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勾股定理 单元全优练考卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．8，10，12 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25
2．判断以下各组线段为边作三角形，可以构成直角三角形的是（ ）
A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25
3．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如果的三个顶点，，所对的边分别为，，那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ）
A．：：：4：5 B．，
C．，， D．，，
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．1.5 B．2.5 C． D．3
6．如图，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°.若∠BDC=25°，AD=4，DE= ，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．2
7．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
8．在中，，则的面积为（ ）
A．30 B．32.5 C．60 D．65
9．若直角三角形的两直角边长分别为 ，则斜边上的高为（ ）
A． B． C． D．
10．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（ ）
A．28 B．26 C．32 D．30
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 则CD的长为 .
12．有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米．
13．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为 km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为 km．
14．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 .
15．已知斜边长为20，一条直角边长为12，该直角三角形斜边上的高为 ．
16．在长方形中，，动点满足，则的最小值为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．学校校内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？
18．如图，在 中， ，垂足为点 ， ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的长.
19．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
20．如图，有一张三角形纸片，三边长分别为AC=6，BC=8，AB=10，
（1）求证：∠A+∠B=90°
（2）将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，求CE的长。
21．
（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．
②求DE的长．
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若DC=4，∠DAC=30°，求AD的长．
23．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2-DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
24．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．
（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
25．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC= AB．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE= AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为 ．
（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论.
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣ ，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．
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勾股定理 单元全优练考卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．8，10，12 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵82＋102≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项符合题意；
B、∵32＋42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；
C、∵52＋122＝132，∴三条线段能组成直角三角形，故C选项不符合题意；
D、∵72＋242＝252，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角来判定即可.
2．判断以下各组线段为边作三角形，可以构成直角三角形的是（ ）
A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25
【答案】D
【解析】【解答】解：A.因为62＋152≠172,所以以6，15，17为边的三角形不是直角三角形,故A不符合题意;
B.因为72＋122≠152,所以以7，12，15为边的三角形不是直角三角形,故B不符合题意;
C.因为132＋152≠202,所以以13，15，20为边的三角形不是直角三角形,故C不符合题意
D.因为72＋242＝252,所以以7，24，25为边的三角形是直角三角形,故D符合题意;
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.
3．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
4．如果的三个顶点，，所对的边分别为，，那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ）
A．：：：4：5 B．，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】【解答】解： A、∵ ： ： ： ： ， ，
最大角 ，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、 ， ，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、 ， ， ，
，
是直角三角形，故本选项符合题意；
D、 ， ， ，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和定理算出△ABC中最大内角的度数，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形可判断A、B；根据勾股定理的逆定理，如果三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此可判断C、D.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．1.5 B．2.5 C． D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：连接DE，
在Rt△ABC中
；
∵AD＝AC=3，AE⊥CD，
∴AE垂直平分CD，BD=AB-AD=5-3=2，
∴CE=DE，
在△ACE和△ADE中
∴△ACE≌△ADE（SSS）
∴∠ACE=∠ADE=90°，
∴∠EDB=90°，
设DE=x=CE，则EB=4-x，
∴DE2+BD2=BE2即x2+22=（4-x）2
解之：x=1.5，
∴BE=4-1.5=2.5
故答案为：B.
【分析】连接DE，利用勾股定理求出AB的长，利用垂直平分线的性质可求出BD的长，同时可证得CE=DE；利用SSS证明△ACE≌△ADE，利用全等三角形的对应角相等可得到∠EDB=90°；设DE=x=CE，则EB=4-x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BE的长.
6．如图，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°.若∠BDC=25°，AD=4，DE= ，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】【解答】连接CE，
∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE＝4，
∵BD＝BE，∠DBE＝50°，
∴∠BDE＝∠BED＝×（180° ∠DBE）＝65°，
∵∠BDC＝25°，
∴∠CDE＝65°＋25°＝90°，
在Rt△CDE中，
.
故答案为：B.
【分析】连接CE，利用已知条件易证∠ABD＝∠CBE，利用SAS证明△ABD≌△CBE，利用全等三角形的对应边相等，可求出CE的长，再求出∠BDE的度数，由此可得到∠CDE-90°；然后利用勾股定理取出CD的长。
7．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
【答案】C
【解析】【解答】A、因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、因为a2＝(b＋c) (b－c)，所以 ，即 ，由勾股定理得，△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、因为∠A+∠B+∠C=180°，∠B＝∠C＝∠A，所以∠B＝∠C＝∠A=60°，△ABC是等边三角形，符合题意；
D、因为a：b：c＝5：4：3，设a=5x，b=4x，c=3x，则 ，即 ，由勾股定理得，△ABC是直角三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理或勾股定理判断，分别分析各题设是否能够推出结论，就可得出是假命题的选项。
8．在中，，则的面积为（ ）
A．30 B．32.5 C．60 D．65
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，∴∴△ABC的面积为：
故答案为：A。
【分析】首先根据勾股定理求出另一条直角边BC，然后根据直角三角形的面积计算公式，求出△ABC的面积即可。
9．若直角三角形的两直角边长分别为 ，则斜边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设斜边长为c，高为h.
