《4.3.1利用“边边边”判定三角形全等》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一、课型
新授课
二、内容分析
(一)课标要求
《义务教育数学课程标准(2022年版)》对利用“边边边”判定三角形全等的内容要求是：了解三角形的稳定性；掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；能用尺规作图：已知三边作三角形.
通过尺规作图发现三边固定不变的三角形是唯一的，由此得出基本事实：三边相等的两个三角形全等；实践操作，拉动由小木棒连接成的三角形与四边形，发现三角形的形状不变，四边形的形状改变，由此感受三角形的稳定性.
本节课通过从一个条件，两个条件，三个条件逐次递增一个条件研究判定三角形全等的条件，渗透了由简单到复杂的研究方法，并且三个条件再次分类为：三角、三边、两边一角、两角一边四种情况逐一讨论，渗透了数学分类讨论的思想方法.
(二)教材解读
初中阶段，在七年级上册，学生已经学面基本图形，即研究了基本元素——点、线、角的相关知识；在七年级下册，学生也已经学行线与相交线，即研究平行线与相交线中的角的位置关系与数量关系，为本章研究三角形提供了研究的思路，为学习全等三角形的判定方法相等角的证明打下坚实的基础.而后，在本册书第五章对研究三大全等变换之一的轴对称，打下基础，所以，本章在这册书中起到承前启后的作用.并且，三角形作为最简单的多边形，为将来研究四边形的概念、判定与性质有着借鉴意义与理论支撑，因此从整个初中数学学习阶段，三角形也起着承前启后的作用.
本节课处于本章第三节第一课时，学生在第二节认识了全等三角形的概念与性质，自然而然产生“如何判断两个三角形全等”这样的疑问，所以，本节课承接上节课的学习内容；而本节第二课时与第三课时是对全等三角形判定的三个条件中两角一边和两边一角继续研究，是本节课知识内容的延申.
本节课要求能尺规作三角形，进而验证三边分别相等的三角形全等，能利用三边分别相等的三角形全等的基本事实解决问题，通过实践操作了解三角形的稳定性.
其中，能利用三边分别相等的三角形全等的基本事实解决问题是本节课的重难点，因此在本节课设计为小组活动，共同整理思路，教师点拨及规范解答过程.
三、学情分析
1.基础知识
学生对两直线特殊位置关系下的角及全等三角形的性质有了深刻的研究与学习，尤其是尺规作角经尺规作平行的学习后再加强了锻炼，所以对利用角与边的数量关系判定三角形全等已有经验.但文字语言、图形语言与符号语言的转化是学生们遇到的一大难点，另外，随着知识内容的充盈，所需要的综合运用能力越来越高，这两部分还需要多加练习与思考.
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，尤其在经过了第二章的学习后，学生能主动总结反思，大胆质疑提出疑问，构建知识间的联系，但是在有效表达，简洁有针对性，尤其是三种语言的转化上还稍有欠缺.因此，设计活动时，对知识间的顺序与联系进行总结，对三种语言的转化练习尤为重要，最后教师指导再进行完善，以此培养学生反思总结、有效表达、大胆质疑、及时整理的习惯.
3.关键能力
学生经过第二章与本章三角形的基本认识后，对特殊位置关系的图形有着直观的感受，但对抽象归纳其特征，尤其是使用符号语言进行表达有些欠缺，因此学生在对信息获取与加工的能力和对语言的组织与表达这方面有一定基础，但在数学语言表达的专业性、简洁性和规范性上都需要提高；多数学生能根据全等三角形的性质进行简单的应用，对复杂图形或者需要多个知识点综合的题目较难推导证明，提出疑问与其他相关问题较少，因此学生在对逻辑推理论证能力这方面有一定基础，但对其深度和广度还不够，在批判性思维和辩论的能力这方面表现较弱；学生在对知识的建构上有了一定的基础，但对知识的迁移与转化能力较弱，因此学生在对思维建模能力(可视化)表现还需要培养.
四、学习目标
基础性目标 1.我能按照一个条件、两个条件、三个条件的分类顺序对全等三角形的判定方法进行研究. 2.我能画出一个条件、两个条件、三个角相等的条件下的三角形不能判定三角形全等.
