《三角形》复习课自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
一、梳理巩固
请同学们通过自主回忆和查阅资料将本单元知识点的相关内容填写完整。
三角形的概念、基本要素及表示
概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.
基本要素：三角形的基本元素有三个顶点、三个内角、三条边。
表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”. 如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
三角形的内角和
三角形的内角和等于180°.
几何语言：在 _.
证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
测量法： 剪角拼角法 ：
直角三角形的表示方法及性质
表示方法：直角三角形用符号“”表示，如。
性质：直角三角形的两个锐角互余。
几何语言：在,
4.三角形的分类
三角形的三边关系
三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边．三角形任意两边之差小于第三边.
6.三角形的三条重要线段
7.全等三角形的概念及表示
概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上.如三角形△ABC和△DEF全等，记作“△ABC≌△DEF”。
对应顶点：点A和点D; 点B和点E; 点C和点F;
对应边:AB和DE; AC和DF; BC和EF;
对应角: ∠A和∠D; ∠B和∠E; ∠C和∠F .
8.全等三角形的性质
性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等.
几何语言：∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE; AC=DF; BC=EF（全等三角形的对应边相等）。
∠A=∠D; ∠B=∠E; ∠C=∠F .（全等三角形的对应角相等）。
9.全等三角形的判定
判定1.边边边（SSS）
1、三边分别相等的的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
几何语言：
2.（边角边SAS）
两边及其夹角相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
几何语言：
3.（角边角ASA）
两角及其夹边的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
几何语言：
4. (角角边AAS）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
几何语言：
10．全等三角形的应用
应用1：应用尺规作三角形
应用2：三角形的稳定性
应用3：利用三角形全等测距离
二、绘制本单元思维导图（课前完成）
建议：绘制思维导图关注四个要素：
一是关键词（不是短语，更不是句子），
二是连接线（类似神经元的曲线方式），
三是布局（核心在中间，逐级展开），
四是色彩（合理运用色彩，原则上每一层级一个色彩）；
六个标准： 一是内容完整，二是表述简练，三是结构明确，四是重点突出，五是逻辑清楚，六是布局合理
三、巩固检测
专题一 三角形的相关概念、性质和重要线段
1．已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边长的是（ D ）
A． B． C． D．
2.下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（ D ）
A．B．C． D．
3. 如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（ A ）
A． B． C． D．
4．如图，中，是高，角平分线交于点，若，，则的度数为（ B ）
A． B． C． D．
5. 如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（ A ）
A． B． C． D．
专题二 全等三角形
1．如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（ D ）
A． B．
C． D．
2．如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（ C ）
A． B． C． D．
3. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上．已知，．给出下列条件：①，②，③，④，能判定的是（ C ）
A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①②③④
4. 如图，△ABC和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．求证：DE＝BC；
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠DCB+∠ACF＝90°，
∴∠FAC＝∠DCB，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（ASA），
∴DE＝BC；
专题三 全等三角形的应用
如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理：根据仪器结构，可以说明三角形全等，进而得到角相等。观察此图，可以得到△ADC≌△ABC (全等的三角形)，此角平分仪的画图原理是SSS.(填写判定方法的字母)
解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AE是∠PRQ的平分线，
2. 如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，从三角形全等的角度分析，你能说明其中的道理吗？
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
∴AD＝AB，
3. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D．已知AB＝20米．你能根据上述信息求得标语CD的长度吗？
解：∵AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，
∴OB＝OD，
∵OB⊥AB，OD⊥DC，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD＝AB＝20m，
4.如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处观察E处，测得其视线与水平线之间的夹角为，小华站在E处观察楼顶A处，测得其视线与水平线之间的夹角为，发现与互余．已知，，，试求单元楼的高．
解：如图，过点作，垂足为，
∴，，，
与互余，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴单元楼的高为．
四、思维提升
你对三角形全等的判定条件的探究过程及方法有怎样的感悟？还能找出哪些运用这种思考问题的方法的例子？把你的感悟和案例记录下来，并以此为主题写一篇小短文。
五、总结反思
对照学习目标检查学习效果，谈谈你的感受、收获或困惑！
六、课后练习
1．（基础性练习）如图，表示两根长度相等的铁条，铁条的长度为．若O是的中点，，则容器的内径的长度是（ B ）
A． B． C． D．
2．（拓展性练习）如图，是一段斜坡，是水平线．欢欢为了测量斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿与斜坡垂直，在D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E，绳子可以在竹竿F上自由滑动．当时，测得，则 2 ．其中，运用到的判定三角形全等的依据是 /角角边 ．
3．（t挑战性练习）图①是一个单摆小球实验器，图②是摆球摆动过程中的示意图．已知摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得长为；当摆线位于位置时，，则此时摆球到的水平距离为 80 ．
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
一、梳理巩固
请同学们通过自主回忆和查阅资料将本单元知识点的相关内容填写完整。
三角形的概念、基本要素及表示
概念：由_____________上的________________________所构成的图形叫做三角形.