由勾股定理可得：c2=52+122，
则c=13，
直角三角形面积S= ，
解得： .
∴斜边上的高为 (cm).
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边上的高.
10．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（ ）
A．28 B．26 C．32 D．30
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
过E作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N，
设AC=a，AB=b，BC=c，
∵∠CBM+∠EBM=90°，∠ABC+∠CBM=90°
∴∠EBM=∠ABC
在△BME与△BAC中
∴△BEM≌△BCA（AAS）
∴BM=AB=b，EM=AC=a
同理可证△CMD≌△CAB
∴CM=AC=a，DN=AB=b
在△EFM中，
MF2+ME2=EF2
即（2b）2+a2=34
在△HND中，
HN2+ND2=HD2
即（2a）2+b2=16
∴a=，b=2，c=
S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC＋S正方形ABFG＋S正方形ACHI+S△AGI+S△ABC+S△BEF+S△CDH
=c2+b2+a2+2ab=28
故答案为：A.
【分析】由图可得六边形EDHIGF的面积＝正方形BEDC的面积＋正方形ABFG的面积＋正方形ACHI的面积+△AGI的面积+△ABC的面积+△BEF的面积+△CDH的面积，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N，可证得△BEM≌△BCA，△CMD≌△CAB，设AC=a，AB=b，BC=c，进而得到BM=AB=b，EM=AC=a，CM=AC=a，DN=AB=b，根据勾股定理表示出a、b、c的值即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 则CD的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：在 中， ， 垂足为D， ， ，
由勾股定理得： ，
，
，
故答案为： .
【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可.
12．有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米．
【答案】3
【解析】【解答】解： 设大树顶端触地点距大树的距离为x米，
根据题意可知：
解得：x=3或x=-3（舍）
故答案为： 大树顶端触地点距大树的距离为3米.
【分析】本题考查勾股定理的应用问题。
13．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为 km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为 km．
【答案】（1）20
（2）13
【解析】【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，
∴AB＝12﹣（﹣8）=20；
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，
由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，
AE＝12，
设CD＝x，
∴AD＝CD＝x，
由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，
∴解得：x＝13，
∴CD＝13，
故答案为：（1）20；（2）13；
【分析】（1）由点A，B的纵坐标相等可得AB∥x轴，根据两点间的距离公式，即可求出 A，B间的距离 ；
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，先求出CE，AE的长度，设设CD＝x，则AD=x，在Rt ADE中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可求出 C，D间的距离 .
14．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点D作 于H， 于F，
将 沿直线 翻折，
， ，
，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为： .
【分析】过点D作 于H， 于F，利用折叠的性质可证得AC=CE，∠ACD=∠BCD=45°，由此可求出BC的长；利用角平分线的性质可证得DF=DH=CF，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出DF的长，即可得到EF的长；然后利用勾股定理求出DE的长.
15．已知斜边长为20，一条直角边长为12，该直角三角形斜边上的高为 ．
【答案】9.6
【解析】【解答】解：∵斜边长为20，一条直角边长为12，
∴另一直角边的边长为： ＝16，
设该直角三角形斜边上的高为x，
则 ×12×16＝ ×20x，
解得x=9.6.
故答案为：9.6.
【分析】利用勾股定理求出另一直角边的长，设该直角三角形斜边上的高为x，根据等面积法求解即可.
16．在长方形中，，动点满足，则的最小值为 ．
【答案】20
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．学校校内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？
【答案】解：过点作于点， 设则如图：
在与中，
，
即
解得：
，
(米)，
∴学校修建这个花园的费用(元)，
答：学校修建这个花园需要投资元．
【解析】【分析】过点作于点， 设则再根据勾股定理建立方程，解方程可得x=5，进而可得出的长，由三角形的面积公式即可求出答案.
18．如图，在 中， ，垂足为点 ， ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的长.
【答案】（1）解： ，
，
在 中， ， ，
，
（2）解：在 中 ， ，
.
，
【解析】【分析】（1）在Rt△BCD中，由CD2＝BC2 BD2可得答案；（2）在Rt△ACD中，先根据AD2＝AC2 CD2求得AD＝16，再由AB＝AD＋DB可得答案.
19．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴×300×400＝×500×CD，
∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
（3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，
∴EF=2ED，
∵ED＝＝100（km），
∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）.
答：台风影响该海港持续的时间为小时.
【解析】【分析】（1）根据题意可得AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，则AC2+BC2＝AB2，结合勾股定理逆定理解答即可；
（2）过点C作CD⊥AB， 根据△ABC的面积公式可得CD的值，然后与260进行比较即可判断；
（3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，根据等腰三角形的性质可得EF=2ED，由勾股定理求出ED，据此得到EF，然后除以速度可得时间.