拓展性目标 3.我能使用尺规画出三个边相等的条件下的三角形，并总结公理（基本事实）：三边分别相等的两个三角形全等（SSS）. 4.我能根据具体实例了解三角形的稳定性，并举例说明. 5.我能运用SSS解决判定全等三角形的几何问题.
挑战性目标 6.我能改编本节课课本上的练习题，或创编判定全等三角形的练习题，并能写出解答步骤.
五、实施路径
基础性目标 实现路径 课前：通过填写全等三角形的概念与性质的文字语言与符号语言，进而提出本节课的问题：判定三角形全等的方法.
课堂：通过由简单到复杂的分类标准，完成基础性目标1活动，将研究条件从一个到六个进行分类，提供研究思路；通过对一个条件，两个条件的作图，发现一个条件或者两个条件无法判定三角形全等，完成基础性目标活动2，学生回答，教师补充.
拓展性目标 实现路径 课前：学生尝试自主完成拓展性目标活动.
课堂：通过三个条件中对三边分别相等的三角形作图，发现三边分别相等的三角形全等，自主完成拓展性目标活动3，学生板演或投屏展示，教师指导，完善答案；通过拉动三角形与四边形的小木棒观察发现，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，完成拓展性目标活动4，个人展示总结结论，其他同学补充，完善答案，教师总结点评；通过小组合作，对练习题进行思路分享，小组合作完成拓展性目标活动5，再经由教师点拨完成，规范解题过程.
挑战性目标 实现路径 课堂：通过编写包含“SSS”的题目，总结运用该基本事实的特征，学生尝试合作完成挑战性目标活动6，小组合作展示，其他学生补充，教师总结.
课后：补充完善小组合作内容，形成成果，并尝试再编写题目.
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务；组织学生核对预备性知识答案，回顾全等三角形的性质. 明确本节课的学习任务；核对预备性知识答案，回顾全等三角形的性质.
主动探究 基础过关 5分钟 组织学生展示基础性目标活动1（分类标准与分类结果），及时点拨疑问；指导学生完成基础性目标活动2（对每种分类结果画图验证），提出如何判定两个三角形是全等的问题，引导学生观察思考与探究组织学生回答问题，教师及时补充. 展示基础性目标活动1（分类标准与分类结果），提出疑问，做好总结；完成基础性目标活动2（对每种分类结果画图验证），观察画图结果，思考如何判定两个三角形是全等的问题，回答问题，及时记录.
自主探讨 个人展评 10分钟 组织学生自主探究拓展性目标活动3（尺规作三边分别相等的三角形），组织学生板演或投屏分享，帮助学生规范作图过程，对规范的作图进行肯定，易错的作图要点指导；自主探究拓展性目标活动4（操作了解三角形稳定性），组织学生展示，帮助学生总结结论；指导学生小组合作完成拓展性目标活动5（练习题），小组内指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬. 自主探究拓展性目标任务活动3（尺规作三边分别相等的三角形），完善作图过程，提出质疑，做好记录；自主探究拓展性目标活动4（操作了解三角形稳定性），完善表达结论的语言，提出质疑，做好记录；小组合作完成拓展性目标任务活动5（练习题），重点是如何表达，理清思路，互相补充，并记录疑问.
合作探讨 挑战突破 15分钟 指导学生小组合作完成挑战性目标活动6（编写题目），小组内指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬. 小组合作完成挑战性目标任务活动6（编写题目），重点是如何表达，理清思路，互相补充，并记录疑问.
答疑解惑拓展能力 5分钟 组织学生展示不懂或存疑的问题，教师补充与总结或留作课后思考；对当堂练习进行点拨. 学生展示不懂的问题，记录答案或思路，课下完善；完成当堂练习.
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标. 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度.
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充. 分享课堂收获，互相补充.
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4.3.1利用“边边边”判定三角形全等
郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
学习目标
基础性目标 1.我能按照一个条件、两个条件、三个条件的分类顺序对全等三角形的判定方法进行研究.
2.我能画出一个条件、两个条件、三个角相等的条件下的三角形不能判定三角形全等.
拓展性目标 3.我能使用尺规画出三个边相等的条件下的三角形，并总结公理(基本事实)：三边分别相等的两个三角形全等(SSS).
4.我能根据具体实例了解三角形的稳定性，并举例说明.
5.我能运用SSS解决判定全等三角形的几何问题.
