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整式乘法 单元同步培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列运算正确是（ ）
A．2x2 3x＝6x3 B．（2x）3＝6x3
C．x3+x3＝x6 D．（2a﹣2b）2＝4a2﹣4b2
2．下列各式计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各数能整除 212-1的是（ ）
A．11 B．13 C．63 D．64
4．若（2x﹣a）（x+5）的积中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．﹣5 B．0 C．5 D．10
5．已知M＝，N＝，则M、N的大小关系是（ ）
A．M=N B．M＞N C．M＜N D．不能确定
6．计算2a2 3a3的结果是（ ）
A．5a3 B．6a3 C．6a6 D．6a9
7．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列运算正确的是（ ）
A．a+a=a B．x ．x3=x5
C．(a+1) =a2+1 D．(2x)3=6x3
9．为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（ ）
A．[(a+c)﹣b] [(a﹣c)+b] B．[(a﹣b)+c][(a+b)﹣c]
C．[a﹣(b+c)] [a+(b﹣c)] D．[a﹣(b﹣c)] [a+(b﹣c)]
10． 聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（ ）
①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1；
②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3；
③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个；
④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为
⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图①，有A、B两个正方形，边长分别为a，b，若将这两个正方形叠放在一起可得到图②，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图③，图中阴影部分面积为24．
则：（1） ；（2） ；（3）新构造出的正方形面积为 ．
12．已知，，则的值为 ．
13．分解因式：（a+4）2﹣9b2＝ ．
14．要使(x3+ax2-x)(-8x4)的运算结果中不含x6的项，则a的值为 .
15．不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于 ．
16．计算： ．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．定义新运算“※”：x※y=xy+x2﹣y2，化简（2a+3b）※（2a﹣3b），并求出当a=2，b=1时的值．
18．计算：
（1）6x2 3xy
（2）(4a﹣b2)(﹣2b)
（3）2a·（a+1）- a（3a- 2）+2a2 (a2-1).
19．已知：，，求代数式的值.
20．（1）已知，，的值是多少？
（2）已知，，求与的值．
21．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和13，则正方形A，B的面积之和为
22．计算：
（1）；
（2）已知，，，求的值．
23．一套房子的平面结构图如图所示(单位：m)．
（1）这套房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要 m2 的地砖．如果该种地砖的价格是a元/平方米，那么购买地砖至少需要 元．
（2）已知房屋的高度为h(m)，现需要在客厅和卧室的墙上贴壁纸，那么至少需要 m2的壁纸．如果某种壁纸的价格是b元/平方米，那么购买壁纸至少需要 元(计算时不扣除门、窗所占的面积)．
24． 给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式3x2+2x+1的特征系数对为 ；
（2）求有序实数对（1，0，1）的特征多项式与有序实数对（1，﹣2，1）的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对（0，2，m）的特征多项式与有序实数对（0，n，2）的特征多项式的乘积的结果为6x2+x﹣2，求mn的值．
25． 乘法公式给出了与的数量关系，灵活的应用这个关系，可以解决一些数学问题．
（1）若，求的值；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，点分别在正方形的边上，且，以为一边作正方形，以的长为边长过点作正方形，若长方形的面积是，求阴影部分的面积．
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整式乘法 单元同步培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列运算正确是（ ）
A．2x2 3x＝6x3 B．（2x）3＝6x3
C．x3+x3＝x6 D．（2a﹣2b）2＝4a2﹣4b2
【答案】A
【解析】【解答】解：A、2x2 3x＝6x3，故本选项符合题意；
B、（2x）3＝8x3，故本选项不符合题意；
C、x3+x3＝2x3，故本选项不符合题意；
D、（2a﹣2b）2＝4a2﹣8ab+4b2，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据单项式乘单项式的法则判断A；根据积的乘方法则判断B；根据合并同类项的法则判断C；根据完全平方公式判断D．
2．下列各式计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．下列各数能整除 212-1的是（ ）
A．11 B．13 C．63 D．64
【答案】C
【解析】【解答】 ，
∴所给的各数中能整除 212-1 的是63．
故答案为：C．
【分析】把 212-1 用平方差公式分解因数可求解．
4．若（2x﹣a）（x+5）的积中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．﹣5 B．0 C．5 D．10
【答案】D
5．已知M＝，N＝，则M、N的大小关系是（ ）
A．M=N B．M＞N C．M＜N D．不能确定
【答案】D
【解析】【解答】解：∵M＝，N＝，
∴
当 时，M>N；
当 时，M=N；
当 时，M∴M、N的大小关系不能确定．
故答案为：D.
