《4.3.2利用“角边角”“角角边”判定三角形全等》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一、课型
新授课
二、内容分析
(一)课标要求
《义务教育数学课程标准(2022年版)》对利用“角边角”“角角边”判定三角形全等的内容要求是：掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；能用尺规作图：已知两角及其夹边作三角形.
通过尺规作图发现两角及其夹边分别相等的三角形是唯一的，由此得出基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；进而利用这一基本事实证明：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
本节课通过从三个条件中的两角一边详细分类为：两角及其夹边和两角与其中一组等角的对边两种情况研究，渗透了数学分类讨论的思想方法；并将研究两角与其中一组等角的对边的情况转化为两角及其夹边的情况，渗透了数学转化的思想方法.
(二)教材解读
初中阶段，在七年级上册，学生已经学面基本图形，即研究了基本元素——点、线、角的相关知识；在七年级下册，学生也已经学行线与相交线，即研究平行线与相交线中的角的位置关系与数量关系，为本章研究三角形提供了研究的思路，为学习全等三角形的判定方法相等角的证明打下坚实的基础.而后，在本册书第五章对研究三大全等变换之一的轴对称，打下基础，所以，本章在这册书中起到承前启后的作用.并且，三角形作为最简单的多边形，为将来研究四边形的概念、判定与性质有着借鉴意义与理论支撑，因此从整个初中数学学习阶段，三角形也起着承前启后的作用.
本节课处于本章第三节第二课时，学生在第一课时以研究三个条件下三角与三边的情况，自然而然产生“两角一边能否判定两个三角形全等”这样的疑问，所以，本节课承接上节课的学习内容；而本节第三课时是对全等三角形判定的三个条件中两边一角继续研究，是本节课知识内容的延申.
本节课要求能尺规作三角形，进而验证两角及其夹边分别相等的三角形全等；通过两角与其中一组等角的对边的情况转化为两角及其夹边的情况，证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；能利用两角及其夹边分别相等的三角形全等的基本事实解决问题.
其中，能利用两角及其夹边分别相等的两个三角形全等的基本事实和两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等的定理解决问题是本节课的重难点，因此在本节课设计为小组活动，共同整理思路，教师点拨及规范解答过程.
三、学情分析
1.基础知识
学生对两直线特殊位置关系下的角及全等三角形的性质有了深刻的研究与学习，尤其是尺规作角经尺规作平行的学习后再加强了锻炼，所以对利用角与边的数量关系判定三角形全等已有经验.但文字语言、图形语言与符号语言的转化是学生们遇到的一大难点，另外，随着知识内容的充盈，所需要的综合运用能力越来越高，这两部分还需要多加练习与思考.
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，尤其在经过了第二章的学习后，学生能主动总结反思，大胆质疑提出疑问，构建知识间的联系，但是在有效表达，简洁有针对性，尤其是三种语言的转化上还稍有欠缺.因此，设计活动时，对知识间的顺序与联系进行总结，对三种语言的转化练习尤为重要，最后教师指导再进行完善，以此培养学生反思总结、有效表达、大胆质疑、及时整理的习惯.
3.关键能力
学生经过第二章与本章三角形的基本认识后，对特殊位置关系的图形有着直观的感受，但对抽象归纳其特征，尤其是使用符号语言进行表达有些欠缺，因此学生在对信息获取与加工的能力和对语言的组织与表达这方面有一定基础，但在数学语言表达的专业性、简洁性和规范性上都需要提高；多数学生能根据全等三角形的性质进行简单的应用，对复杂图形或者需要多个知识点综合的题目较难推导证明，提出疑问与其他相关问题较少，因此学生在对逻辑推理论证能力这方面有一定基础，但对其深度和广度还不够，在批判性思维和辩论的能力这方面表现较弱；学生在对知识的建构上有了一定的基础，但对知识的迁移与转化能力较弱，因此学生在对思维建模能力(可视化)表现还需要培养.
四、学习目标
基础性目标 1.我能使用尺规画出两角及其夹边相等的条件下的三角形，并总结公理（基本事实）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）.
拓展性目标 2.我能根据ASA证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS). 3.我能运用ASA、AAS解决判定全等三角形的几何问题.
挑战性目标 4.我能改编本节课课本上的练习题，或创编判定全等三角形的练习题，并能写出解答步骤.
五、实施路径
基础性目标 实现路径 课前：通过填写全等三角形的判定方法一（SSS）的文字语言与符号语言，进而提出本节课的问题：判定三角形全等的其他方法.
课堂：通过三个条件中对两角及其夹边分别相等的三角形作图，发现两角及其夹边分别相等的三角形全等，自主完成基础性目标活动1，学生板演或投屏展示，教师指导，完善答案.
拓展性目标 实现路径 课前：学生尝试自主完成拓展性目标活动.