挑战性目标 6.我能改编本节课课本上的练习题，或创编判定全等三角形的练习题，并能写出解答步骤.
预备性知识
1.什么叫全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.全等三角形有什么性质
△ABC≌△DEF
AB=DE AC=DF BC=EF
(1)全等三角形的对应边相等.
(2)全等三角形的对应角相等.
∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F
A
B
C
D
E
F
活动1(基础性目标1)
A
B
C
D
E
F
AB=DE ，AC=DF，BC=EF
∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F
一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗
按照一个条件，两个条件，三个条件，四个条件，五个条件，六个条件的分类顺序进行研究.
活动2(基础性目标2)
(1)给出一个条件画三角形时，有哪几种可能的情况
有一条边对应相等的三角形不一定全等
①一条边：画一条边为3cm的三角形
有一个角对应相等的三角形不一定全等
②一个角：画一个内角为30°的三角形.
活动2(基础性目标2)
(2)给出两个条件画三角形时，有哪几种可能的情况
每种情况下画出的三角形一定全等吗？请你试一试，并于同伴进行交流.
已知一个角和一条边的大小；
已知两个角的大小；
已知两条边的大小.
活动2(基础性目标2)
30o
3 cm
①已知一角一边画三角形.
例如：三角形的一个内角为30°，一条边为3 cm；
不一定全等.
活动2(基础性目标2)
②已知两角画三角形.
例如：三角形的两个内角分别是30°和50°；
50°
50°
30o
不一定全等.
活动2(基础性目标2)
③已知两边画三角形.
例如：三角形的两条边分别为4 cm，6 cm.
6 cm
4 cm
结论：有一个或两个条件对应相等不能保证所画出的三角形一定全等.
4 cm
4 cm
不一定全等.
活动3(拓展性目标3)
有四种可能：三个角、三条边、两边一角、两角一边.
三个内角分别相等的两个三角形不一定全等.
60o
300
300
60o
(3)给出三个条件画三角形时，有哪几种可能的情况？与同伴进行交流.
①已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
活动3(拓展性目标3)
②已知一个三角形的三条边分别为4 cm，5 cm和7 cm，你能画出这个三角形吗 把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗
一定全等.
7cm
5cm
4cm
5cm
7cm
4cm
活动3(拓展性目标3)
三角形全等的条件:“边边边”
(SSS)
符号语言：
在△ABC和△A'B'C'中，
△ABC≌△A'B'C'
∴
A
B
C
A'
B'
C'
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.
在列举两个三角形全等的条件时，一般是把同一个三角形的三个量放在等号的同一侧.
已知三角形的三边，用尺规作这个三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的.
AB=A'B'，
BC=B'C'，
AC=A'C'.
∵
活动3(拓展性目标3)
通过刚才的探究过程，我们可以总结出“已知三角形的三边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤.
如图，已知:线段a，b，c，用尺规作△ABC，使得AB=c，AC=b，BC=a．
(3)小组合作，选择三条线段作为三角形的三条边，并用尺规作出这个三角形.把你作的三角形与同伴作的进行比较，它们一定全等吗
一定全等.
活动3(拓展性目标3)
作法 示范
1.作一条线段BC=a.
2.分别以点B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于点A.
3.连接AB，AC.
△ABC就是所要作的三角形.
即确定了三角形的两个顶点.
即确定了三角形的第三个顶点.
作法与示范：
活动4(拓展性目标4)
准备几根硬纸条.
(1)取出三根硬纸条钉成一个三角形(如图1)，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？
图 1
(2)取出四根硬纸条钉成一个四边形(如图2)，拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？
图2
(3)上面的现象说明了什么？
三角形具有稳定性；四边具有不稳定性.
不变.
形状改变了.
活动4(拓展性目标4)
三角形的稳定性
由上面的结论可知，只要三角形三条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小也就完全确定了，三角形的这个性质叫做“三角形的稳定性”.
这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.
活动4(拓展性目标4)
在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子，如下图.
你还能举出一些其他例子吗？
阅读·欣赏
跪姿射击的稳定性
跪姿射击的情形。
你还能找到其他三角形吗？
活动4(拓展性目标4)
活动5(拓展性目标5)
1.已知: 如图，AB = AD ，BC = DC .
问∠B 与 ∠D 相等吗 为什么
解：∠B与∠D相等.
