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第二十二章 四边形 单元综合专项提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（ ）
嘉嘉：；淇淇：
A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确
C．两人的都正确 D．两人的都不正确
2．如图，丝带重叠的部分一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
3．如图，在平面直角坐标系中，，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，已知是等边三角形，点是边上一个动点(点不与重合)，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，过点作的平行线交于点，连接，下列四个结论中：①旋转角为；为等边三角形；③四边形为平行四边形；．其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．在四边形ABCD中，∠A+∠C+∠D=250°，则∠B为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
7．如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．3
8．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，给出四组条件：
⑴，；⑵，；
⑶，；⑷，；
能判定此四边形是平行四边形的组数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在等腰三角形中，，，点在上，，点是斜边上一动点，连接，于，于，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
10．如图，为的对角线，，于点E，于点F，、相交于点H，直线交线段延长线于点G，下列结论：①；②；③；④若，则其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在四边形ABCD中， ， ，点E为CD上一点且DE＝3EC，点F，G分别是AE，BE的中点，若FG＝4cm，则DE的长度为 ．
12．如图，已知P是正方形ABCD对角线AC上的一点，且AP＝AD，则∠CDP的大小是 度．
13．如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD=20，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是__.
14．如图，平行四边形ABCD的顶点A是等边△EFG边FG的中点，∠B=60°，EF=4，则阴影部分的面积为 .
15．已知多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的内角和是 ．
16．菱形的边长为4，，将该菱形绕顶点A在平面内逆时针方向旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
18．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积S．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）求证：EO＝FO.
（2）若AE＝EF＝4，求AC的长．
20．如图，在四边形中，，对角线，交于点，，且平分，过点作交的延长线于点.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积.
21．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
（2）连接BE，DF，四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
22．如图，在矩形中，是上一点，连接，沿折叠，点恰好落在上的点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．
（1）求证：△BCQ≌△ODQ；
（2）求点P的坐标；
（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．
24．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF.连接BE，BF，DE，DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形DEBF为平行四边形.
25．下面是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
如图，在正方形 中， ，求证： ．
（1）请根据上述内容，结合图①，写出完整的证明过程．
（2）如图②，在四边形 中， 交 于点F，交 于点 ，点G是线段 上的一个动点，连结 ．当四边形 的面积是4时，线段 的长度为 ．
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第二十二章 四边形 单元综合专项提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（ ）
嘉嘉：；淇淇：
A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确
C．两人的都正确 D．两人的都不正确
【答案】C
2．如图，丝带重叠的部分一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD=BC AE=CD AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
3．如图，在平面直角坐标系中，，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，交直线AD于点C，
∵A（-1，3），
∴AD=3，OA=1，
∵BC⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AD⊥BC，
∴∠ADO=∠BCA=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠BAO=90°，
∴∠BAC+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠CBA，
在△ADO与△BCA中，
∵∠BCA=∠ADO=90°，∠ABC=∠OAD，AB=AO，
∴△ABC≌△OAD（AAS）
∴BC=AD=3，AC=OD=1，
∴CD=AD+AC=4，
∵∠ADO=∠DOE=∠OEC=∠ECD=90°，
∴四边形DOEC是矩形，
∴CE=DO=1，
∴BE=BC-CE=2，
∴点B(2，4).
故答案为：B.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，交直线AD于点C，根据点A的坐标易得AD=3，OA=1，然后用AAS判断出△ABC≌△OAD，得BC=AD=3，AC=OD=1，则CD=AD+AC=4，进而证四边形DOEC是矩形，得CE=DO=1，则BE=BC-CE=2，从而即可得出点B的坐标.
4．如图所示，已知是等边三角形，点是边上一个动点(点不与重合)，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，过点作的平行线交于点，连接，下列四个结论中：①旋转角为；为等边三角形；③四边形为平行四边形；．其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为，
故答案为：C．
【分析】根据菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，得出A、C坐标关于原点对称，即可得解。
6．在四边形ABCD中，∠A+∠C+∠D=250°，则∠B为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠A+∠C+∠D+∠B=360°
∴∠B=360°-（∠A+∠C+∠D）=360°-250° =110°
故答案为：B.
【分析】利用四边形内角和为360°，可以得出∠B=360°-（∠A+∠C+∠D），从而得出结果。
7．如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，连接BD和BG，如下图所示：
四边形ABCD是菱形，
， ， ，
与 是等边三角形，
且点G恰好为CD边的中点，
平分AB， ，
， ， ，
， ，
在 中， ，
由勾股定理可知： ，
，
由折叠可知： ，故有 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可知： ，
即 ，解得 ，
故答案为：B.
【分析】过点D作DH⊥AB 于点H，连接BD和BG，由菱形性质得AB=AD=CD=BC，∠C=60°，可推出△ADB和△BCD是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出点G恰好为CD边的中点；再求出AH的长，利用勾股定理求出DH的长，即可得到BG的长；利用折叠的性质可知AE=GE，设AE=x，可表示出BE的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x值.