【分析】利用作差法，结合多项式乘以多项式的法则、合并同类项的法则可得M-N=10x+12，分别令M-N>0、M-N=0、M-N<0，求出x的范围，据此判断.
6．计算2a2 3a3的结果是（ ）
A．5a3 B．6a3 C．6a6 D．6a9
【答案】C
【解析】【解答】解： 2a2.3a3=6a5
故答案为：C
【分析】利用单项式乘以单项式的法则进行计算，就可求解。
7．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、(-b2)3=-b6，故A错误；
B、a3+a3=2a3，故B错误；
C、(x+2y)(x-2y)=x2-4y2，故C正确；
D、2a6÷a2=2a4，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，平方差公式，同底数幂除法的计算法则计算，即可判断 各选项是否正确.
8．下列运算正确的是（ ）
A．a+a=a B．x ．x3=x5
C．(a+1) =a2+1 D．(2x)3=6x3
【答案】B
【解析】【解答】解：A、a+a=2a，故A不符合题意；
B、x ．x3=x5，故B符合题意；
C、(a+1) =a2+2a+1 ，故C不符合题意；
D、(2x)3=8x3，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用合并同类项的法则可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用完全平方公式的计算方法，可对C作出判断；利用积的乘方法则可对D作出判断。
9．为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（ ）
A．[(a+c)﹣b] [(a﹣c)+b] B．[(a﹣b)+c][(a+b)﹣c]
C．[a﹣(b+c)] [a+(b﹣c)] D．[a﹣(b﹣c)] [a+(b﹣c)]
【答案】D
【解析】【解答】解：（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]．
选项A，B，C不符合平方差公式的结构特征，只有选项D是正确的，
故答案为：D．
【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项．
10． 聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（ ）
①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1；
②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3；
③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个；
④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为
⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：①∵，
，
∴，①不符合题意；
②∵，，
∴，
∴，
∴故②符合题意；
③∵，
∴当时，，，则，符合题意；
当时，，，则，不合题意，
当时，，，则，符合题意．
综上所述：满足条件x的值有2个，③不符合题意；
④∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
当时，；
当时，；
∴的值为，④不符合题意；
⑤设两个自然数的平方差，
∵与同奇或同偶，
∴这个数是奇数或是4的倍数，
在1，2，3，…，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的数有14个，
∴不能表示成两个自然数的平方差的数共有，（个），故⑤不符合题意；
综上所述：正确的只有1个；
故答案为：A
【分析】①根据平方差公式结合题意即可求解；②先根据同底数幂的除法进行计算，进而运用幂的乘方进行计算，从而等量代换即可求解；③根据题意分类讨论，分别判断这三种情况符不符合题意即可求解；④根据完全平方公式进行计算即可求解；⑤设两个自然数的平方差为，进而结合题意即可得到与同奇或同偶，从而得到这个数为奇数或4的倍数，再结合题意即可得到可以表示成某两个自然数的平方差的个数，从而即可得到不能表示成某两个自然数的平方差的个数．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图①，有A、B两个正方形，边长分别为a，b，若将这两个正方形叠放在一起可得到图②，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图③，图中阴影部分面积为24．
则：（1） ；（2） ；（3）新构造出的正方形面积为 ．
【答案】1；12；49
12．已知，，则的值为 ．
【答案】13
【解析】【解答】解：，
将，代入上式得：
.