理由：连接AC
在△ABC与△ADC中
AB=AD，AC=AC，BC=DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)
∴∠B=∠D.
A
B
C
D
活动5(拓展性目标5)
2. 已知: 如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，AB = DE ，AC = DF，BE = CF，请说明:△ABC ≌ △DEF.
解：∵BE=CF，
∴BC=BE+EC=CF+EC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
A
D
B
C
E
F
活动6(挑战性目标6)
请根据三边分别相等的两个三角形全等(SSS)这一基本事实，改编或创编一道几何练习题，并做出解答
课堂小结
对照学习目标检查学习效果
基础性目标 1.我能按照一个条件、两个条件、三个条件的分类顺序对全等三角形的判定方法进行研究.
2.我能画出一个条件、两个条件、三个角相等的条件下的三角形不能判定三角形全等.
拓展性目标 3.我能使用尺规画出三个边相等的条件下的三角形，并总结公理(基本事实)：三边分别相等的两个三角形全等(SSS).
4.我能根据具体实例了解三角形的稳定性，并举例说明.
5.我能运用SSS解决判定全等三角形的几何问题.
挑战性目标 6.我能改编本节课课本上的练习题，或创编判定全等三角形的练习题，并能写出解答步骤.
当堂检测
1.(拓展性目标3)已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c，下列作法的合理顺序为 (填序号).
①分别以点B，C为圆心，c，b为半径在BC的同侧作弧，两弧交于点A；
②作射线BM，在BM上截取BC=a；
③连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形.
2.(拓展性目标4)如图所示，一扇窗户打开后，
用窗钩AB可以将其固定，这里所运用的几何
原理是 .
三角形具有稳定性
②①③
当堂检测
3.(拓展性目标5)下图的三角形中，与左图中△ABC全等的是( )
C
4.(拓展性目标5)如图所示，点D，E分别在AB，AC上，AB=AC，BE=CD，要依据“SSS”判定△ABE≌△ACD，
还需补充的条件是 .(填一个即可)
AE=AD
当堂检测
5.(拓展性目标5)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是它的一条中线，△ABD与△ACD全等吗 为什么
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
在△ABC和△DEF中，
BD=CD，AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
基础性作业：
1.下列多边形具有稳定性的是( )
D
课后作业 (可根据实际选做)
2.如图所示，在△ABC中，D为边BC上一点，点E在AD上，AB= AC，EB=EC，则运用“SSS”可以直接判定
( )
A.△ABD≌△ACE B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△ACD D.以上选项均不对
B
课后作业 (可根据实际选做)
拓展性作业：
3.如图所示，点B，F，C，D在同一直线上，AB=EF，AC=ED，BF=CD，∠A=95°，∠B=25°，则∠D的度数为( )
A.60° B.25°
C.70° D.95°
A
课后作业 (可根据实际选做)
4.如图所示，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是( )
A.两点之间，线段最短
B.垂线段最短
C.三角形具有稳定性
D.两直线平行，内错角相等
C
课后作业 (可根据实际选做)
5.如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由.
A
B
C
D
解：全等，理由如下：
在△ABC和△DCB中
AB=CD，AC=BD，BC=CB
∴△ABC≌△DCB(SSS).
课后作业 (可根据实际选做)
6.如图所示，已知线段a，b，求作:△ABC，使BC=a，AC=AB=b.
解:作法:如图，(1)作射线BE；
(2)在射线BE上截取BC=a；
(3)分别以点B，C为圆心，b为半径画弧，
两弧在射线BE的同侧交于点A.
(4)连接AB，AC.
则△ABC就是所求作的三角形.
课后作业 (可根据实际选做)
挑战性作业：
7.如图所示，点A，D，C，F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE， BC=EF.
(1)试说明:△ABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
(3)你还能提出什么问题？并解答.
解:(1)∵AD=CF，
∴AD+DC=CF+DC，即AC=DF.
在△ABC和△DEF中，
∵AB=DE，BC=EF，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠ACB.
∵∠A=55°，∠B=88°，
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)
=180°-(55°+88°)=37°，
∴∠F=∠ACB=37°.
(3)答案不唯一
课后作业 (可根据实际选做)
8.模仿上一题改编一道同类型题目并解答.
课后作业 (可根据实际选做)
Thanks!
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