五莲一中高二年级下学期阶段检测
数学试题测试题
一 单选题：（40分）
1.
【答案】A
2
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】A
5.
【答案】C
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二 多选题：（18分）
9.
【答案】AD
10.
【答案】ABC
11.
【答案】ACD
三 填空题：（15分）
12.【答案】##0.25
13.
【答案】
14.【答案】
四 解答题：（77分）
15.
【答案】（1），；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）变形得，即可证明；
（3）根据（2）的结论得，再移项即可.
【小问1详解】
，.
【小问2详解】
由得，
且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列.
【小问3详解】
由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以，
即:.
16.
【答案】（1）
（2）最大值为18，最小值为
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）求导，确定单调性即可求解.
【小问1详解】
解：，所以
所以切线的斜率
又因为
所以曲线在点处的切线方程为：，
即
【小问2详解】
因为
所以或
0
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
所以当时，在单调递减，
当时，在单调递增，
因为
所以
所以函数在区间上的最大值为18，最小值为
17.
【解析】
【分析】（1）求导并分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调区间；
（2）由条件可得恒成立，设，求导并分类讨论，确定的单调性及最大值，可得，令，，利用的单调性确定的范围，从而可得范围.
【小问1详解】
的定义域为，
，，
当时，，则在上单调递增；
当时，当时，，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为；的单调递减区间为.
【小问2详解】
若恒成立，即恒成立，
则恒成立，
设，
，
∵，∴，
当时，，则在上单调递增，
当时，，
所以不合题意；
当时，当时，，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
则的最大值为，
则，
令，，
，则在上单调递增，
又，
∴由，得，
∴且，
∴.
18.
【解析】
【分析】（1）等式两边同时除以可得；
（2）（ii）由错位相减法求和即可；
（ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可.
【小问1详解】
因为，即，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.
【小问2详解】
（i）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以.
（ii）因为，
所以，
令，
不妨设的第项取得最大值，
所以，解得，
所以的最大值为，
所以，即m的取值范围是.
19.
【答案】（1）
（2）单调递减区间为单调递增区间为
（3）
【解析】
【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程；
（2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间.
（3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果.
【小问1详解】
当时，，，切点为，
，∴，∴切线方程为：
【小问2详解】
当时，，
令，，令，得到，
∴时，，∴在单调递增，即在单调递增；
∴时，，∴在单调递减，即在单调递减；
∵，且时，恒成立，
∴变化时，的变化情况如下表：
0
极小值
∴的单调递减区间是，单调递增区间为，
【小问3详解】
，
∵时，，，∴，若，则恒成立，
∵在上存在零点，∴；
，由（2）可知在单调递增，在单调递减.
∴，∵，∴，
①若，即，时，
，，，，
∴，，∴单调递增，∴，
∴无零点.
②若，即，时，
∵，使得，当时，，
∴变化时，的变化情况如下表：
0
极小值
∴在上单调递减，∴，∴在无零点.
，，
，单调递增，∴，∴
，，∴，∴
∴，∴在上存在零点.
综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为.五莲一中高二年级下学期阶段检测
数学试题测试题
一 单选题：（40分）
1. 若，则（）
A. 3 B. 6 C. 12 D. -3
2. 已知函数，则（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
3. 若，则以下不等式正确的是（）
A B.
C. D.
4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
5. 过原点且与曲线相切的直线有（）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
6. 已知对于都有，则a的最小值为（）
A. 1 B. C. 0 D.
7. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（）
A B.
C D.
8. 若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二 多选题：（18分）
9. 下列命题正确的有（）
A. ，则
B，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
10. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数有三个零点，记为，则（）
A.
B. 过可作曲线的三条切线
C.
D.
三 填空题：（15分）
12. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为______
13. 曲线上的点到直线的最短距离是______．
14. 已知恒成立，则正数的取值范围为______．
四 解答题：（77分）
15. 已知数列的首项，且满足.
（1）求，；
（2）证明：数列等比数列；
（3）求数列的通项公式.
16. 设函数.
（1）求曲线点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
17. 已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
18. 已知数列满足．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，记数列的前n项和为．
（i）求；
（ii）若成立，求m的取值范围．
19. 已知函数，
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若在上存在零点，求实数的取值范围.
