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相交线与平行线 单元专项培优测试卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，下列条件中不能判定直线的是( )
A． B．
C． D．
3．如图，是直角三角形，它的直角边，，将沿边BC的方向平移到的位置，DE交AC于点G，，的面积为13.5，下列结论：①平移的距离是4：②；③ADCF；④四边形ADFC的面积为6．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
4．下列命题：①直线a、b、c在同一平面内，如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c．②0.01是0.1的算术平方根．③如果a＞b，那么ac2＞bc2．④如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．⑤如果a＜b＜0，那么0＜ab＜a2．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村.从C村到D村的公路平行于从A村到B村的公路，则C，D两村与B，C两村公路之间夹角的度数为（ ）
A．100° B．80° C．75° D．50°
6．如图，下列结论中，正确的是（ ）
A．∠DAC与∠ACB是一对同位角
B．若∠DAC=∠ACB，则AB∥CD
C．∠D与∠DAC是一对同旁内角
D．若∠D=∠B，则AD∥BC
7．说明命题“若a＜b，则a2＜b2”是假命题，可用的反例是（ ）
A．a＝-1，b＝2 B．a＝-1，b＝-2
C．a＝-2，b＝-1 D．a＝1，b＝2
8．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
9．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
10．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点B在AD的延长线上，DE∥AC，若∠C=50°，∠BDE=60°，则∠CDB= °．
12．如图：与∠1是同位角的是 ；与∠1是内错角的是 ；与∠1是同旁内角的是 ．
13．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是 ．
14．把“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式 ．
15．如图，AB⊥CD，CD⊥BD，∠A=∠FEC．以下是小贝同学证明CD∥EF的推理过程或理由，请你在横线上补充完整其推理过程或理由．
证明：∵AB⊥CD，CD⊥BD（已知）
∴∠ABD=∠CDB=90°（ ）∴∠ABD+∠CDB=180°．
∴AB∥（ ）（ ）
∵∠A=∠FEC（已知）
∴AB∥（ ）（ ）
∴CD∥EF（ ）
16．如图，点E，F分别在射线，上，且平分．若，，，则的度数为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C，
（2）过点P画OA的垂线，垂足为H，
（3）线段PH的长度是点P到 的距离，线段 是点C到直线OB的距离．
（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 （用“＜”号连接）
18．已知直线l1∥l2，且l4和l1、l2分别交于A、B两点，点P为线段AB上的一个定点如图1）
（1）写出∠1、∠2、∠3、之间的关系并说出理由．
（2）如果点P为线段AB上的动点时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（必说理由）
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，（点P和点A、点B不重合）
①如图2，当点P在射线AB上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系并说出理由．
②如图3，当点P在射线BA上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系（不说理由）
19．如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC.
（1）∠DAB+∠B等于多少度？
（2）AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？
20．如图，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：
（1）如图①，求证：OB∥AC．
（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．求∠EOC的度数．
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
21．已知，如图，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D、E分别在CA、BA 的延长线上，DB∥AH，∠D＝∠E.
（1）求证：DB∥EC；
（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大5°.求∠D的度数.
22．完成下面证明：如图，B是射线AD上一点，∠DAE=∠CAE，∠DAC=∠C=∠CBE
（1）求证：∠DBE=∠CBE
证明：∵∠C=∠CBE（已知）
∴BE∥AC
∴∠DBE=∠DAC
∵∠DAC=∠C（已知）
∴∠DBE=∠CBE
（2）请模仿（1）的证明过程，尝试说明∠E=∠BAE．
23．如图，在四边形ACDE中，点F、G分别在AE和CD上，连接FG，且，点B在AE的延长线上，连接BC，分别交GF、DE于点M，N，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
24．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED=
（2）若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED=
（3）猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
25．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC度数．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
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相交线与平行线 单元专项培优测试卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A中的两个角虽有公共顶点，但它们的两边不是互为反向延长线，故不是对顶角；
B、D中两个角均没有公共顶点，故不是对顶角；
C中的两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，故是对顶角．
故答案为：C．
【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可。
2．如图，下列条件中不能判定直线的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
3．如图，是直角三角形，它的直角边，，将沿边BC的方向平移到的位置，DE交AC于点G，，的面积为13.5，下列结论：①平移的距离是4：②；③ADCF；④四边形ADFC的面积为6．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【解析】【解答】解：∵直角三角形ABC的直角边AB＝6，BC＝8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置，
①∵，
∴三角形ABC平移的距离是2，
故①不符合题意，
②∵沿边BC的方向平移到的位置，，，
∴，，
∵的面积为13.5，且是直角三角形，
∴，
∴，
故②符合题意，
③∵沿边BC的方向平移到的位置，是直角三角形，
∴∠ B=∠ DEC=90°，
∴AD∥CF，
故③符合题意，
④四边形ADFC的面积＝2×6＝12．
故④不符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用平移的性质、平行线的判定和四边形的面积计算方法逐项判断即可。
4．下列命题：①直线a、b、c在同一平面内，如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c．②0.01是0.1的算术平方根．③如果a＞b，那么ac2＞bc2．④如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．⑤如果a＜b＜0，那么0＜ab＜a2．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】①直线a、b、c在同一平面内，如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c．是真命题．
②0.01是0.1的算术平方根．是假命题，0.1是0.01的算术平方根．
③如果a＞b，那么ac2＞bc2．是假命题c=0时，不成立．
④如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等，是假命题．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
⑤如果a＜b＜0，那么0＜ab＜a2．是真命题．
故答案为：B．
【分析】第③个中c2 可能为0；第④个两个角的开口相反时互补.
