8.2 证明的必要性 同步练习（含解析）

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8.2证明的必要性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
2．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；
②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；
④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．
正确的顺序是( )
A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④
C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④
3．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：

证明：如图，，
．
，
，
，
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等
4．在第届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，说：是，说：是，说：是，说：说错了，说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是（　　）
A．B B．C C．D D．E
5．用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中每个内角都大于 D．三角形中没有一个内角小于
6．，，，，五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
7．卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强．
下表是世界杯E组积分表：
排名 球队 积分
1 日本 6
2 西班牙 4
3 德国 4
4 哥斯达黎加 ？
如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．用反证法证明“若，则”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么，整个比赛的第10局的输方（ ）
A．必是甲 B．必是乙 C．必是丙 D．不能确定
10．下列说法正确的是（ ）
A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明
C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行
二、填空题
11．用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等．
已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，．
求证：．
证明：假设所求证的结论不成立，
即____________________．
过点A作直线，使与所成的与相等，则__________，
所以直线与直线不重合．
但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立．
所求证的结论成立．
12．用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据．
13．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下：
原料 时间 工序 原料 原料 原料
上漆
描绘花纹
则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时．
14．电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 （填方块上的字母）．
15．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ．
要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例．
三、解答题
16．写出四个数学名词的定义．
17．把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题．
18．求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角．
《8.2证明的必要性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D C C D C A B
1．C
【分析】交换题设和结论，即可得到答案．
【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|，
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论．
2．C
【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可．
【详解】证明：因为，（已知），
所以，（等式的性质）；
因为（已知），
所以（等量代换）．
所以（等量代换）．
∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．
故选C．
【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键．
3．A
【分析】阅读证明可以得到答案．
【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则，
故选：A．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论．
4．D
【分析】教练说：你们中只有一人说对了，根据，相互矛盾，由此即可求解．
【详解】解：说：是，说：说错了，教练说：你们中只有一人说对了，
∴和的说法只能一真一假，不能同真，也不能同假；
∴和，说得都是假话，
∴只有说对了，
∴第一名是E
故选：．
【点睛】本题主要考查命题的逻辑推理，理解题目中教练，和的说法进行推导是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于．
故选：C．
6．C
【分析】此题考查了推理与论证，若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当进行前三强，那么、也进入，这样才符合题意．
【详解】若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意，
同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，．
故选：C．
7．D
【分析】根据题意可得小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，再由表格可得日本队，西班牙队，德国队的胜负情况，即可求解．
【详解】解：根据题意得：小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，
∵日本队得6分，
∴日本队胜2场，负1场，
∵西班牙队得4分，
∴西班牙队胜1场，平1场，负1场，
∵德国队得4分，
∴德国队胜1场，平1场，负1场，
∴哥斯达黎加队可以是胜1场，负2场，也可以是平2场，负1场，
∵本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平，
∴斯达黎加队胜1场，负2场，
∴哥斯达黎加的积分是3分．
故选：D
【点睛】本题主要考查了逻辑推理，明确题意，准确得到日本队，西班牙队，德国队的胜负情况是解题的关键．
8．C
【分析】根据反证法的第一步是否定结论， 大于的否定说法是小于或等于，则可判断结论．
【详解】否定结论：，则应假设：，
故选：C．
【点睛】本题考查反证法对结论的否定，要掌握一些常见结论的否定方法．如“大于”的否定是“不大于或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等．
9．A
【分析】根据丙共当裁判8局，因此，甲乙打了8局；甲共打了12局，因此，丙甲共打了4局，利用乙共打了21局，因此，乙丙打了13局．因此，共打了25局，那么，甲当裁判13局，乙当裁判4局，丙当裁判8局，由于实行擂台赛形式，因此，每局都必须换裁判；即，某人不可能连续做裁判．因此，甲做裁判的局次只能是：1、3、5、…、23、25；由于第11局只能是甲做裁判，显然，第10局的输方，只能是甲，据此即可判定．
【详解】解：根据题意，知丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛，
又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局，
三个人之间总共打了(8+4+13)=25局，
考查甲，总共打了12局，当了13次裁判，所以他输了12次．
所以当n是偶数时，第n局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了推理论证，要首先能够判断出比赛的总场数以及三人各自当裁判的次数，然后根据甲当的裁判次数和总的场数进行分析求解．
10．B
【解析】略
11．、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
【分析】假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可．
【详解】解：假设所求证的结论不成立，
即．
过点A作直线，使与所成的与相等，则，
所以直线与直线不重合．
但（同位角相等两直线平行），又已知，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾．所以不成立．
所求证的结论成立，
故答案为：、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，．
【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是记住反证法的步骤：否定结论，得出矛盾，肯定结论．
12．推理
【分析】根据定理的定义进行求解即可．
【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据．
故答案为：推理．
【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键．
13．
【分析】根据分析，甲按、、的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可．
【详解】甲按、、的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要（小时），
故答案为：．
【点睛】此题考查推理与论证，关键是得出工作顺序．
14．B、D、F、G
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷， A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案．
【详解】解：由题图中第三行第一列的“1”可知,第二行第一列是雷。 用假设法推理如下：①假设A是雷，则由B下方的2可知：B不是雷；C不是雷；与C下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则A不可能是雷；
②假设B不是雷，由B下方的“2”可知：C是雷，由C下方的“2”可知：D是雷；与D下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则B是雷；
③假设A不是雷，B是雷，则由B下方的“2”可知，C不是雷；由C下方的“2”可知，D是雷；由D下方的“2”可知：E不是雷；由E下方的“3”可知，F是雷；由F下方的4可知：G是雷，∴B、D、F、G一定是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷，着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识．
15． 证明 举反例 结论
【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．．
【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．
要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．
故答案为：证明；举反例；结论．
【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键．
16．答案不唯一，见解析
【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可．
【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程；
（2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解；
（3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程；
（4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义．
17．见解析
【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直．
题设：两条射线分别是邻补角的角平分线；
结论：它们互相垂直．是真命题；
如图，，是邻补角，，分别平分，．
18．见解析
【分析】先假设结论不成立，反面成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可．
【详解】已知：四边形．
求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角．
证明：假设四边形中没有一个角是钝角或直角，即，
于是．
这与“四边形的内角和为”矛盾，
所以四边形中至少有一个角是钝角或直角．
【点睛】此题考查了反证法，解题关键要掌握反证法的步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
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