7.5 三元一次方程组 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
7.5三元一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
2．将下表从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2022个格子中的数字是（　　）
3 a b c 0 2 …
A．3 B．2 C．0 D．
3．《孙子算经》中有一个问题：今有甲、乙、丙三人持钱 ．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十 ．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成七十 ．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱半以益我，钱成五十六 ．”若设甲、乙各持钱数为x、y，则丙持钱数不可以表示为( )
A． B． C． D．
4．已知方程组，则的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　）
A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③
6．已知，，，则等于（ ）
A．0 B．7 C．8 D．9
7．有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ）
A．10元 B．9元 C．8元 D．6元
8．已知方程组的解满足x＋y＝3，则z的值为（ ）
A．10 B．8 C．2 D．－8
9．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用个钱买只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．为丰富学生的课余生活，王老师给小明50元钱，让他购买三种体育用品：大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条14元，小绳每条5元，毽子每个2元．在把钱都用尽的条件下，小绳的买法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
11．下列方程中，是三元一次方程的是（ ）
A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝
C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015
12．观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对
二、填空题
13．甲、乙、丙三个数的和是29，甲数比乙数大5，乙数的等于丙数的，则这三个数是 ．
14．三元一次方程组的解为 ．
15．已知y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1；当x＝0时，y＝1，则a，b，c的值分别为 ．
16．在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，共付30元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，共付44元．则买1斤苹果和2斤西瓜一共需付 元．
17．方程组的解是 ．
三、解答题
18．某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．
(1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
(3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？
19．三兄弟带着西瓜到农贸市场去卖：老大带了个，老二带了个，老三带了个．上午他们按同一价格卖了若干个西瓜（西瓜按整个出售，均大于等于个，且均有剩余），过了中午，怕西瓜卖不完，他们降价把所有剩余的西瓜仍按同一价格全部卖掉了，回家后，他们清点卖瓜款后发现，三人卖瓜所得的钱数一样多，每人都卖得元，问他们的西瓜到底上、下午各按什么价格卖出的？
20．在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
(1)已知，求的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
21．已知y=ax2+bx+c．当x=3时，y=0；当x=-1时，y=0；当x=0，y=3；求a、b、c的值
22．已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则__________，_________．
(2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
23．解下列方程组．
(1)；
(2)．
24．
《7.5三元一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A C A D B D A
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答．
【详解】
解：设1个“”， “”，“”的质量分别为，
∴，
∴，
∴，
即：与1个“”质量相等的“”的个数为2；
故选C．
2．D
【分析】设表格中c后面的数为x，根据任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，即可得出，解出a，b，c，x的值，即得出表格中数据从左到右每4个数为一个循环组依次循环．再根据，即得出第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为．
【详解】设表格中c后面的数为x，
∵任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴，
解得：，
∴表格中数据从左到右依次为 ，
∴每4个数为一个循环组依次循环．
∵，
∴第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为，
故选D．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类．计算出表格中的未知数，再找到规律是解题的关键．
3．C
【分析】设丙的钱数为z，根据丙语列方程，根据甲语列方程 ，根据乙语列方程，然后用含x、y的代数式表示z即可 ．
【详解】解：设丙的钱数为z，
根据丙语得：整理得，故选项A不合题意；
根据甲语得：整理得，故选项B不合题意；
根据乙语得：整理得，故选项C符合题意，选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙，掌握列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙的方法是解题关键．
4．A
【分析】原方程组左右两边同时相加后再两边同时除以2可以得解．　
【详解】解：原方程组左右两边同时相加可得：
∴
故选：A．　
【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握等式的基本性质及方程的变形是解题关键．　
5．C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去．
【详解】解：解三元一次方程组，
得：
得：
方程组变形为，刚好消去z，
故选：C．
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法．
6．A
【分析】解三元一次方程求出x、y、z的值即可得到答案．
【详解】解：
得：，
得：，解得，
把代入到②③得：，解得，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程，正确求出x、y、z的值是解题的关键．
7．D
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案．
【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，
由题意得，