基本要素：三角形的基本元素有 、 _______、 .
表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ ”.
三角形的内角和
三角形的内角和等于_____________________.
几何语言：在_____________________________________.
证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
测量法： 剪角拼角法 ：
直角三角形的表示方法及性质
表示方法：直角三角形用符号“________”表示，如 ______________________。
性质：直角三角形的两个锐角______________________。
几何语言：在,
4.三角形的分类
三角形的三边关系
三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和___________________．三角形任意两边之差_________________________________.
6.三角形的三条重要线段
7.全等三角形的概念及表示
概念：___________________叫做全等三角形.
对应元素：两个三角形全等，互相重合的_______叫做对应顶点，互相重合的____叫做对应边，互相重合的_____叫做对应角.
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在______________.如三角形△ABC和△DEF全等，记作_________________。
对应顶点：__________________________________.
对应边：______________________________________.
对应角:__________________________________________.
8.全等三角形的性质
性质：全等三角形的_________________,____________________.
几何语言：∵△ABC≌△DEF
∴____________________________________（全等三角形的对应边相等）。
____________________________________（全等三角形的对应角相等）。
9.全等三角形的判定
判定1.边边边（SSS）
1、________________________的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
几何语言：
2.（边角边SAS）
____________________________的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
几何语言：
3.（角边角ASA）
____________________________的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
几何语言：
4. (角角边AAS）
____________________________的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
几何语言：
10．全等三角形的应用
应用1：应用尺规作三角形
应用2：三角形的稳定性
应用3：利用三角形全等测距离
二、绘制本单元思维导图（课前完成）
建议：绘制思维导图关注四个要素：
一是关键词（不是短语，更不是句子），
二是连接线（类似神经元的曲线方式），
三是布局（核心在中间，逐级展开），
四是色彩（合理运用色彩，原则上每一层级一个色彩）；
六个标准： 一是内容完整，二是表述简练，三是结构明确，四是重点突出，五是逻辑清楚，六是布局合理
三、巩固检测
专题一 三角形的相关概念、性质和重要线段
1．已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边长的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（ ）
A．B．C． D．
3. 如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，是高，角平分线交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
专题二 全等三角形
1．如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上．已知，．给出下列条件：①，②，③，④，能判定的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①②③④
4. 如图，△ABC和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．
（1）求证：DE＝BC；
（2）若点B是CE的中点，DE＝10，求AE的长．
专题三 全等三角形的应用
1．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理：根据仪器结构，可以说明三角形全等，进而得到角相等。观察此图，可以得到____________(全等的三角形)，此角平分仪的画图原理是_______________.(填写判定方法的字母)
2. 如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，从三角形全等的角度分析，你能说明其中的道理吗？
3. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D．已知AB＝20米．你能根据上述信息求得标语CD的长度吗？
4.如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处观察E处，测得其视线与水平线之间的夹角为，小华站在E处观察楼顶A处，测得其视线与水平线之间的夹角为，发现与互余．已知，，，试求单元楼的高．
四、思维提升
你对三角形全等的判定条件的探究过程及方法有怎样的感悟？还能找出哪些运用这种思考问题的方法的例子？把你的感悟和案例记录下来，并以此为主题写一篇小短文。
五、总结反思
对照学习目标检查学习效果，谈谈你的感受、收获或困惑！
六、课后练习
1．（基础性练习）如图，表示两根长度相等的铁条，铁条的长度为．若O是的中点，，则容器的内径的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．（拓展性练习）如图，是一段斜坡，是水平线．欢欢为了测量斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿与斜坡垂直，在D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E，绳子可以在竹竿F上自由滑动．当时，测得，则 ．其中，运用到的判定三角形全等的依据是 ．
3．（t挑战性练习）图①是一个单摆小球实验器，图②是摆球摆动过程中的示意图．已知摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得长为；当摆线位于位置时，，则此时摆球到的水平距离为 ____ ．
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