课堂：将两角与其中一组等角的对边的情况转化为两角及其夹边的情况，进而证明两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等自主完成拓展性目标活动2，学生板演或投屏展示，教师指导，完善答案；通过小组合作，对练习题进行思路分享，小组合作完成拓展性目标活动3，再经由教师点拨完成，规范解题过程.
挑战性目标 实现路径 课堂：通过编写包含“ASA”“AAS”的题目，总结运用该基本事实与定理的特征，学生尝试合作完成挑战性目标活动4，小组合作展示，其他学生补充，教师总结.
课后：补充完善小组合作内容，形成成果，并尝试再编写题目.
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务；组织学生核对预备性知识答案，回顾全等三角形的判定方法一（SSS）. 明确本节课的学习任务；核对预备性知识答案，回顾全等三角形的判定方法（SSS）.
主动探究 基础过关 5分钟 学生自主基础性目标活动2（尺规作两角及其夹边分别相等的三角形），组织学生板演或投屏分享，帮助学生规范作图过程，对规范的作图进行肯定，易错的作图要点指导. 自主探究基础性目标任务活动1（尺规作两角及其夹边分别相等的三角形），完善作图过程，提出质疑，做好记录.
自主探讨 个人展评 10分钟 自主探究拓展性目标活动3（两角分别相等且其中一组等角的对边相等），组织学生展示，帮助学生总结结论；指导学生小组合作完成拓展性目标活动4（练习题），小组内指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬. 自主探究拓展性目标活动3（两角分别相等且其中一组等角的对边相等），完善表达结论的语言，提出质疑，做好记录；小组合作完成拓展性目标任务活动4（练习题），重点是如何表达，理清思路，互相补充，并记录疑问.
合作探讨 挑战突破 15分钟 指导学生小组合作完成挑战性目标活动5（编写题目），小组内指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬. 小组合作完成挑战性目标任务活动5（编写题目），重点是如何表达，理清思路，互相补充，并记录疑问.
答疑解惑拓展能力 5分钟 组织学生展示不懂或存疑的问题，教师补充与总结或留作课后思考；对当堂练习进行点拨. 学生展示不懂的问题，记录答案或思路，课下完善；完成当堂练习.
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标. 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度.
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充. 分享课堂收获，互相补充.
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4.3.2利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
学习目标
基础性目标 1.我能使用尺规画出两角及其夹边相等的条件下的三角形，并总结公理(基本事实)：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA).
拓展性目标 2.我能根据ASA证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).
3.我能运用ASA、AAS解决判定全等三角形的几何问题.
挑战性目标 4.我能改编本节课课本上的练习题，或创编判定全等三角形的练习题，并能写出解答步骤.
2.符号语言
在△ABC和△DEF中，
AB=DE，
AC=DF，
BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
对应相等的两个三角形全等，简写为 .
1.三角形全等的条件:“边边边”
“边边边”或“SSS”
三边
注意：在列举两个三角形全等的条件时，一般是把同一个三角形的三个量放在等号的同一侧.
A
B
C
D
E
F
预备性知识
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:
三个条件
① 三边
② 三角
③ 两角一边
④ 两边一角
SSS
不能
活动1(基础性目标1)
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢
① 两角及夹边
A
B
C
② 两角和其中一角的对边
B
A
C
每种情况下得到的三角形都全等吗
活动1(基础性目标1)
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，情况会怎样呢？小组合作，选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形.
活动1(基础性目标1)
一定全等.
例如，三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm.
80°
60°
2 cm
你作的三角形与同伴作的一定全等吗？
三角形全等的条件:“角边角”
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
符号语言：
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D，
AB=DE，
∠B=∠E，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
注意：书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一定要把夹边相等写在中间，以突出角边角的位置以及对应关系.
活动1(基础性目标1)
如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c.
你作的三角形与同伴作的一定全等吗
活动1(基础性目标1)
回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤.
请按照给出的作法作出相应的图形：
作法 图形
△ABC就是所要作的三角形.
1.作∠DAF=∠α.
2.在射线 AF上截取线段 AB=c.
3.以点B为顶点，以BA为一边作∠ABE=∠B，BE交AD于点C.
D
A
F
B
E
C
作法思路：先作一角，截一边，在边同侧的另一端作另一角.
另一种作法是先作一边，再在边的两端同侧分别作角.
还有其他作法吗？
活动1(基础性目标1)
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢 你能将它转化为“活动一”中的条件吗 与同伴进行交流.
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，两个三角形全等.
能将它转化为“尝试·思考”中的条件，根据三角形内角和为180°，可以求出第三个角，这样就可以转化为已知两角及其夹边得到三角形全等了.
你能证明你的结论吗？
活动2(拓展性目标2)
在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
∴△ABC≌△DEF(ASA ).
解：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
∴ ∠C＝180°－∠A－∠B.