8．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，给出四组条件：
⑴，；⑵，；
⑶，；⑷，；
能判定此四边形是平行四边形的组数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】（1）∵，，∴利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得证，∴（1）符合题意；
（2）∵，，∴利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形可得证，∴（2）符合题意；
（3）∵，，∴利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得证，∴（3）符合题意；
（4）∵，，∴利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证，∴（4）符合题意；
综上，符合题意是（1）（2）（3）（4），共4个，
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的判定方法逐项分析判断即可.
9．如图，在等腰三角形中，，，点在上，，点是斜边上一动点，连接，于，于，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
10．如图，为的对角线，，于点E，于点F，、相交于点H，直线交线段延长线于点G，下列结论：①；②；③；④若，则其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在四边形ABCD中， ， ，点E为CD上一点且DE＝3EC，点F，G分别是AE，BE的中点，若FG＝4cm，则DE的长度为 ．
【答案】6cm
【解析】【解答】解：∵点F，G分别是AE，BE的中点，
∴
∵在四边形ABCD中， ，
∴四边形ABCD是平行四边形
∴
∵
∴
故答案为6cm．
【分析】先利用三角形中位线的性质求出AB的长，再利用线段的计算求解DE即可。
12．如图，已知P是正方形ABCD对角线AC上的一点，且AP＝AD，则∠CDP的大小是 度．
【答案】22.5
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∵AP=AD，
∴∠ADP=∠APD=67.5°，
∴∠PDC=∠ADC-∠ADP=22.5°．
故答案为：22.5°．
【分析】由正方的性质可得∠CAD=45°，∠ADC=90°，由AP=AD可得∠ADP=∠APD=67.5°，利用∠PDC=∠ADC-∠ADP即可求解.
13．如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD=20，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是__.
【答案】10 10
【解析】【解答】解：∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
如图，连接AC、BD交于点E，连接OE，则AC⊥BD，E为BD的中点
∵BD=20，
∴CD=20，DE=10，
∴CE=103，OE=BD=10，
∴CO≥CE OE=10 10，
∴当C、O、E三点在一条线上时，CO有最小值，最小值为10 10，
故答案为：10 10
【分析】根据等边三角形性质可得AB=AD，再根据菱形判定定理可得四边形ABCD为菱形，连接AC、BD交于点E，连接OE，则AC⊥BD，E为BD的中点，根据边之间的关系及三角形三边关系即可求出答案.
14．如图，平行四边形ABCD的顶点A是等边△EFG边FG的中点，∠B=60°，EF=4，则阴影部分的面积为 .
【答案】3
【解析】【解答】如图，作AM⊥EF，AN⊥EG，连接AE，
∵△ABC为等边三角形，AF=AG，
∴∠AEF=∠AEN，
∵AM⊥EF，AN⊥EG，
∴AM=AN，
∵∠MEN=60°，∠EMA=∠ENA=90°，
∴∠MAN=120°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠DAB=180°-∠B=120°，
∴∠MAN=∠DAB
∴∠MAH=∠NAL，
又AM⊥EF，AN⊥EG，AM=AN，
∴△AMH≌△ANL
∴S阴=S四边形AMEN，
∵EF=4，AF=2，∠AEF=30°
∴AE=2 ，AM= ，EM=3
∴S四边形AMEN=2× ×3× =3 ，
∴S阴=S四边形AMEN=3
故填：3 .
【分析】先求出AM=AN，再证明△AMH≌△ANL，最后利用四边形的面积公式计算求解即可。
15．已知多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的内角和是 ．
【答案】720°
16．菱形的边长为4，，将该菱形绕顶点A在平面内逆时针方向旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是 ．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS）
（2）解：由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【解析】【分析】（1）由BE=FC得出BC=EF，然后利用SSS判断出△ABC≌△DFE；
（2）根据全等三角形对应角相等由△ABC≌△DFE，得出∠ABC=∠DFE，根据内错角相等，二直线平行得出AB∥DF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论。
18．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积S．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
即，
，，
为线段的中点，
，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形
（2）解：四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
四边形的面积
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到，，再根据题意结合三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解；
（2）先根据平行四边形的性质即可得到，进而根据矩形的性质得到，再结合四边形的面积运用勾股定理即可求解。
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）求证：EO＝FO.
（2）若AE＝EF＝4，求AC的长．
【答案】（1）证明：在 ABCD 中，OA=OC （平行四边形对角线互相平分）
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEO=∠CFO=90°
又∵∠AOE=∠COF
∴△AEO≌△∠CFO（AAS）
∴EO=FO（全等三角形的对应边相等）
（2）解：由（1）得 EO=FO
∵ AE=EF=4
∴EO=FO=2
∵AE⊥BD
∴AO =
∴
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得OA=OC，再利用垂直的定义，可证得∠AEO=∠CFO=90°；然后利用AAS证明△AEO≌△∠CFO，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AO的长，即可得到AC的长.