5．如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村.从C村到D村的公路平行于从A村到B村的公路，则C，D两村与B，C两村公路之间夹角的度数为（ ）
A．100° B．80° C．75° D．50°
【答案】B
【解析】【解答】解：
根据题意可知，AN∥FB，DC∥BE
∴∠NAB=∠FBE=75°
∵∠CBF=25°
∴∠CBE=100°
∴∠DCB=180°-100°=80°
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质，∠NAB=∠FBE=75°，根据∠CBF=25°即可得到∠CBE=100°，由平行线的性质计算得到∠DCB的值即可。
6．如图，下列结论中，正确的是（ ）
A．∠DAC与∠ACB是一对同位角
B．若∠DAC=∠ACB，则AB∥CD
C．∠D与∠DAC是一对同旁内角
D．若∠D=∠B，则AD∥BC
【答案】C
【解析】【解答】A、是一对内错角，故本选项错误；B、∵∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，故本选项错误；C、是一对同旁内角，故本选项正确；D、根据∠D=∠B不能推出AD∥BC，故本选项错误；故选C．
【分析】两条直线被第三条直线所截，不在同一顶点的两个角，如果在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
7．说明命题“若a＜b，则a2＜b2”是假命题，可用的反例是（ ）
A．a＝-1，b＝2 B．a＝-1，b＝-2
C．a＝-2，b＝-1 D．a＝1，b＝2
【答案】C
【解析】【解答】解：若aAD选项，均有 a2＜b2 ，不能说明是假命题，
C选项，有a2>b2，可以说明为假命题，
故答案为：C.
【分析】证明假命题的反例满足条件，但与结论不符.
8．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】D
【解析】【解答】解：A. 直角三角形的两个锐角互余，符合题意，是真命题；
B. 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，符合题意，是真命题；
C. 同旁内角互补，两直线平行，符合题意，是真命题；
D. 三角形的一个外角大于任何一个内角，不符合题意，是假命题；
故答案为：D．
【分析】根据假命题的定义对每个选项一一判断即可。
9．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
【答案】C
【解析】【解答】解：A． 外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A选项不符合题意；
B． 等边三角形有3条对称轴，故B选项不符合题意；
C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项符合题意；
D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据假命题的定义逐项判定即可。
10．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点B在AD的延长线上，DE∥AC，若∠C=50°，∠BDE=60°，则∠CDB= °．
【答案】110
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，∠C=50°，
∴∠CDE=∠C=50°.
∵∠BDE=60°，
∴∠CDB=∠CDE+∠BDE=50°+60°=110°.