得：，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴是正整数，
∴当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意；
∴，
∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元，
故选：D．
8．B
【详解】由题意，得
2×①－②，得y＝
②－③，得x＝－2
将x＝－2代入③，得y＝5，
则＝5
解得z＝8
9．D
【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得，
，
整理得：
，
，，且都是自然数，
，
，是7的倍数，
，7，14，21，
，18，11，4；
共有4种情况：
①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；
②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；
③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只；
④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只．
故小鸡的只数不可能是
故选：
【点睛】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键．
10．A
【分析】设大绳买了x条，小绳条数y条，毽子z个，根据大绳至多买两条，分两种情况讨论即可．
【详解】解：设大绳买了x条，小绳条数y条，毽子z个，
则有：，
根据已知，得或2，
当时，有，此时y值可取2，4，6共3种；
当时，有，此时y值可取2，4共2种；
综上分析可知，小绳卖法共有3种，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，注意分类讨论．
11．D
【解析】略
12．B
【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可．
【详解】解：
方程可直接消去未知数y，
即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，
∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，
故选：B．
13．甲数为14，乙数为9，丙数为6
【分析】设甲数为x，乙数为y，丙数为z，根据甲、乙、丙三数的数量关系建立方程组求出其解即可．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得，
解得
故答案为：甲数为14，乙数为9，丙数为6．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
14．
【分析】利用代入消元法和加减消元法求解即可．
【详解】，
把代入，得：，
，得：，
，
把代入得：，
把代入得：，
∴原方程组的解是．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解法，解题的基本思路是消元，通过加减消元和代入消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解．
15．1，1，1
【解析】略
16．14
【解析】略
17．
【解析】略
18．(1)小明原计划购买文具袋13个
(2)小明购买了30支钢笔，20支签字笔
(3)一共有7种购买方案，见解析
【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，利用总价单价数量，结合多买一个反而省11元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，利用总价单价数量，结合购买两种笔共50支且共花费288元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，根据单价可列方程为，最后结合题意进行讨论即可．
【详解】（1）设小明原计划购买文具袋x个，
依题意得：，
解得：．
答：小明原计划购买文具袋13个．
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，
依题意得：，
解得：．
答：小明购买了30支钢笔，20支签字笔．
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，
由题意得，
∵三样都要买，且把48元恰好用完，
∴有如下方案：
①当时，把48元恰好用完；
②当时，把48元恰好用完；
③当时，把48元恰好用完；
④当时，把48元恰好用完；
⑤当时，把48元恰好用完；
⑥当时，把48元恰好用完；
⑦当时，把48元恰好用完，
综上所述，一共有7种购买方案．
【点睛】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
19．上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元
【分析】设老大、老二、老三上午卖掉的西瓜个数分别为 ，，，（，，均为正整数），下午卖掉的西瓜个数依次为 ，，．上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元．根据题意可得出关于x、y、z、m、n的方程组，结合，， 均为整数，且 ，以及整数的特性讨论求解即可．
【详解】设老大、老二、老三上午卖掉的西瓜个数分别为 ，，，（，，均为正整数），下午卖掉的西瓜个数依次为 ，，．上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元．（）
则 ，
，
，
，， 均为整数，且 ，
， 都是正整数，可设 ，（ 为正整数），
，．
，
，，，．
，
解得 ；
上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元．
【点睛】本题考查了方程组的应用，正确理解题意、结合所设相关未知数为正整数讨论求解是关键．
20．(1)
(2)节省了元
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【详解】（1）解：（1），
①②得：，
则；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
21．，，．
【分析】代入得出三元一次方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：由题意得：
将代入①，③中得：，
由④⑤得：，
解得：，
将代入④中得：，
解得：，
即，，．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能根据题意得出三元一次方程组，题目比较好，难度适中．
22．(1)-1，5
(2)-11
【分析】（1）利用①-②可得x-y的值，利用（①+②）可得x+y的值；
（2）根据新运算的定义可得出a、b、c的三元一次方程组，由可得出a+b+c的值，即的值．
【详解】（1），
由①-②可得：x-y=-1，
由（①+②）可得：x+y=5，
故答案为：-1，5；
（2）依题意得：，
由可得：a+b+c=-11，
即= a+b+c=-11．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程．
23．(1)
(2)
【分析】（1）运用代入消元法计算即可．
（2）设比值法，再运用代入消元法计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
解得
∴，
∴原方程组的解为．
（2）∵，
∴，
∴，
解得
∴，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，灵活选择求解方法是解题的关键．
24．
【分析】由于未知数的系数均为1，可以用加减消元法解答．
【详解】解：，
①+②+③得，
∴，
④-③得y＝0，
将y＝0代入①中得：x=2，
将y＝0代入②中得：z=3
故原方程组的解为：．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，用加减消元法来解答，要注意消元思想的应用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)