故答案为：13.
【分析】将原式变形为，再整体代入计算即可.
13．分解因式：（a+4）2﹣9b2＝ ．
【答案】(a+4+3b) ( a+4-3b)
【解析】【解答】解： 原式=（a+4）2﹣（3b）2
=（a+4-3b）(a+4+3b).
故答案为：（a+4-3b）(a+4+3b).
【分析】根据平方差公式直接进行分解因式，即可解答.
14．要使(x3+ax2-x)(-8x4)的运算结果中不含x6的项，则a的值为 .
【答案】0
【解析】【解答】解： (x3+ax2-x)(-8x4)=-8x7-8ax6+8x5，
∵运算结果中不含x6的项，
∴-8a=0，
解得：a=0.
故答案为：0.
【分析】利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含x6的项，可得含x6的项系数为0，据此解答即可.
15．不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于 ．
【答案】2
16．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】（﹣2m﹣n）2
=（﹣2m）2+2×（﹣2m）（﹣n）+（﹣n）2
=4m2+4mn+n2．
故答案为：4m2+4mn+n2．
【分析】根据完全平方公式，把﹣2m，﹣n分别看成一个整体，直接展开后即可得出答案．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．定义新运算“※”：x※y=xy+x2﹣y2，化简（2a+3b）※（2a﹣3b），并求出当a=2，b=1时的值．
【答案】解：原式=（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2
=4a2﹣9b2+4a2+12ab+9b2﹣4a2+12ab﹣9b2
=4a2﹣9b2+24ab，
当a=2，b=1时，原式=16﹣9+48=55．
【解析】【分析】原式利用题中的新定义化简，将a与b的值代入计算即可求出值．
18．计算：
（1）6x2 3xy
（2）(4a﹣b2)(﹣2b)
（3）2a·（a+1）- a（3a- 2）+2a2 (a2-1).
【答案】（1）解：6x2 3xy=18x3y；
（2）解：（4a﹣b2）(﹣2b）=﹣8ab+2b3
（3）解：2a·（a+1）- a（3a-2）+2a2 (a2-1) =2a2+2a - 3a2+2a +2a4 -2a2=2a4 -3a2+4a
【解析】【分析】（1）根据单项式乘以单项式的性质计算即可；
（2）根据单项式乘多项式的运算方法计算即可；
（3）根据整式的运算性质进行计算即可得到答案。
19．已知：，，求代数式的值.
【答案】解：∵，，
∴，，
∴
【解析】【分析】先求出x+y，x-y的值，再将原式变形为，然后整体代入计算即可.
20．（1）已知，，的值是多少？
（2）已知，，求与的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴
（2）解：∵，，
∴得，，
解得；
∴得，，
解得
【解析】【分析】根据完全平方公式的变形求值即可．
21．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和13，则正方形A，B的面积之和为
【答案】15
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b（a＞b），
由图乙得(a+b)2-a2-b2=13，
∴a2+2ab+b2-a2-b2=13，
∴2ab=13；
由图甲得(a-b)2=2，
∴a2-2ab+b2=2，
∴a2+b2=2+2ab=2+13=15，即正方形A，B的面积之和为15.
故答案为：15.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b（a＞b），由图乙得(a+b)2-a2-b2=13，整理得2ab=13；由图甲得(a-b)2=2，然后利用完全平方公式展开后整体代入可得a2+b2=15，此题得解.
