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平行四边形 单元复习培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
2．如图，四边形的对角线交于点，下列条件能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，四边形是菱形，，，于点H．点E是上一点，且，点F是的中点．点P是线段上一动点．点P在运动过程中，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB的延长线于E，过点D作交BC于点F，连接AF．，，则AF的长是（ ）
A． B． C．3 D．
5．将一张矩形纸片如图所示那样折起，使顶点C落在处，其中，若，则折痕的长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
6．如图，在 中， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 、 两点，作直线 交 于点 ，交 于点 ，连接 .若 ， ，则 的长为
A． B．3 C．2 D．
7．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．下列说法中不正确的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9．如图，在 中，平分线交与点，的平分线交于点，若，，则的长( )
A． B． C． D．
10．如图，菱形的对角线长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在 ABCD中，AC和BD 相交于点O.若AC=8，BD=6，则边 AD长的取值范围是 .
12．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为 ．
13．如图，在菱形中，O是的中点，，垂足为E．若，，则的长为
14．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且，则AB的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，，则的最大值是 ．
16．如图，中，，，，为边上的一动点，以，为边作，则线段长的最小值是 ．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32．
（1）求正方形和正方形的边长；
（2）求阴影部分的面积和周长．
18．如图所示，在 ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线相交于点F，点F恰好在BC上，取AD中点E，连接EF，且EF=2，求 ABCD的周长．
19．如图△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点，若AB=AD，EF=EC，
（1）求证：AF⊥BC
（2）求证：E为AC的中点．
20．如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含角）的直角边重合拼成如图①、图②的四边形．
（1）判断四边形的形状为________；
（2）连接，若直角三角板斜边的长为12，请从图①、图②中选择一个图形，求对角线的长度．
21．如图，矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，P是AD上任一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．求PE+PF的值．
22．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，且．求证：．
23．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．
24．如图，菱形中，，E为边上一点，点F在的延长线上，，作点F关于直线的对称点G，连接．
（1）依题意补全图形，并证明；
（2）用等式表示之间的数量关系，并证明．
25．在中，，动点P从点D出发，以4cm/s的速度沿折线运动，连接交于点O，设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在边上运动时，直接写出的长为＝________，＝________．（用含t代数式表示）
（2）在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求t的值；
（3）点Q与点P同时出发，且点Q在边上由点A向点B运动，点Q的速度是1cm/s，当直线平分的面积时，直接写出t的值．
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平行四边形 单元复习培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
【答案】A
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分且平分一组对角，正方形的对角线相等、垂直互相平分且平分一组对角，
∴正方形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等。
故答案为：A.
【分析】根据正方形和菱形对角线性质上的差异即可判断。
2．如图，四边形的对角线交于点，下列条件能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
3．如图，四边形是菱形，，，于点H．点E是上一点，且，点F是的中点．点P是线段上一动点．点P在运动过程中，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB的延长线于E，过点D作交BC于点F，连接AF．，，则AF的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=5，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∵DF∥AE，AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
由作图得AE=AD=5，
∴四边形ADFE是菱形，
∴FE=AE=5，
∵，
∴BF=FE-BE=5-3=2，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据矩形的对边平行，四个角是直角可得AD∥BC，∠ABC=90°，推得∠ABE=90°，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ADFE是平行四边形，根据题意可得AE=AD=5，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ADFE是菱形，根据菱形的四条边都相等可得FE=AE=5，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得BE和AF的值，即可得出答案.
5．将一张矩形纸片如图所示那样折起，使顶点C落在处，其中，若，则折痕的长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
6．如图，在 中， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 、 两点，作直线 交 于点 ，交 于点 ，连接 .若 ， ，则 的长为
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由作法得 垂直平分 ，
， ， ，
，
，
，
为斜边 上的中线，
，
.
故答案为：A.
【分析】由作法得GF垂直平分BC，由垂直平分线的性质可得FB=FC，CG=BG=2，FG⊥BC，易得FG∥AC，根据三角形的中位线定理得出点F是AB的中点，则CF为AB边的中线，由勾股定理求出AB，进而可得CF.
7．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，
∴OC=OA=AC=2，
∵平行四边形ABCD的周长为12，
∴AB+BC=6，
∵点E是BC的中点，
∴OE=AB，EC=BC，
∴OE+EC=(AB+BC)=3，
∴△COE的周长等于OC+OE+CE=5.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得OC=OA=AC=2，由平行四边形周长计算公式得AB+BC=6，根据三角形中位线定理得OE=AB，EC=BC，则OE+EC=(AB+BC)=3，最后根据三角形周长计算方法可算出△COE的周长.
8．下列说法中不正确的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
9．如图，在 中，平分线交与点，的平分线交于点，若，，则的长( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD∥BC，AB=CD=5，
∴ ∠CBE=∠AEB，
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠CBE，
∴ ∠AEB=∠ABE，
∴ AB=AE，
同理，DF=CD，
∴ AF=DE=2，
∴ EF=AD-AF-DE=3.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB=CD=5，根据平行线的性质和角平分线的定义推出∠AEB=∠ABE，根据等角对等边得到AB=AE，DF=CD，进而求得AF=DE，即可求得.
10．如图，菱形的对角线长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在 ABCD中，AC和BD 相交于点O.若AC=8，BD=6，则边 AD长的取值范围是 .
