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一元二次方程 同步检测上分卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程2 =4x的解是（ ）
A．x=0 B．x=2
C． D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
4．南京青奥会的3人篮球赛，要求参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排3场比赛．这次青奥会共有x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A． x(x＋1)＝15 B． x(x－1)＝15
C．x(x＋1)＝15 D．x(x－1)＝15
5．点 的坐标恰好是方程 的两个根，则经过点 的正比例函数图象一定过（ ）象限
A．一、三 B．二、四 C．一 D．四
6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．0或4 B．4或8 C．8 D．4
7．y= x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
8．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2018的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2018 D．2019
9．某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为 ．
12．若为方程的一个根，则代数式的值为 ．
13．当 时，代数式 的值等于 ．
14．一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为 ．
15．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
16．现定义运算“☆”，对于任意实数a、b，都有a☆b＝a2﹣3a+b，若x☆2＝6，则实数x的值是 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某村2021年的人均收入为20000元，2023年的人均收入为24200元．
（1）求2021年到2023年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2024年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2024年该村的人均收入是多少元？
18．随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多．据统计，某驾校2017年底报名人数为3200人，截止到2019年底报名人数已达到5000人．
（1）若该驾校2017年底到2019年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率；
（2）若该驾校共有25名教练，预计在2020年底每个教练平均需要教授多少人？
19．某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的车就减少2辆.
（1）当租金提高多少元时，公司的每日收益可达到10120元？
（2）汽车日常维护要一定费用，已知外租车辆每日维护费为100元，未租出的车辆维护费为50元，当租金为多少元时，公司的利润恰好为5500元？（利润=收益-维护费）
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0 ，
（1）若x=﹣1是该方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）对于任意实数m，判断该方程的根的情况，并说明理由．
21．中秋节到来之际，一超市准备推出甲种月饼和乙种月饼两种月饼，计划用1200元购买甲种月饼，600元购买乙种月饼，一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为9元，且购进甲种月饼的数量是乙种月饼数量的4倍．
（1）求计划分别购买多少个甲种月饼和乙种月饼．
（2）为回馈客户，厂家推出了一系列活动，每个甲种月饼的售价降低了，每个乙种月饼的售价便宜了元，现在在（1）的基础上购买乙种月饼的数量增加了个，但甲种月饼和乙种月饼的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了元，求的值．
22．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣3＝0．
（1）若此方程的一个根为2，求另一个根及m的值
（2）求证：不论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
23．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植.某葡萄种植基地2019年种植“阳光玫瑰”葡萄100亩，到2021年“阳光玫瑰”葡萄的种植面积达到256亩.
（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”葡萄种植面积的年平均增长率；
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”葡萄的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降低1元，每天可多售出45千克.为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存.已知该基地“阳光玫瑰”葡萄的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”葡萄每天获利2125元.设降价x（0≤x＜10）元，求出符合题意的x值.
24．某水果商场经销一种高档水果，原价为每千克80元，连续两次降价后售价为每千克元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率．
（2）在销售中发现，这种水果若每千克盈利10元，每天可售出500千克．若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
25．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于8 cm？
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PCQ的面积等于 ？
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一元二次方程 同步检测上分卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程2 =4x的解是（ ）
A．x=0 B．x=2
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 2 =4x ，
∴2 -4x =0，
∴2x（x-2）=0,
∴x=0或x-2=0,
∴x1=0,x2=2,
故答案为：C.
【分析】先移项，将原方程化为一元二次方程的标准形式，用分解因式法解方程即可.
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A.不是整式方程，故A错误；
B.未知数的最高次数是1，故B错误；
C.含有2个未知数，故C错误；
D.是一元二次方程，故D正确.
故答案为：D.
【分析】一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0），据此判断.
3．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】
解：
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程的配方法，把二次项、一次项放一边，常数项放一边，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，可得结论，熟悉完全平方公式是关键。
4．南京青奥会的3人篮球赛，要求参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排3场比赛．这次青奥会共有x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A． x(x＋1)＝15 B． x(x－1)＝15
C．x(x＋1)＝15 D．x(x－1)＝15
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得 x(x－1)＝3×5
整理，得 x(x－1)＝15
故答案为：B．
【分析】根据“球队总数×每个球队所需比赛场数÷2=比赛总场数=每天比赛场数×天数”列方程即可．
5．点 的坐标恰好是方程 的两个根，则经过点 的正比例函数图象一定过（ ）象限
A．一、三 B．二、四 C．一 D．四
【答案】B
【解析】【解答】解： ，
，
， ，
. ，
点 的坐标恰好是方程 的两个根，
或 ，
故经过点 的正比例函数图象一定过二、四象限.
故答案为： .
