第八章 平行线的有关证明 单元练习（含解析）

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第八章平行线的有关证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依次类推，与的平分线相交于点，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
2．若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．如果，都是正数，那么
B．如果，那么
C．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
D．同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
4．如图，分别平分的外角，,若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知于点，于点，，则的度数是( )

A． B． C． D．
6．中，，则对的形状判断正确的是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
7．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
9．如图，直线，，那么的度数为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，∠BAC＝32°，点D、E分别在AB、AC边上，将△ADE沿DE折叠，点A落在∠BAC外部的点A'处，若∠1＝106°，则∠2的度数为（ ）
A．34° B．37° C．40° D．42°
11．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图， ．

14．如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则 ．

15．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使C落在点处，且平分∠ABC，平分∠BAC的外角，若∠1＝68°，∠2＝112°，则∠＝
16．如图，，，，则 ．
17．若中，，且，那么的度数为 ．
三、解答题
18．（1）如图①，求；
（2）如图②，求．

19．已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
20．说出如图所示图形中和的度数：
21．如图，分别是的高和角平分线，且，求的度数．
22．（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系；
（2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数；
（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．

23．课本再现
(1)在十一章《三角形》中，我们学习了三角形的内角和外角，知道了三角形的内角和为180°．如图1，因为，又因为，所以，这是我们探究的三角形内角和定理的推论，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，同学们，你还有别的方法证明该推论吗？利用图1写出证明过程．
知识应用
(2)如图2，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．求证：．
24．如图，中，，平分，
(1)若于，，求的大小；
(2)若交于，求证：．
《第八章平行线的有关证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C C C D B B D
题号 11 12
答案 B B
1．A
【分析】先根据角平分线的定义可得，，从而可得，，再根据三角形的内角和定理可得，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：与的平分线相交于点，
，，
，
，，
，
同理可得：，，
归纳类推得：（为正整数），
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
2．A
【分析】本题考查直角三角形的特征，直角三角形的两个锐角互余，由此可解．
【详解】解：若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于：，
故选A．
3．B
【分析】本题主要考查真假命题、有理数的相关性质、直角三角形的性质及平行线的判定，熟练掌握各个性质定理是解题的关键；因此此题可根据正负数、乘方运算、直角三角形的性质及平行线的判定可进行排除选项．
【详解】解：A、如果a、b都是正数，那么，是真命题，故不符合题意；
B、如果，那么，所以原命题是假命题，故符合题意；
C、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；是真命题，故不符合题意；
D、同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；是真命题，故不符合题意；
故选B．
4．C
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，先根据角平分线的定义得出，再根据三角形外角的性质得出，把代入即可得出结论．
【详解】解：∵分别是和的平分线，
∴，
∴
，
∴
，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，先证明，可得，从而可得，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
6．C
【分析】根据在中，，可求出的度数，进而得出结论．
【详解】解：∵在中，，
∴，
解得，
∴是钝角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
7．D
【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查三角形的分类，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形三个内角度数之比，求出最大角即可判断．
【详解】解：∵三角形的三个内角度数之比为，
∴最大角度数为，
∴该三角形是直角三角形．
故选：B．
9．B
【分析】此题考查平行线的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余的性质，根据平行线的性质及垂直的定义得到，，再根据求出度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，

∵，
∴，，
∴，
故选：B．
10．D
【分析】先根据邻补角互补求出，再由折叠的性质求出，利用三角形外角的性质求出∠CDE的度数，进而求出，由此求解即可．
【详解】解：∵∠1=106°，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∵∠BAC=32°，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了邻补角互补，折叠的性质，三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键．
11．B
【分析】
连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案．
【详解】
解：如图，连接，
∵平分，平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、角平分线的定义等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键．
12．B
【分析】根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：在中，,
又∵，，
∴，
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和为是解答本题的关键．
13．/270度
【分析】设与交于点，由模型可知，，①+②，根据角之间的关系即可得．
【详解】解：如图，设与交于点，

由模型可知，
，
①+②，得，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的角，解题的关键是理解题意，掌握三角形外角．
14．
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，图形类规律探究，根据飞镖模型的结论结合角平分线的定义，推导出相应的规律，即可．
【详解】解：由题意，得：；
，
∵，
∴，
∴，
∴，
同法可得：，，
，
∴；
故答案为：．
15．11°/11度
【分析】连接，先根据三角形外角的性质和折叠的性质可得∠ACB＝22°，由角平分线的定义和三角形外角的性质可得结论．
【详解】解：如图，连接，
由折叠得：CE＝，DC＝，∠DCE＝∠，
∴，，
∵∠1＝＝68°，∠2＝＝112°，
∴＝34°，＝56°，
∴∠ACB＝56°﹣34°＝22°，
∵平分∠ABC，平分∠BAC的外角，
∴∠∠FAC，∠∠ABC，
∵∠＝∠﹣∠∠FAC∠ABC∠ACB＝11°．
故答案为：11°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、图形折叠的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解决本题的关键．
16．
【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
17．/40度
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握直角三角形的性质．根据，利用直角三角形的两个锐角互余的性质，求出，再根据求出答案即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：
18．（1）；（2）
【分析】（1）根据是的外角得，根据是的外角得，利用三角形内角和即可得；
（2）根据是的外角得，根据是的外角得，利用三角形内角和定理即可得．
【详解】解：（1）∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴；
（2）∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的外角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的外角．
19．70°，详见解析
【分析】先根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
20．，
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，根据三角形内角和可求出的度数，根据三角形外角性质可求出的度数．
【详解】解：，
．
21．
【分析】由的度数利用三角形内角和定理可求出的度数，根据平分可得出的度数，在中可求出的度数，再根据即可求出结论．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内角和定理求出及的度数是解题的关键．
22．（1）；（2）；（3），理由见详解
【分析】（1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到；
（2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到；
（3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到．
【详解】解：（1），理由如下：
如图1，与交于点M．

由折叠的性质可知，
∵为外角，
∴，
∵为外角，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
∵，
∴，
∴,
∵的平分线，与的外角平分线交于点N，
∴，
∵为的外角，为的外角，
∴；
（3）解：，理由如下；
由折叠的性质可知，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键．
23．(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）作，利用平行线的性质得到，，即可证明结论；
（2）利用三角形的外角性质得到，，据此即可证明结论．
【详解】（1）证明：过点C作，
∴，，
∴；
（2）证明：∵是的外角的平分线，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，第(2)问利用第(1)问的结论证明是解题的关键．
24．(1)
(2)证明，见解析
【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和，三角形的外角和，角平分线的性质，即可．
（1）根据题意，则，求出的角度；再根据角平分线的性质，则，根据，三角形内角和，求出，即可求出；
（2）根据角平分线的性质，三角形内角和，则，根据，则，再根据，即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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