【答案】1＜AD＜7
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， AC=8，BD=6，
∴OA=AC=4，OD=BD=3，
在△AOD中，4-3＜AD＜4+3，
∴1＜AD＜7.
故答案为：1＜AD＜7.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分求出OA、OD的长，再利用三角形的三边关系即可求解.
12．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为 ．
【答案】
13．如图，在菱形中，O是的中点，，垂足为E．若，，则的长为
【答案】
14．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且，则AB的长为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD=∠ECB，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AB=CD
∴∠DEC=∠ECB，
∴∠ECD=∠DEC
∴DE=DC
∵AD=2AB，
∴AD=2CD，
∴AE=DE=CD=AB=2
故答案为：2.
【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，得出DE=CD，结合已知条件可得AE=DE=AB，即可求解．
15．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，，则的最大值是 ．
【答案】
16．如图，中，，，，为边上的一动点，以，为边作，则线段长的最小值是 ．
【答案】
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32．
（1）求正方形和正方形的边长；
（2）求阴影部分的面积和周长．
【答案】（1）正方形和正方形的边长分别是和；（2）阴影部分的面积和周长分别是和
18．如图所示，在 ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线相交于点F，点F恰好在BC上，取AD中点E，连接EF，且EF=2，求 ABCD的周长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD BC，AB CD，∠BAD+∠CDA=180°，
∴∠FAD=∠AFB，∠FDA=∠CFD．
∵∠BAD与∠ADC的平分线相交于点F，
∴∠FAD=∠BAF ∠BAD，∠ADF=∠CDF ∠ADC，
∴∠FAD+∠ADF=90°，∠BFA=∠BAF，∠FDC=∠CFD，
∴∠AFD=90°，AB=BF，FC=CD，
∴F是BC的中点．
∵E是AD中点，
∴AB=CD=EF=2，AD=2EF=4，
∴ ABCD的周长为2+2+4+4=12．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠AFD是直角，F是BC的中点，再根据直角三角形的性质和平行四边形的判定与性质即可求解。
19．如图△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点，若AB=AD，EF=EC，
（1）求证：AF⊥BC
（2）求证：E为AC的中点．
【答案】（1）证明：由题意可得：
∵AB=AD
∴△ABD为等腰直角三角形
∵F是BD的中点
∴AF⊥BD
∴AF⊥BC
（2）证明：∵AF⊥BC
∴△AFC为直角三角形，E是斜边上一点
∵EF=EC
∴E为AC的中点
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形判定定理可得△ABD为等腰直角三角形，再根据点F是BD的中点，即可求出答案.
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
20．如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含角）的直角边重合拼成如图①、图②的四边形．
（1）判断四边形的形状为________；
（2）连接，若直角三角板斜边的长为12，请从图①、图②中选择一个图形，求对角线的长度．
【答案】（1）平行四边形；
（2）图①：；图②：
21．如图，矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，P是AD上任一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．求PE+PF的值．
【答案】解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴S矩形ABCD=AB BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5，
∴S△AOD=S矩形ABCD=3，OA=OD=，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA PE+OD PF=OA（PE+PF）=××（PE+PF）=3，
∴PE+PF=．
【解析】【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OD=，S△AOD=S矩形ABCD=3，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA PE+OD PF=OA（PE+PF）=××（PE+PF）=3，求得答案．
22．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，且．求证：．
【答案】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】由矩形的性质可得，再利用余角的性质证得，然后通过AAS判定．
23．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．
【答案】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．
理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DA=DB，
∴∠DAC=∠DCA，
∵A′C∥AC，
∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，
∴∠DA′E=∠DEA′，
∴DA′=DE，
∴△A′DE是等腰三角形．
∵四边形DEFD′是菱形，
∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，
∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′，
∵CD∥C′D′，
∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC，
在△A′DE和△EFC′中，
，
∴△A′DE≌△EFC′．
【解析】【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．
24．如图，菱形中，，E为边上一点，点F在的延长线上，，作点F关于直线的对称点G，连接．
（1）依题意补全图形，并证明；
（2）用等式表示之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：补全的图形如图所示；
证明：∵菱形，
∴，
∴，
，
∴，
．
∵，
∴，
∴．
（2）解：之间的数量关系：．
证明：方法1
如图，连接．
∵菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
点F关于的对称点G在线段上，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
证明：方法2
如图，延长到H，使，
∴．
∵菱形，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∵菱形，，点F关于直线的对称点为G，
∴点G在线段上，，
∴．
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可分别求得∠ADB=∠ABD=60°，然后根据DE=EF，可得∠BDE=∠BFE，再根据等式的性质可求得∠ADE=∠FEB；
（2）首先可证明△ABD是等边三角形，△DEG是等边三角形，从而可根据SAS证得△ADE≌△BDG，得出AE=BG，又根据对称得出BG=BF，从而可根据等量代换得出：DF=DB+BF=BC+AE=CG+BG+AE=CG+2AE。
25．在中，，动点P从点D出发，以4cm/s的速度沿折线运动，连接交于点O，设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在边上运动时，直接写出的长为＝________，＝________．（用含t代数式表示）
（2）在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求t的值；
（3）点Q与点P同时出发，且点Q在边上由点A向点B运动，点Q的速度是1cm/s，当直线平分的面积时，直接写出t的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）秒或秒或秒
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