20．如图，有一张三角形纸片，三边长分别为AC=6，BC=8，AB=10，
（1）求证：∠A+∠B=90°
（2）将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，求CE的长。
【答案】（1）证明：∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
（2）解：设CE=x，则BE=CB-CE=（8-x），
由折叠得：AE=BE= （8-x）
∵∠C=90°
∴AC2+CE2=AE2，
∴6x2+x2=（8-x）2
∴x=
即CE长为
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出∠C=90°，即可得出∠A+∠B=90°；
（2） 设CE=x，根据折叠的性质得出AE=BE=8-x，根据AC2+CE2=AE2， 列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
21．
（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．
②求DE的长．
【答案】（1）解：设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，
∵AC2＝AB2＋BC2，
∴（x＋2）2＝x2＋62，
解得x＝8，
∴AB＝8cm，
∴AC＝8＋2＝10（cm）；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，
∴AE＝AC EC＝4cm；
②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB BD＝（8 y）cm，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴（8 y）2＝42＋y2，
解得：y＝3，
∴DE＝3cm．
【解析】【分析】（1）设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，由AC2＝AB2＋BC2，得出（x＋2）2＝x2＋62，解得出x的值，即可得出答案；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，得出AE＝AC EC＝4cm；②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB BD＝（8 y）cm，在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，得出（8 y）2＝42＋y2，解出y的值即可。
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若DC=4，∠DAC=30°，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∵BD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
（2）解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．
在Rt△ADC中，∠DAC=30°，
∴AC=2DC=8，
AD= =4
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，证明 Rt△BDE≌Rt△CDF ，根据全等三角形的性质得到 ∠B=∠C． 根据等腰三角形判定定理证明；
（2）根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算即可。
23．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2-DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2-DA2＝AC2，
∴CD2-DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，
∴AD＝3，BD＝5，
∴DC＝5，
∴AC＝．
【解析】【分析】（1）连接CD，根据垂直平分线的性质可得CD=DB，再结合BD2-DA2＝AC2，可得CD2＝AD2+AC2，所以△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）先求出AD和CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可。
24．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．
（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：∵CD⊥AB，
∴△BCD和△ACD都是直角三角形，
∴CD= =12，
AD= =16
（2）解：△ABC为直角三角形，
理由：∵AD=16，BD=9，
∴AB=AD+BD=16+9=25，
∵AC2+BC2=202+152=625=252=AB2，
∴△ABC为直角三角形
【解析】【分析】（1）先求出 △BCD和△ACD都是直角三角形， 再利用勾股定理计算求解即可；
（2）先求出AB=25，再利用勾股定理的逆定理证明求解即可。
25．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC= AB．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE= AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为 ．
（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论.
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣ ，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．
【答案】（1）EC=EB
（2）解：如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE，∵△ACP，△ADE都是等边三角形，
∴AC=AP，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，
∴∠CAD=∠PAE，
∴△CAD≌△PAE，
∴∠ACD=∠APE=90°，
∴EP⊥AB，∵PA=PB，
∴EA=EB，∵DE=AE，
∴ED=EB
（3）ED=EB；拓展应用：C（1，2+ ）．
【解析】【解答】探究结论（1），如图1中，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵AC= AB=AE=EB，
∴△ACE是等边三角形，
∴EC=AE=EB，
故答案为：EC=EB；
（ 3 ）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，
故答案为：ED=EB；
拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA，
∵A（﹣ ，1），
∴∠AOH=30°，
由（2）可知，CO=CB，
∵CF⊥OB，
∴OF=FB=1，
∴可以假设C（1，n），
∵OC=BC=AB，
∴1+n2=1+（ +2）2，
∴n=2+ ，
∴C（1，2+ ）．
【分析】（1）根据三角形的内角和得出∠A=60°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AC= AB=AE=EB，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ACE是等边三角形，根据三角形的三边相等及等量代换得出EC=AE=EB；
（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE，根据等边三角形的性质得出AC=AP，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，根据等式的性质得出∠CAD=∠PAE，然后利用SAS判断出△CAD≌△PAE，根据全等三角形的对应角相等得出∠ACD=∠APE=90°，根据中垂线的定义得出PE是AB的中垂线，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出EA=EB，进而根据等量代换即可得出答案；
（ 3 ）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA，根据A点的坐标得出AH，OH的长，根据正切函数的定义及特殊锐角数据函数值即可得出∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，根据等腰三角形的三线合一得出OF=FB=1，可以假设C（1，n），根据等边三角形的性质及等量代换得出OC=BC=AB，根据勾股定理分别表示出OC2，AB2，从而建立出方程，求解即可得出n的值，从而得出C点的坐标。
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