人教新课标A版必修1第一章 集合与函数概念1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

第一章　集合与常用逻辑用语
　命题及其关系、充分条件与必要条件 课时作业
一、选择题
1．(2016·陕西质检)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：f(x)在R上为奇函数 f(0)＝0；f(0)＝0 f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.
答案：A
2．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　　)
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
解析：由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1，选A.
答案：A
3．(2016·山西质检)给定下列三个命题：
p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；
p2： a，b∈R，a2－ab＋b2<0；
p3：cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．
则下列命题中的真命题为(　　)
A．p1∨p2 B．p2∨綈p3
C．p1∨綈p3 D．綈p2∧p3
解析：对于p1，令f(x)＝ax＋x(a>0，且a≠1)，当a＝时，f(0)＝0＋0＝1，f(－1)＝－1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2，因为a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，所以p2为假命题；对于p3，因为cosα＝cosβ α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题，所以綈p2∧p3为真命题，故选D.
答案：D
4．(2016·原创题)“(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：(m－1)(a－1)>0等价于或而logam>0等价于或所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m＝0，a＝0时，不能得出logam>0，故选B.
答案：B
5．(2016·北京东城月考)若集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B A”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由题意知A＝{x|1反之，若2答案：A
6．(2016·湖南雅礼中学月考)设函数f(x)＝log2x，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为f(x)＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)；反之，当f(a)>f(b)时，a>b.故选B.
答案：B
7．(2016·东北三省一模)已知p：x≥k，q：<1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：∵q：<1，∴－1<0，∴<0.
∴(x－2)·(x＋1)>0，∴x<－1或x>2.
因为p是q的充分不必要条件，所以k>2，故选B.
答案：B
8．(2016·河南郑州联考)已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2，且f(x)＝(ax＋b)2为偶函数，∴2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，∴f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，∴“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C.
答案：C
9．(2016·山东潍坊调研)“若a，b∈R＋，a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a，b∈R＋，若a2＋b2<1，则a2＋2ab＋b2<1＋2ab<1＋2ab＋(ab)2，即(a＋b)2<(1＋ab)2，所以a＋b<1＋ab成立；当a＝b＝2时，有1＋ab>a＋b成立，但a2＋b2<1不成立，所以“a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的充分不必要条件，故选C.
答案：C
10．在△ABC中，设p：＝＝；q：△ABC是正三角形，那么p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若p成立，即＝＝，由正弦定理，
可得＝＝＝k.
∴∴a＝b＝c.
则q：△ABC是正三角形，成立．
反之，若a＝b＝c，则∠A＝∠B＝∠C＝60°，
则＝＝.
因此p q且q p，即p是q的充要条件．故选C.
答案：C
11．(2016·贵州七校联考)以下四个命题中，真命题的个数是(　　)
①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题．
②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb.
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．
④在△ABC中，∠A<∠B是sinAA．0 B．1
C．2 D．3
解析：对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lga＋lgb，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知∠A<∠B a答案：C
12．(2016·山东济南模拟)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，]
B．(0，)
C．(－∞，0]∪[，＋∞)
D．(－∞，0)∪(，＋∞)
解析：p：|4x－3|≤1，∴－1≤4x－3≤1，
∴≤x≤1；
q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0 (x－a)[x－(a＋1)]≤0，
∴a≤x≤a＋1.
由题意知p是q的充分不必要条件，故有
则0≤a≤.
答案：A
二、填空题
13．如果对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的________条件．
解析：可举例子，比如x＝－0.5，y＝－1.4，可得〈x〉＝0，〈y〉＝－1；比如x＝1.1，y＝1.5，〈x〉＝〈y〉＝2，|x－y|<1成立．因此“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
14．集合A＝，B＝{x||x－b|解析：A＝＝{x|－1因为“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分条件，
所以－1≤b－1<1或－1答案：(－2,2)
15．已知A为xOy平面内的一个区域．
命题甲：点(a，b)∈{(x，y)|}；
命题乙：点(a，b)∈A.
如果甲是乙的充分条件，那么区域A的面积的最小值是________．
解析：设所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN为集合B.由题意，甲是乙的充分条件，则B A，所以区域A面积的最小值为S△PMN＝×4×1＝2.
答案：2
16．已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a即命题p：3a0.
由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－m>m－1>0，
解得1因为p是q的充分不必要条件，所以
或
解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是[，]．
答案：[，]
高考真题演练
1．(2011·山东卷)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：根据四种命题的定义，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”，故选A.
答案：A
2．(2013·天津卷)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切，
其中真命题的序号是(　　)
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：对于命题①，设原球的半径和体积分别为r，V，变化后的球的半径和体积分别为r′，V′，则r′＝r，由球的体积公式可知V′＝πr′3＝π·3＝×πr3＝V，所以命题①为真命题；命题②显然为假命题，如两组数据：1,2,3和2,2,2，它们的平均数都是2，但前者的标准差为，而后者的标准差为0；对于命题③，易知圆心到直线的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切，命题③为真命题．故选C.
答案：C
3．(2015·浙江卷)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数．
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．
(　　)
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
解析：对于命题①，若A≠B，则card(A∪B)>card(A∩B)，从而有d(A，B)>0，即充分性成立．反之，若d(A，B)>0，则card(A∪B)>card(A∩B)，可得A≠B，即必要性成立，故①正确．
对于命题②，作韦恩图如图．
其中m，n，p，q，a，b，c分别为相应部位元素个数，且均为非负整数．
则card(A∪B)＝a＋b＋m＋n＋p＋q，
card(A∩B)＝m＋q，∴d(A，B)＝a＋b＋n＋p.
同理，d(B，C)＝(b＋c＋m＋n＋p＋q)－(p＋q)＝b＋c＋m＋n，
d(A，C)＝(a＋c＋m＋n＋p＋q)－(n＋q)＝a＋c＋m＋p.
∴d(A，B)＋d(B，C)＝a＋2b＋c＋m＋2n＋p.
∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)＝2b＋2n≥0，
即d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．故②正确．故选A.
答案：A
4．(2015·陕西卷)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由sinα＝cosα，得cos2α＝cos2α－sin2α＝0，即充分性成立．
由cos2α＝0，得sinα＝±cosα，即必要性不成立．故选A.
答案：A
5．(2015·北京卷)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，“m∥β”是“α∥β” 的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由两平面平行的判定定理可知，当在其中一个平面内的两条相交直线均平行于另一平面时，两平面平行，所以“m∥β”不能推出“α∥β”；若两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，所以“α∥β”可以推出“m∥β”．因此“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．故选B.
答案：B
6．(2015·重庆卷)“x>1”是“log (x＋2)<0”的(　　)
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当x>1时，x＋2>3>1，又y＝logx是减函数，
∴log (x＋2)1 log (x＋2)<0；
当log (x＋2)<0时，x＋2>1，x>－1，则log (x＋2)<0x>1.故“x>1”是“log (x＋2)<0”的充分而不必要条件．选B.
答案：B