20．如图，在四边形中，，对角线，交于点，，且平分，过点作交的延长线于点.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）根据ASA证明△AOB≌△COD，可得BO=OD，根据对角线互相平分可证四边形为平行四边形，结合角平分线的定义及平行线的定义可得∠DCA=∠DAC，从而得出AD=DC，根据领先型的判定定理即证；
（2）由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=1，利用勾股定理可得AO=2，即得AC=4，根据求出CE， 再利用勾股定理求出BE，继而得出AE，根据三角形的面积公式计算即可.
21．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
（2）连接BE，DF，四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）解：直线EF即为所求；
（2）解：四边形BEDF是菱形。理由是：
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，BF=FC，BO=DO，AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO，
∵∠BOF=∠EOD，
∴ΔBOF≌ΔDOE（ASA）
∴DE=BF
∴四边形BEDF是菱形。
【解析】【分析】（1）做线段BD的垂直平分线是基本作图之一，分别以这两个点为圆心，以大于BD一半的长为半径画弧，在BD的两侧有两个交点，过这两个交点画出的直线就是BD的垂直平分线；
（2）先判断四边形BEDF是菱形，再说明理由，由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可以得EB=ED，BF=FC，再根据全等三角形的判定得到三角形BOF与三角形DOE全等，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形BEDF是平行四边形，即可证得四边形BEDF是菱形。
22．如图，在矩形中，是上一点，连接，沿折叠，点恰好落在上的点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：沿折叠，点恰好落在上的点，
，
矩形，
，
，
，
；
（2）解：矩形，
，，
沿折叠，点恰好落在上的点，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先根据折叠的性质即可得到，进而根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，进而结合题意运用等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据矩形的性质即可得到，，进而根据折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理即可求出x，进而即可求解。
23．已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．
（1）求证：△BCQ≌△ODQ；
（2）求点P的坐标；
（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）证明：∵四边形OABC和四边形ODEF是矩形，
∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，
∵在△BCQ和△ODQ中
∴△BCQ≌△ODQ；
（2）解：∵△BCQ≌△ODQ，
∴CQ=DQ，
在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：OQ2=OD2+DQ2，
则OQ2=（6﹣OQ）2+32，
解得：OQ= ，DQ= ，
即Q的坐标是（0， ），
∵矩形ABCO的边AB=6，OA=3，
∴B的坐标是（﹣3，6），
设直线BD的解析式是y=kx+ ，
把B的坐标代入得：k=﹣ ，
即直线BD的解析式是y=﹣ x+ ，
把y=0代入得：﹣ x+ =0，
解得：x=5，
即P的坐标是（5，0）；
（3）解：
过D作DM⊥OP于M，如图1，
∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，
∴∠QOD=∠MDO，
∴△QDO∽△OMD，
∴ = = ，
∴ = = ，
即得：OM= ，DM= ，
OG=x，x≤3，
分为两种情况：①如图2，当0≤x≤ 时，
∵DM= ，OM= ，OG=x，CG∥DM，
∴△ONG∽△ODM，
∴ = ，
NG= x，
∴S= ×OG×GN= x x，
S= x2；
②如图3，当 ＜x≤3时，
在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD= =4，
∵DM= ，OM= ，
∴PM=5﹣ = ，
∵OG=x，CG∥DM，
∴△PGN∽△PMD，
∴ = ，
∴NG= （5﹣x），
∴S=S△ADP﹣S△PGN= ×3×4﹣ （5﹣x） （5﹣x），
S=﹣ x2+ x﹣ ，
即S和x的函数关系式是S= x2（0≤x≤ ）和S=﹣ x2+ x﹣ （ ＜x≤3）．
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得出∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据全等得出CQ=DQ，在Rt△ODQ中由勾股定理得出OQ2=（6﹣OQ）2+32，求出OQ= ，DQ= ，得出Q的坐标是（0， ），求出直线BD的解析式，即可得出答案；（3）过D作DM⊥OP于M，求出OM、DM，分为两种情况：画出图形，求出GN，根据三角形的面积公式求出即可．
24．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF.连接BE，BF，DE，DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形DEBF为平行四边形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中， ，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
（2）解：由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质可得∠BAE＝∠DCF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）由全等三角形的性质得出BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，可得∠BEF＝∠DFE，推出BE∥DF，可得出结论.
25．下面是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
如图，在正方形 中， ，求证： ．
（1）请根据上述内容，结合图①，写出完整的证明过程．
（2）如图②，在四边形 中， 交 于点F，交 于点 ，点G是线段 上的一个动点，连结 ．当四边形 的面积是4时，线段 的长度为 ．
【答案】（1）解：∵四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）
【解析】【解答】（1）
（2） ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
四边形 的面积是4，且 ，
，
即 ，
解得 ，
同（1）的方法可证： ，
．
【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的定义可证出 ，可得 ；
（2）由勾股定理求出DE=，由可求出，根据四边形GECD的面积=，求出，可证△ABC≌△ECD，可得，利用AG=AC-GF-CF即可求出结论.
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