角为边变形判断D.
12．【答案】
【解析】【解答】解：因为，
根据余弦定理可得：，
又因为角A为三角形的内角，则，
故答案为：.
【分析】根据题意结合余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
13．【答案】
【解析】【解答】解：以，交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
如图所示：则，，，
因为，所以，，
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，确定向量的坐标，根据向量的坐标运算，即可求得答案.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，设海宝塔塔底中心为点，与交于点，
过点作于点，
则，
由题意知，m，m，
所以，则，
在中，m，
又因为是的外角，即有，
所以，
在中，m，
设m，则m，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，
解得或（舍），
所以m，
所以m，
即海宝塔的高度为m.
故答案为：.
【分析】设海宝塔塔底中心为点，与交于点，过点作于点，再结合角之间的关系和正弦函数的定义、勾股定理，从而可估计出海宝塔的高度.
15．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
16．【答案】（1）解：（法一）由已知有，，，
其中，所以，即，
故为直角三角形.
（法二）由已知有，，，
所以，故为直角三角形.
（2）证明：由已知有，，
因为，所以与共线.
又与有公共点A，所以A，B，C三点共线.
（3）解：因为D是线段AB上靠近点A的四等分点，所以，
则，
故.
【解析】【分析】（1）法一：求出，的坐标，根据可知三角形的形状；法二：求出，，，根据勾股定理逆定理可知三角形的形状；
（2）求出，的坐标，根据向量共线的坐标表示可知与共线；
（3）依题意可得，再由求出的坐标，即可得解.
17．【答案】（1）解：在△中，由正弦定理及已知，得，
即，
整理得到，
，，故，
，故．
（2）解：，故，
由余弦定理得，故，
又，解得，．
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式.
（1）先利用正弦定理进行边化角可得：，再利用两角和的正弦公式进行化简可求出，据此可反推出角B；
（2）利用三角形面积公式可求出，再结合余弦定理可求出，联立，可求出a和c的值.
18．【答案】（1）解：解法一：因为Q为BC的中点，所以
所以，即
解法二：在中，由余弦定理得，
所以，即
在中，根据余弦定理得
在中，根据余弦定理得
因为，所以
解得.
（2）解：在中，由余弦定理得.
所以，即
在中，由余弦定理得
所以，
因为，
所以.
在中，由正弦定理得，
所以，即当时，.
【解析】【分析】 (1) 解法一： 根据 ，两边平方可求解出 AQ的长；
解法二： 利用余弦定理可求出 AQ的长；
(2)在△ABC中，先根据余弦定理求得BC，CQ，再在△ACQ中，由余弦定理得∠QAC的正余弦，进而根据内角和 ， 结合两角和差的正弦公式求解sin∠APQ，最后再在△AQP中，由正弦定理求得AP即可.
19．【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ii）．
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