同理 ∠F＝180°－∠D－∠E.
又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E，
∴ ∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
∵
活动2(拓展性目标2)
活动2(拓展性目标2)
符号语言：
在△ABC和△DEF中，
∠B = ∠E，∠A = ∠D，AC = DF，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
A
B
C
D
E
F
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
活动3(拓展性目标3)
1.如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗 为什么
∴ △AOC ≌ △BOD(ASA).
∵ O是 AB 中点，
∴OA = OB.
又∵∠A = ∠B，∠AOC = ∠BOD，
解：全等.
活动3(拓展性目标3)
2.如图所示，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE.
试说明:BD=CE.
解:∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，∠BAE+∠BAD=90°，
∴∠CAE=∠BAD.
在△ABD和△ACE中，
∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(ASA)，
∴BD=CE.
活动4(挑战性目标4)
请根据两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)的基本事实，和两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)的定理，改编或创编一道几何练习题，并做出解答.
课堂小结
对照学习目标检查学习效果
基础性目标 1.我能使用尺规画出两角及其夹边相等的条件下的三角形，并总结公理(基本事实)：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA).
拓展性目标 2.我能根据ASA证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).
3.我能运用ASA、AAS解决判定全等三角形的几何问题.
挑战性目标 4.我能改编本节课课本上的练习题，或创编判定全等三角形的练习题，并能写出解答步骤.
当堂检测
1. (基础性目标1)莉莉不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，她是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形玻璃吗 如果可以，带哪块去合适
1
第1块.
2
3
当堂检测
2.(基础性目标1)如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是( )
A.已知两边及夹角 B.已知三边
C.已知两角及夹边 D.已知两边及一边的对角
C
3.(拓展性目标3)如图，已知∠A =∠D，AB = CD，可得△ABO≌_______，理由是______.
A
B
C
D
O
△DCO
AAS
当堂检测
解:如图所示，△A1B1C1即为所求.
4.(基础性目标1)如图所示，△ABC被污渍污染了，请你重新作一个△A1B1C1，使△A1B1C1≌△ABC(要求:用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹).
当堂检测
5.(拓展性目标3)如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D.试说明：△ABC ≌ △AED.
解：理由如下：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC =∠2+∠EAC，
即∠BAC = ∠EAD.
又∵∠C = ∠D，AB = AE，
∴ △ABC ≌ △AED (AAS).
A
B
C
E
D
1
2
课后作业 (可根据实际选做)
基础性作业：
1.如图所示，AE=AD，∠B=∠C，则△ABD≌ ，理由是 .
△ACE
AAS
课后作业 (可根据实际选做)
2.如图①，已知线段a，∠1，求作△ABC，使BC=a，∠ABC= ∠BCA=∠1，张蕾的作法如图②所示，则下列说法中一定正确的是 ( )
A.作△ABC的依据为ASA
B.弧EF是以AC长为半径画的
C.弧MN是以点A为圆心，a为半径画的
D.弧GH是以CP长为半径画的
A
课后作业 (可根据实际选做)
3. 如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点E，DE=FE ，FC∥AB.若AB=4，CF=3，则 BD的长是( )
A. 0.5
B. 1
C. 1.5
D. 2
B
课后作业 (可根据实际选做)
拓展性作业：
4.如图所示，在△ABC中，F为AC的中点，E为AB上一点，D为EF延长线上一点，∠A=∠ACD，则CD与AE的关系为( )
A.相等 B.平行
C.平行且相等 D.以上均不正确
C
课后作业 (可根据实际选做)
5.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC(AAS)，
∴AB=AD.
∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
证明：
∠1=∠2 ，
∠ B=∠D，
AC=AC ，
∵
课后作业 (可根据实际选做)
6.如图所示，已知线段a和∠α，用尺规作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=2∠α.
解:如图，△ABC就是所求作的三角形.
课后作业 (可根据实际选做)
挑战性作业：
7.如图所示，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F.
(1)若∠ABF=63°，求∠ADE的度数;
解:(1)∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°.
又∵AD∥BC，∴∠BAD=90°，
即∠BAF+∠DAE=90°.
∵DE⊥AC，∴∠DEA=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF.
∵BF⊥AC，∠ABF=63°，
∴∠ADE=∠BAF=90°-63°=27°.
课后作业 (可根据实际选做)
(2)DE=BF+EF.
理由:∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠AED=90°.
在△ABF和△DAE中，
∠BFA=∠AED，∠BAF=∠ADE，AB=DA，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴BF=AE，AF=DE.
∵AF=AE+EF，
∴DE=BF+EF.
(3)答案不唯一
(2)请写出线段BF，EF，DE三者之间的数量关系，并说明理由.
(3)你还能提出什么问题？并解答.
8.模仿上一题改编一道同类型题目并解答.
课后作业 (可根据实际选做)
Thanks!
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