8.3 基本事实与定理 同步练习（含解析）

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8.3基本事实与定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果，，那么 D．负数没有平方根
2．下列语句中，是定义的是（　　）
A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等
C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形
3．如图，要得到，只需要添加一个条件，这个条件不可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题，属于真命题的是（ ）
A．同旁内角互补 B．0没有平方根
C．4的平方根是2 D．同位角相等，两直线平行
5．如图，下列各组条件中，能得到的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．等角的补角相等 B．相等的角是对顶角 C．和为的两角互余 D．内错角互补，两直线平行
7．下列真命题能作为基本事实的是（ ）
A．对顶角相等
B．三角形的内角和是
C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．内错角相等，两直线平行
8．下列说法不正确的是（　　）
A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B．定理是命题，而且是真命题
C．“对顶角相等”是命题，但不是定理
D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可
9．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
10．“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（ ）
A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对
11．下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等 D．延长至D使
12．下列命题是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行
B．直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
二、填空题
13．如图，直线c与a、b相交，，，要使直线a与b平行，直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是 °．

14．用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据．
15．如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③∠A＝∠DCE；
④∠A＋∠ABD＝180°．
能判断AB∥CD的有 （填写序号）．
16．如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线，相交于P，且，那么与l的位置关系是 ．
三、解答题
17．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：，，，求证：．
证明：∵（已知）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（_______________）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴_________（__________________）
∴_________．（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（__________________）．
18．如图，已知：点A在射线上，，，．

(1)求证：；
(2)猜测和的位置关系，说明理由．
19．如图，，，垂足分别是，，．
(1)判断与的位置关系；（不需要证明）
(2)求证：．
20．若与的两边分别平行，且比的倍少，求度数．
21．如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求证：MDGF．
下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①　　）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BDEF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠CBD（ ②　　）．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴③　　（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MDBC（④　　）．
∴MDGF（⑤　　）．
22．写出四个数学名词的定义．
《8.3基本事实与定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D D B A C C C C
题号 11 12
答案 B C
1．A
【分析】本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可．
【详解】A、如果两个角相等，那么它们是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等，这两个角不是对顶角，故A是假命题，符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，故B是真命题，不符合题意；
C、如果，那么，故C是真命题，不符合题意；
D、负数没有平方根，故D是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例．
2．D
【分析】本题考查定义．根据定义的概念判断即可．
【详解】解：A、点A到点B的距离是，不是定义，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等是定理，不是定义，不符合题意；
C、直角都相等，不是定义，不符合题意；
D、两边相等的三角形是等腰三角形，是定义，符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】根据A、B中条件结合“同旁内角互补，两直线平行”可以得出AB//CD，根据C中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AB//CD，而根据D中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AD//BC．由此即可得出结论．
【详解】解：A、∠D+∠BAD＝180°，
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；
B、∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；
C、∠2＝∠4，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
D、∵∠1＝∠3，
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行），符合题意；
故选D ．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据四个选项给定的条件结合平行线的性质找出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等或互补的角找出平行的两直线是关键．
4．D
【分析】利用平行线的判定与性质、平方根的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解∶ A．只有两直线平行同旁内角才互补，原命题是假命题，故此选项不符合题意；
B．0的平方根是0， 原命题是假命题，故此选项不符合题意；
C．4的平方根是，原命题是假命题，故此选项不符合题意；
D．同位角相等，两直线平行， 是真命题，故此选项符合题意．
故选∶D．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，解题的关键是了解平行线的判定与性质、平方根的定义等知识，难度不大．
5．B
【分析】根据平行线的判定即可得到正确选项．
【详解】解：由，得，由其它条件均不能得到；
故选．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．
6．A
【分析】分别根据平行线的判定、对顶角的定义、补角的性质及互余角的定义，举反例排除错误选项，从而得到正确结论．
【详解】解：A、等角的补角相等，故A正确；
B、如图，OC平分，则，但与不是对顶角．即相等的角不一定是对顶角，故B错误；
C、和为的两角互补，故C错误；
D、内错角相等，两直线平行，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了补角性质、对顶角定义、余角定义、平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本的性质和判定方法．
7．C
【分析】本题考查命题与定理．数学公理也叫数学基本事实，都是人们在实践经验中得到的结论，没有经过证明得出的．判断所给命题是否是经过证明得出的结论，即可解答．
【详解】解：四个选项中，A，B，D需要证明得出的结论，只有C是基本事实．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了定理于命题的相关知识点，掌握命题，定理和证明的概念是关键.
【详解】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意；
定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意；
对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意；
要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意；
故选：C
9．C
【分析】交换题设和结论，即可得到答案．
【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|，
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论．
10．C
【分析】根据定义、定理、基本事实的概念判断即可．
【详解】“过平面上两点，有且只有一条直线”属于基本事实．
故选：C．
【点睛】本题主要考查定义、定理、基本事实的区分，牢记定义、定理、基本事实的概念是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意；
B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意；
C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意；
D. 延长至D使，不是定义，不符合题意；
故选：B
12．C
【分析】根据平行线的判定，平行公理、垂线的性质、点到直线的距离进行判断即可．
【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故为假命题，不合题意；
B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是这一点到这条直线的距离，故为假命题，不合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故为真命题，符合题意；
D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
13．35
【分析】要使，则，根据已知条件即可确定旋转的度数．
【详解】解：当时，，
又∵，，
，
直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
14．推理
【分析】根据定理的定义进行求解即可．
【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据．
故答案为：推理．
【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键．
15．①；③
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可．
【详解】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
②根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证明AB∥CD；
③根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
④根据同旁内角互补，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证明AB∥CD．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
16．相交
【分析】根据平行公理解答即可．
【详解】解：P是直线l外一点，两条直线相交于P，且那么与l的位置关系是相交，因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：相交．
【点睛】本题考查了平行公理．解题的关键掌握平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
17．两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的性质和判定解答即可．
【详解】证明：∵（已知）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行
【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理．
18．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据，得出，得出结论即可；
（2）先证明，再证明，由于，所以可得出和的位置关系.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：；
理由：∵，
∴；
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，属于基础题，要灵活运用.
19．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论；
（2）根据可得，则，即可求证．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）证明：，，
（等式的性质），
即 ，
（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角相等，两直线平行．
20．或
【分析】分类讨论，根据与的两边分别平行，可知和相等或互补，分别进行计算即可．
【详解】解：设，则，分两种情况：
①如图，，，
∴，，
∴，
，
∴解得：，
∴；
②如图，，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，的度数是或．
【点睛】本题考查平行线的性质，运用了分类讨论和方程的思想．解题关键是根据两角的两边分别平行，明确两角的数量关系，并准确计算．
21．垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
【分析】根据垂直定义得出∠BDC＝∠EFC，根据平行线的判定推出BD∥EF，根据平行线的性质得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根据平行线的判定得出GF∥BC，GF∥MD即可．
【详解】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴MD∥GF（平行于同一直线的两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
22．答案不唯一，见解析
【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可．
【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程；
（2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解；
（3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程；
（4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义．
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