22．计算：
（1）；
（2）已知，，，求的值．
【答案】（1）
（2）
23．一套房子的平面结构图如图所示(单位：m)．
（1）这套房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要 m2 的地砖．如果该种地砖的价格是a元/平方米，那么购买地砖至少需要 元．
（2）已知房屋的高度为h(m)，现需要在客厅和卧室的墙上贴壁纸，那么至少需要 m2的壁纸．如果某种壁纸的价格是b元/平方米，那么购买壁纸至少需要 元(计算时不扣除门、窗所占的面积)．
【答案】（1）11xy；11axy
（2）8xh+12yh；8xhb+12yhb
【解析】【解答】解：（1）xy+2y×x+2x×4y
=11xy（m2）；
11xy×a=11axy（元）；
故答案为：11xy；11axy.
（2）（2x+4y）×2×h+（2x+2y）×2×h=8xh+12yh（m2）；
（8xh+12yh）×b=8xhb+12yhb（元）；
故答案为：8xh+12yh；8xhb+12yhb.
【分析】（1）根据图示可知，卫生间长x米，宽y米，厨房长2y米，宽x米，客厅长4y米，宽2x米，根据长方形面积公式计算即可；
（2）先分别求出每一面墙的面积，相加即可得出需要的贴纸面积；根据壁纸的价格是b元/平方米，乘面积，即可求除需要的费用.
24． 给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式3x2+2x+1的特征系数对为 ；
（2）求有序实数对（1，0，1）的特征多项式与有序实数对（1，﹣2，1）的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对（0，2，m）的特征多项式与有序实数对（0，n，2）的特征多项式的乘积的结果为6x2+x﹣2，求mn的值．
【答案】（1）（3，2，1）
（2）解：∵有序实数对（1，0，1）的特征多项式为：x2+1，
有序实数对（1，﹣2，1）的特征多项式为：x2﹣2x+1，
∴（x2+1）（x2﹣2x+1）
＝x4﹣2x3+x2+x2﹣2x+1
＝x4﹣2x3+2x2﹣2x+1；
（3）解：∵有序实数对（0，2，m）的特征多项式为：2x+m，
有序实数对（0，n，2）的特征多项式为：nx+2，
∴（2x+m）（nx+2）
＝2nx2+4x+mnx+2m
＝2nx2+（4+mn）x+2m，
∵有序实数对（0，2，m）的特征多项式与有序实数对（0，n，2）的特征多项式的乘积的结果为6x2+x﹣2，
∴2n＝6，4+mn＝1，2m＝﹣2，
∴mn＝1﹣4＝﹣3，即mn的值为﹣3．
【解析】【解答】解：（1） 关于x的二次多项式3x2+2x+1的特征系数对为（3，2，1）.
故答案为：（3，2，1）.
【分析】（1）根据定义： 关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式，可得答案.
（2）利用特征多项式的定义，可得到两个数对的特征多项式，然后将这两个数对的特征多项式相乘，先去括号，再合并同类项.
（3）利用特征多项式的定义，可得到两个数对的特征多项式，再将这两个数对的特征多项式相乘，先去括号，再合并同类项，然后根据它们乘积的结果为6x2+x﹣2，根据对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，据此可求出mn的值.
25． 乘法公式给出了与的数量关系，灵活的应用这个关系，可以解决一些数学问题．
（1）若，求的值；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，点分别在正方形的边上，且，以为一边作正方形，以的长为边长过点作正方形，若长方形的面积是，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵
∴，
∴ab=3.
（2）解：由(7-m)+(m+3)=10，
由(1)同理可知，.
即.
（3）解：四边形和为正方形
，
，
，
，
又
，
又，
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的关系可避开解a，b，快速进行整体关系的转换求值；
（2）将式子结构变得复杂，但从整体上看，方法同(1)，隐藏了两数和为定值，同样可利用完全平方公式一步转换得出结果；
（3）首先先将问题阴影面积转换成两规则正方形面积差，即利用平方差公式转换为正方形边长的和与差的乘积，其次根据条件等量代换推出其为前者所述正方形边长之差，最后根据长方形AEFG面积得出为正方形边长之积，从而将问题转化为同(1)(2)，即利用整体转换即可.
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