12．如图：与∠1是同位角的是 ；与∠1是内错角的是 ；与∠1是同旁内角的是 ．
【答案】∠CMG，∠AMG；∠DMN，∠BMN；∠AMH，∠CMH
【解析】【解答】解：如图：与∠1是同位角的是∠CMG，∠AMG．与∠1是内错角的是∠DMN，∠BMN．与∠1是同旁内角的是∠AMH，∠CMH，
故答案为：∠CMG，∠AMG；∠DMN，∠BMN；∠AMH，∠CMH．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．分别进行分析．
13．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是 ．
【答案】垂直
【解析】【解答】解：∵∠BOC=130°，
∴∠AOD=∠BOC=130°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠EOD=130°﹣40°=90°．
∴OE⊥AB．
故空中填：互相垂直．
【分析】观察图形，可猜想OE⊥AB，根据已知条件，证明∠AOE是直角即可．
14．把“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式 ．
【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【解析】【解答】解：∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“它们相等”，
∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么它们相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【分析】根据命题的定义及书写要求求解即可。
15．如图，AB⊥CD，CD⊥BD，∠A=∠FEC．以下是小贝同学证明CD∥EF的推理过程或理由，请你在横线上补充完整其推理过程或理由．
证明：∵AB⊥CD，CD⊥BD（已知）
∴∠ABD=∠CDB=90°（ ）∴∠ABD+∠CDB=180°．
∴AB∥（ ）（ ）
∵∠A=∠FEC（已知）
∴AB∥（ ）（ ）
∴CD∥EF（ ）
【答案】垂直定义；CD；同旁内角互补，两直线平行；EF；同位角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行
【解析】【解答】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知），
∴∠ABD=∠CDB=90°（垂直定义），
∴∠ABD+∠CDB=180°．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠A=∠FEC（已知），
∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）．
故答案为：垂直定义；CD；同旁内角互补，两直线平行；EF；同位角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行．
【分析】由AB垂直于BD，CD垂直于BD，得到一对直角相等，进而确定出一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，再由已知同位角相等得到AB与EF平行，利用平行于同一条直线的两直线平行即可得证．
16．如图，点E，F分别在射线，上，且平分．若，，，则的度数为 ．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C，
（2）过点P画OA的垂线，垂足为H，
（3）线段PH的长度是点P到 的距离，线段 是点C到直线OB的距离．
（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 （用“＜”号连接）
【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）直线0A；PC的长
（4）PH＜PC＜OC．
【解析】【分析】（1）过直线上一点作已知直线的垂线利用方格线画垂线；
（2）过直线外一点作已知直线的垂线利用方格线画垂线
（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH的长度是点P到OA的距离，线段OP的长是点C到直线OB的距离；
（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC＞PH，CO＞CP，即可得到线段PC、PH、OC的大小关系
18．已知直线l1∥l2，且l4和l1、l2分别交于A、B两点，点P为线段AB上的一个定点如图1）
（1）写出∠1、∠2、∠3、之间的关系并说出理由．
（2）如果点P为线段AB上的动点时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（必说理由）
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，（点P和点A、点B不重合）
①如图2，当点P在射线AB上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系并说出理由．
②如图3，当点P在射线BA上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系（不说理由）
【答案】（1）解：延长DP交直线l2于E，如图1，
∵直线 l1∥l2，
∴∠DEC=∠1，
∵∠3=∠DEC+∠2，
∴∠3=∠2+∠1；
（2）解：不变化，∠3=∠1+∠2，
理由是：∵直线 l1∥l2，
∴∠DEC=∠1，
∴∠3=∠2+∠DEC=∠1+∠2，
（3）解：①当点P在射线AB上运动时，如图2，
∵直线 l1∥l2，
∴∠PFB=∠1，
∴∠PFB=∠2+∠3，
∴∠1=∠2+∠3，
②如图3，当点P在射线BA上运动时，
∵直线 l1∥l2，
∴∠PGA=∠2，
∴∠PGA=∠1+∠3，
∴∠2=∠1+∠3．
【解析】【分析】（1）延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可；（2）延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可；（3）画出图形，延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可；（4）画出图形，延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可．
19．如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC.
（1）∠DAB+∠B等于多少度？
（2）AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？
【答案】（1）解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°．
又∠1=30°，∴∠BAD=120°．
∵∠B=60°，∴∠DAB+∠B=180°
（2）解：AD∥BC，AB与CD不一定平行．理由是：
∵∠DAB+∠B=180°
∴AD∥BC
∵∠ACD不能确定，
∴AB与CD不一定平行．
【解析】【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°；（2）根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC，∠ACD不能确定，从而不能确定AB与CD平行．
20．如图，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：
（1）如图①，求证：OB∥AC．
（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．求∠EOC的度数．
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
【答案】（1）解：∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，
∴∠O=180°﹣∠B=80°，
而∠A=100°，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；
（2）解：∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE=∠FOE= ∠BOF，
而∠FOC=∠AOC= ∠AOF，
∴∠EOC=∠EOF+∠COF= ∠AOB= ×80°=40°；
（3）解：不改变，
∵BC∥OA，
∴∠OCB=∠AOC，
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠OCB，
∴∠OFB=∠FOC+∠OCB=2∠OCB，即∠OCB：∠OFB的值为1：2．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质知∠O=180°﹣∠B=80°，结合∠A=100°得∠A+∠O=180°，即可得证；（2）由角平分线的性质可得；（3）由BC∥OA知∠OCB=∠AOC，结合∠FOC=∠AOC知∠FOC=∠OCB，从而得∠OFB=2∠OCB；
21．已知，如图，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D、E分别在CA、BA 的延长线上，DB∥AH，∠D＝∠E.
