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一元一次不等式与不等式组 单元测试培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．实数a＞b，则下列变形中不正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2 B．5a＞5b C．﹣2a＞﹣2b D．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣ ＜a≤﹣ B．﹣ ≤a＜﹣
C．﹣ ≤a≤﹣ D．﹣ ＜a＜﹣
4．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．下列命题中：
①如果a＞b，那么a2＞b2②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
8．一元一次不等式3(x+1)≤6的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如果不等式的解集，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知实数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．代数式与的和大于9，则的取值范围是 ．
12． 在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余 12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？ 设勤奋小组有x人，则可列不等式组为 ．
13．不等式2x﹣3≤1的正整数解为 ．
14．若5x3m-2-2＞7是一元一次不等式，则m=
15．在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为：a b=2a+3b.如：1 5=2×1+3×5=17.则不等式-x 4＜0的解集为
16．我们定义 ，例如 =2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，则不等式组1＜ ＜3的解集是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动，让冰雪运动进入寻常百姓家，某校组建了一个滑雪队，现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有A、B两种滑雪板．若购进A种滑雪板10副，B种滑雪板5副，需要2000元；若购进A种滑雪板5副，B种滑雪板3副，需要1100元．
（1）求购进A、B两种滑雪板的单价；
（2）若该滑雪队决定拿出1万元全部用来购进这两种滑雪板，要求购进A种滑雪板的数量不少于B种滑雪板数量的6倍，且购进B种滑雪板数量不少于8副，那么该校共有几种购买方案？
18．解不等式（组）
（1）2x﹣7＞3（x﹣1）；
（2） ．
19．在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅．
（1）该校原有的班数是多少个？
（2）新学期所增加的班数是多少个？
20．某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克3.5元，小王携带现金7000元到这市场购苹果，并以批发价买进．如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元
（1）写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若小王购买800千克苹果，则小王付款后剩余的现金为多少元？
21．去冬今春，某市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
22．阅读以下例题：解不等式：(x+4)(x-1)>0
解：①当x+4>0，则x-1>0
即可以写成：
解不等式组得：
②当若x+4<0，则x-1<0
即可以写成：
解不等式组得：
综合以上两种情况：不等式解集：x>1或 .
（以上解法依据：若ab>0，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
（1）(x+1)(x-2)>0；
（2）(x+2)(x-3)<0．
23．冰封文教店用1200元购进了甲、乙两种钢笔，已知甲种钢笔进价为每支12元，乙种钢笔进价为每支10元。在销售时甲种钢笔售价为每支15元，乙种钢笔售价为每支12元，全部售完后共获利270元。
（1）求冰封文教店购进甲、乙两种钢笔各多少支？
（2）冰封文教店以原价再次购进甲、乙两种钢笔，且购进甲种钢笔的数量不变，而购进乙种钢笔的数量是第一次的2倍，乙种钢笔按原售价销售，而甲种钢笔降价销售，当两种钢笔销售完毕时，要使再次购进的钢笔获利不少于340元，甲种钢笔每支最低售价应为多少元？
24．已知2x﹣y＝4.
（1）用含x的代数式表示y的形式为 .
（2）若y≤3，求x的取值范围.
25．某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人．
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆）
日租金（元/辆）
（1）求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？
（2）某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元．
①至少要租用多少辆甲型客车？
②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
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一元一次不等式与不等式组 单元测试培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．实数a＞b，则下列变形中不正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2 B．5a＞5b C．﹣2a＞﹣2b D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A．∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，变形正确，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴5a＞5b，变形正确，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，变形错误，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴，变形正确，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
3．关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣ ＜a≤﹣ B．﹣ ≤a＜﹣
C．﹣ ≤a≤﹣ D．﹣ ＜a＜﹣
【答案】B
【解析】【解答】解：由（1）得x＞8；
由（2）得x＜2-4a；
其解集为8＜x＜2-4a，
因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则
，
解得， .
故答案为：B.
【分析】将a作为常数，分别解出不等式组中每一个不等式的解集，根据该不等式组恰有4个整数解列出关于a的不等式组，求解即可.
4．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】【解答】A、当c＞0时，，则不成立，故不符合题意；
B、当c=0时，，则不成立，故不符合题意；
C、若，则，选项错误，不符合题意；
D、若，则，选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
5．下列命题中：
①如果a＞b，那么a2＞b2②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：①如果a＞b，那么a2＞b2，错误；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；
③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；
④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围a≤1且a不能为0，错误；
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质，平行四边形的判定定理，圆的切线长定理，二次方程的判别式逐项进行判断即可求出答案.
6．若，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ m＞1，∴ 2m＞2，m-1＞0，-m＜-1， ，故A，B，D不符合题意，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质1可判断B，根据不等式的性质2可判断A和D，根据不等式的性质3可判断C.