【分析】先根据因式分解法求出方程 的两个根，再根据各个象限点的坐标特征即可求解.
6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．0或4 B．4或8 C．8 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=0且k≠0，
∴4k2-16k=0
解之：k1=0，k2=4，
∴k=4.
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程的定义可知k≠0，再根据一元二次方程有两个相等的实数根可知b2-4ac=0，据此可得到关于k的方程，解方程求出k的值，可得到符合题意的k的值.
7．y= x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】【解答】解：
∵y= x+1是关于x的一次函数，
∴ ≠0，
∴k﹣1＞0，解得k＞1，
又一元二次方程kx2+2x+1=0的判别式△=4﹣4k，
∴△＜0，
∴一元二次方程kx2+2x+1=0无实数根，
故选A．
【分析】由一次函数的定义可求得k的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．
8．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2018的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2018 D．2019
【答案】D
【解析】【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根
∴m2﹣m-1=0
∴m2﹣m+2018=2019。
故答案为：D。
【分析】根据方程根的定义，将x=m代入是方程x2﹣x﹣1＝0得出m2﹣m=1，然后整体代入代数式，按有理数的加法法则即可算出答案。
9．某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，平均每次降价的百分率为x
则方程为
故答案为：A．
【分析】根据增长率问题的等量关系：变化前的量× =变化后的量，即可列出方程．
10．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
【答案】D
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为 ．
【答案】10%
【解析】【解答】解：设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得40（1+x）2=48.4
解方程得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）
所以该公司缴税的年平均增长率为10%．
【分析】设公司缴税的年平均增长率为x，根据增长后的纳税额=增长前的纳税额×（1+增长率），即可得到去年的纳税额是40（1+x）万元，今年的纳税额是40（1+x）2万元，据此即可列出方程求解．
12．若为方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】7
13．当 时，代数式 的值等于 ．
【答案】-1或-3
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， ．
故答案为：-1或-3．
【分析】根据题意列出方程，再利用十字相乘法求解即可。
14．一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为 ．
【答案】10%
【解析】【解答】解：设这个百分率为x%，
由题意得：300（1-x%）2=243，解得x=10或x=190（舍）．
故答案为10%．
【分析】根据一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，可列方程300（1-x%）2=243，再计算求解即可。
15．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤9，且k≠0
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，
∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0，
即k≤9，且k≠0
【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
16．现定义运算“☆”，对于任意实数a、b，都有a☆b＝a2﹣3a+b，若x☆2＝6，则实数x的值是 .
【答案】4或﹣1
【解析】【解答】解：∵x☆2＝6，
∴x2﹣3x+2＝6，
x2﹣3x﹣4＝0，
即（x﹣4）（x+1）＝0，
x﹣4＝0，x+1＝0，
x1＝4，x2＝﹣1，
故答案为：4或﹣1.
【分析】先根据新定义得出一元二次方程，再利用因式分解法求出方程的解即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某村2021年的人均收入为20000元，2023年的人均收入为24200元．
（1）求2021年到2023年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2024年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2024年该村的人均收入是多少元？
【答案】（1）2021年到2023年该村人均收入的年平均增长率为
（2）预测2024年该村的人均收入是26620元
18．随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多．据统计，某驾校2017年底报名人数为3200人，截止到2019年底报名人数已达到5000人．
（1）若该驾校2017年底到2019年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率；
（2）若该驾校共有25名教练，预计在2020年底每个教练平均需要教授多少人？
【答案】（1）解：设该驾校的年平均增长率是x，由题可得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）
答：该驾校的年平均增长率是25%．
（2）解： （人）
答：预计在2020年底每个教练平均需要教授250人．
【解析】【分析】（1）设该驾校的年平均增长率是x，由题意可列出方程，解之即可；
（2）根据题意列出式子，解答即可。
19．某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的车就减少2辆.
（1）当租金提高多少元时，公司的每日收益可达到10120元？
（2）汽车日常维护要一定费用，已知外租车辆每日维护费为100元，未租出的车辆维护费为50元，当租金为多少元时，公司的利润恰好为5500元？（利润=收益-维护费）
【答案】（1）解：设租金提高x元，则每日可租出 辆，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
答：当租金提高20元或30元时，公司的每日收益可达到10120元
（2）解：设租金提高x元，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ，
∴ （元），
答：当租金为250元时，公司的利润恰好为5500元.
【解析】【分析】（1）设租金提高x元，则每日可租出 辆，根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，结合利润＝收益 维护费，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论.