（1）求证：DB∥EC；
（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大5°.求∠D的度数.
【答案】（1）证明：∵DBAH，
∴∠D＝∠CAH，
∵AH平分∠BAC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵∠D＝∠E，
∴∠BAH＝∠E，
∴AHEC，
∴DBEC；
（2）解：设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x，∠BAH＝2x，
∠DAB＝180° 4x，
∠DAB比∠AHC大5°
∠AHC＝175° 4x，
DBAH，
即：175° 4x＝3x，
解得x＝25°，
则∠D＝∠CAH＝∠BAH＝∠ABD＝2x＝50°.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等可得∠D＝∠CAH，根据角平分线的定义可得∠BAH＝∠CAH，再根据已知条件和等量关系可得∠BAH＝∠E，从而根据同位角相等，两直线平行，即可求解；
（2）设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x，则∠BAH＝2x，可得∠DAB＝180° 4x，可得∠AHC＝175° 4x，根据二直线平行，同位角相等得∠AHC=∠DBC，据此建立方程，解方程求得x，进一步求得∠D的度数．
22．完成下面证明：如图，B是射线AD上一点，∠DAE=∠CAE，∠DAC=∠C=∠CBE
（1）求证：∠DBE=∠CBE
证明：∵∠C=∠CBE（已知）
∴BE∥AC
∴∠DBE=∠DAC
∵∠DAC=∠C（已知）
∴∠DBE=∠CBE
（2）请模仿（1）的证明过程，尝试说明∠E=∠BAE．
【答案】（1）内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换
（2）证明：∵∠C=∠CBE（已知），
∴BE∥AC（内错角相等，两直线平行 ），
∴∠CAE=∠E（两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠DAE=∠CAE（已知），
∴∠DAE=∠E（等量代换 ）
【解析】【分析】解：（1）证明：∵∠C=∠CBE（已知），
∴BE∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠DBE=∠DAC（两直线平行，同位角相等）．
∵∠DAC=∠C（已知），
∴∠DBE=∠CBE（等量代换）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；
（2）因为AC//BE，所以∠E=∠EAC，两直线平行，内错角相等；又因为AE是∠BAC的角平分线，所以，∠E=∠BAE.
23．如图，在四边形ACDE中，点F、G分别在AE和CD上，连接FG，且，点B在AE的延长线上，连接BC，分别交GF、DE于点M，N，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据平行的性质可知∠2=∠D，结合∠2=∠3可得∠3=∠D，推出AB∥CD，然后根据平行线的性质可得结论；
（2）根据平行线的性质可得∠1=∠B，∠A+∠ACD=180°，由已知条件可得∠A=∠1+70°，∠ACD=∠1+42°，然后代入计算可得∠1的度数，据此解答.
24．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED=
（2）若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED=
（3）猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
【答案】（1）70°
（2）80°
（3）猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC，
∴EF∥AB∥DC，
∴∠AEF =∠EAB，
∠DEF =∠EDC，
∴∠AED =∠AEF +∠DEF，
=∠EAB+∠EDC.
【解析】【解答】解：（1）若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED= 70°
（ 2 ）若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED= 80°
【分析】(1)做EF//AB//CD，因为两直线平行，内错角相等，可知∠AED=∠A+∠D，所以∠AED=；
（2）若∠A=，∠D=，则∠AED=；
（3）做EF//AB//CD，因为两直线平行，内错角相等，可知∠AED=∠A+∠D.
25．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC度数．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
【答案】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，
∴
（2）解：
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴
∴
（3）解：
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，
∴∠AKC=∠AKE ∠CKE=∠BAK ∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP ∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴
∴
【解析】【分析】（1）过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根据 进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得 进而得到 （3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，进而得到∠AKC=∠AKE ∠CKE=∠BAK ∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP ∠DCP，再根据角平分线的定义，得出 进而得到
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