7．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
8．一元一次不等式3(x+1)≤6的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】 3(x+1)≤6，
x+1≤2，
x≤1。
故答案为：B。
【分析】先解出一元一次不等式，再在数轴上表示出解集即可。
9．如果不等式的解集，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵的解集是，
∴不等号改变
∴.
故答案为：C .
【分析】根据不等式的基本性判断即可.
10．已知实数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】D
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．代数式与的和大于9，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵代数式与的和大于9，
∴
解得：，
故答案为：.
【分析】根据题意，直接列不等式，解不等式即可.
12． 在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余 12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？ 设勤奋小组有x人，则可列不等式组为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设勤奋小组有x人，
由题意得：.
【分析】设勤奋小组有x人，根据“每人分5本，剩余 12本”可得这些学生的人数为：5x+12，然后由“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”可列不等式组.
13．不等式2x﹣3≤1的正整数解为 ．
【答案】1，2
【解析】【解答】解：2x﹣3≤1，
移项得：2x≤1+3，
合并同类项得：2x≤4，
把x的系数化为1得：x≤2，
整数解为：1，2．
故答案为：1，2．
【分析】首先移项合并同类项，算出不等式的解集，再在解集范围内找出符合条件的整数解．
14．若5x3m-2-2＞7是一元一次不等式，则m=
【答案】1
【解析】【解答】解：根据题意得：3m-2=1，
解得：m=1．
故答案是：1
【分析】根据一元一次不等式的定义，所含未知数的指数只能为1，列出方程，求解得出m的值。
15．在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为：a b=2a+3b.如：1 5=2×1+3×5=17.则不等式-x 4＜0的解集为
【答案】x>6
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】将-x 4用新定义的新运算表示出来，得到关于x的一元一次不等式，即可得出答案.
16．我们定义 ，例如 =2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，则不等式组1＜ ＜3的解集是 ．
【答案】
【解析】【解答】由题意可知
，则有1<4-3x<3，解得
。
【分析】根据新定义列出不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动，让冰雪运动进入寻常百姓家，某校组建了一个滑雪队，现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有A、B两种滑雪板．若购进A种滑雪板10副，B种滑雪板5副，需要2000元；若购进A种滑雪板5副，B种滑雪板3副，需要1100元．
（1）求购进A、B两种滑雪板的单价；
（2）若该滑雪队决定拿出1万元全部用来购进这两种滑雪板，要求购进A种滑雪板的数量不少于B种滑雪板数量的6倍，且购进B种滑雪板数量不少于8副，那么该校共有几种购买方案？
【答案】（1）购进A种滑雪板的单价是100元，B种滑雪板的单价是200元
（2）5种
18．解不等式（组）
（1）2x﹣7＞3（x﹣1）；
（2） ．
【答案】（1）解：去括号得，2x﹣7＞3x﹣3，
移项得，2x﹣3x＞﹣3+7，
合并同类项得，﹣x＞4，
x的系数化为1得，x＜﹣4；
（2）解： ，由①得，x＞ ，由②得，x≤4，
故不等式组的解集为： ＜x≤4．
【解析】【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
19．在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅．
（1）该校原有的班数是多少个？
（2）新学期所增加的班数是多少个？
【答案】（1）解：原有的班数为： =18个
（2）解：设增加后的班数为x，则“名人字画”有4x+17，
由题意得， ，
解得：19＜x≤21，
∵x为正整数，
∴x可取20，21，
故新学期所增加的班数为2个或3个．
【解析】【分析】（1）根据每班5幅订购了“名人字画”共90幅，可得原有18个班；（2）设增加后的班数为x，则“名人字画”有4x+17，再由每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅，可得出不等式组，解出即可．
20．某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克3.5元，小王携带现金7000元到这市场购苹果，并以批发价买进．如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元
（1）写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若小王购买800千克苹果，则小王付款后剩余的现金为多少元？
【答案】（1）解：由已知批发价为每千克3.5元，小王携带现金7000元到这个市场购苹果得y与x的函数关系式：y＝7000﹣3.5x，
∵批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克3.5元，
∴x≥100，
∴至多可以买7000÷3.5＝2000kg，
故自变量x的取值范围：100≤x≤2000，．
综上所述，y与x之间的函数关系式为：y＝7000﹣3.5x（100≤x≤2000）
（2）解：当x＝800时，y＝7000﹣3.5×800＝4200．
故小王付款后剩余的现金为4200元。
【解析】【分析】（1）根据题意得到y与x的函数解析式，根据题意得到x的取值单位进行计算即可得到答案。
（2）根据（1）中计算的式子，将数值代入求出数值即可。
21．去冬今春，某市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
【答案】（1）解：设饮用水有x件，蔬菜有y件，
根据题意得： ，
解得 ，
答：饮用水和蔬菜各有200件和120件；
（2）解：设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆，
根据得： ，
解这个不等式组，得2≤m≤4，
∵m为正整数，
∴m=2或3或4，
则安排甲、乙两种货车时有3种方案，
设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆．
【解析】【分析】（1）首先设饮用水为x件，蔬菜y件，根据题意列出方程组，然后进行求解；（2）设租用甲货车m辆，则租用乙货车（8﹣m）辆，根据所运的饮用水大于等于200，蔬菜大于等于120列出不等式组，然后根据m值的特殊性进行求解．
22．阅读以下例题：解不等式：(x+4)(x-1)>0
解：①当x+4>0，则x-1>0
即可以写成：
解不等式组得：
②当若x+4<0，则x-1<0
即可以写成：
解不等式组得：
综合以上两种情况：不等式解集：x>1或 .