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0 ，
（1）若x=﹣1是该方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）对于任意实数m，判断该方程的根的情况，并说明理由．
【答案】（1）解： =-1是方程的一个根，所以1+ -2=0，
解得 =1．
方程为 ， 解得， ，
所以方程的另一根为 x =2．
（2）解： ，
因为对于任意实数 ， ，
所以 ，
所以对于任意的实数 ，方程有两个不相等的实数根
【解析】【分析】（1）将x的值代入方程中，即可得到m的值，根据m的值求出另外一个根即可；
（2）列出一元二次方程根的判别式，根据式子的得数判断答案即可。
21．中秋节到来之际，一超市准备推出甲种月饼和乙种月饼两种月饼，计划用1200元购买甲种月饼，600元购买乙种月饼，一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为9元，且购进甲种月饼的数量是乙种月饼数量的4倍．
（1）求计划分别购买多少个甲种月饼和乙种月饼．
（2）为回馈客户，厂家推出了一系列活动，每个甲种月饼的售价降低了，每个乙种月饼的售价便宜了元，现在在（1）的基础上购买乙种月饼的数量增加了个，但甲种月饼和乙种月饼的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了元，求的值．
【答案】（1）计划购买甲种月饼400个，乙种月饼100个．
（2）的值是8．
22．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣3＝0．
（1）若此方程的一个根为2，求另一个根及m的值
（2）求证：不论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：把x＝2代入方程得4﹣2m+m﹣3＝0，解得m＝1，
方程化为x2﹣x﹣2＝0，
设方程的另一根为t，
则2+t＝1，解得t＝﹣1，
即方程的另一个根为﹣1，m的值为1；
（2）证明：△＝m2﹣4（m﹣3）
＝m2﹣4m+12
＝（m﹣2）2+8，
∵（m﹣2）2≥0，
∴△＞0，
∴不论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【解析】【分析】（1）将x=2代入方程求出m的值，再利用因式分解法求出方程的解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式求解即可。
23．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植.某葡萄种植基地2019年种植“阳光玫瑰”葡萄100亩，到2021年“阳光玫瑰”葡萄的种植面积达到256亩.
（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”葡萄种植面积的年平均增长率；
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”葡萄的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降低1元，每天可多售出45千克.为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存.已知该基地“阳光玫瑰”葡萄的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”葡萄每天获利2125元.设降价x（0≤x＜10）元，求出符合题意的x值.
【答案】（1）解：设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为m，
依题意，得：100（1+m）2=256，
解得：m1=0.6=60%，m2=-2.6（不合题意，舍去）.
答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%.
（2）解：设售价应降低x元，则每天可售出（200+45x）千克，
依题意，得：（20-10-x）（200+45x）=2125，
整理，得：9x2-50x+25=0，
解得：x1=5，x2= .
∵要尽量减少库存，
∴x=5.
答：售价应降低5元.
【解析】【分析】（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为m，则2020年“阳光玫瑰”葡萄的种植面积为100(1+m)亩，2021年“阳光玫瑰”葡萄的种植面积为100(1+m)2亩，结合到2021年“阳光玫瑰”葡萄的种植面积达到256亩建立方程，求解即可；
（2）设售价应降低x元，则每天可多售出45x千克，实际可售出(200+45x)千克，每千克的利润为(20-10-x)元，接下来根据每千克的利润×千克数=总利润建立方程，求解即可.
24．某水果商场经销一种高档水果，原价为每千克80元，连续两次降价后售价为每千克元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率．
（2）在销售中发现，这种水果若每千克盈利10元，每天可售出500千克．若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】（1）每次下降的百分率为
（2）每千克应涨价5元
25．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于8 cm？
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PCQ的面积等于 ？
【答案】（1）解：BP=AB-AP=(12-t)cm，BQ=2tcm．
根据三角形的面积公式，得 PB·BQ=35，
即 (12-t)·2t=35，
整理，得t2-12t+35=0，解得t1=5，t2=7．
故当t为5或7时，△PBQ的面积等于35cm2．
（2）解：根据勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2=(12-t)2+(2t)2=(82)2，
整理，得5t2-24t+16=0，
解得
故当t为 或4时，PQ的长度等于8 cm．
（3）解：①当0由题意，得 (16-2t)×(12-t)=32，
解得：t1=4，t2=16（舍去）．
②当8由题意，得 (2t-16)×(12-t)=32，此方程无解．
③当12由题意，得 (2t-16)×(t-12)=32，
解得：t1=4（舍去），t2=16．
综上所述，当t为4或16时，△PCQ的面积等于32cm2．
【解析】【分析】（1）根据速度公式分别列出BP和BQ段的含t表达式，结合面积等于35 cm2列等式求解即可.
（2）在Rt△PBQ中，现知PB和QB的表达式，PQ长度已知，根据勾股定理列式求出t值即可.
（3）分三种情况讨论， ①当021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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