（以上解法依据：若ab>0，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
（1）(x+1)(x-2)>0；
（2）(x+2)(x-3)<0．
【答案】（1）当x+1＞0时，x-2＞0，可以写成 ，
解得：x＞2；
当x+1＜0时，x-2＜0，可以写成 ，
解得：x＜-1，
综上：不等式解集：x＞2或 x＜-1；
（2）当x+2＞0时，x-3＜0，可以写成 ，
解得-2＜x＜3；
当x+2＜0时，x-3＞0，可以写成 ，
解得：无解，
综上：不等式解集：-2＜x＜3．
【解析】【分析】（1）根据例题可得：此题分两个不等式组 和 ，分别解出两个不等式组即可；（2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况 和 解出不等式组即可．
23．冰封文教店用1200元购进了甲、乙两种钢笔，已知甲种钢笔进价为每支12元，乙种钢笔进价为每支10元。在销售时甲种钢笔售价为每支15元，乙种钢笔售价为每支12元，全部售完后共获利270元。
（1）求冰封文教店购进甲、乙两种钢笔各多少支？
（2）冰封文教店以原价再次购进甲、乙两种钢笔，且购进甲种钢笔的数量不变，而购进乙种钢笔的数量是第一次的2倍，乙种钢笔按原售价销售，而甲种钢笔降价销售，当两种钢笔销售完毕时，要使再次购进的钢笔获利不少于340元，甲种钢笔每支最低售价应为多少元？
【答案】（1）解：设冰封文教店购进甲种钢笔x支，乙种钢笔y支，
∴
答：冰封文教店购进甲种钢笔50支，乙种钢笔60支
（2）解：设甲种钢笔每支售价应为m元.
50（m－12）＋602（12－10）≥340
∴m≥14
答： 甲种钢笔每支售价最低应14元.
【解析】【分析】（1）由题意可得两个相等关系：甲种钢笔的总价格+乙种钢笔的总价格=1200，甲种钢笔的总利润+乙种钢笔的利润=270，列方程组即可求解；
（2）由题意可得不等关系：50支甲种钢笔的利润+120支乙种钢笔的利润≥340，列出不等式即可求解。
24．已知2x﹣y＝4.
（1）用含x的代数式表示y的形式为 .
（2）若y≤3，求x的取值范围.
【答案】（1）y＝2x﹣4
（2）解：∵y＝2x﹣4≤3，
∴x≤3.5，
即x的取值范围是x≤3.5.
【解析】【解答】解：（1）2x﹣y＝4，
﹣y＝4﹣2x，
y＝2x﹣4，
故答案为y＝2x﹣4；
【分析】（1）移项，将含x的项及常数项移到方程的右边，系数化成1即可；
（2）先根据已知得出不等式，再求出不等式的解集即可.
25．某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人．
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆）
日租金（元/辆）
（1）求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？
（2）某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元．
①至少要租用多少辆甲型客车？
②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
【答案】（1）解：设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，由题意得，，
解得，
答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆
（2）解：①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴至少要租用辆甲型客车；
②由题意得，，
解得，
∴，
∵为整数，
∴或或，
∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
∵，
∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车
【解析】【分析】（）此题的等量关系为：甲种型号客车的数量+ 乙种型号客车的数量=20；甲种型号客车的数量×每一辆甲种型号客车的载客量+ 乙种型号客车的数量×每一辆乙种型号客车的载客量=720；据此设未知数，列方程组，求解即可.
（）①设租用甲种型号的客车辆，根据甲种型号客车的数量+ 乙种型号客车的数量=10，可表示出租用乙种型号的客车的数量，根据 该中学租车的总费用不超过元 可得到关于a的不等式，然后求出不等式的最小整数解即可； ②根据七年级的师生共有人，可得到关于a的不等式，可求出不等式的解集；结合 ①中a的取值范围，可得到a的取值范围，从而可求出整数a的值，然后写出具体的租车方案，并计算出最省钱的租车方案.
（1）解：设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，
由题意得，，
解得，
答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆；
（2）解：①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴至少要租用辆甲型客车；
②由题意得，，
解得，
∴，
∵为整数，
∴或或，
∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
∵，
∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车．
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