北师大版（2024）七年级数学下册期中测试卷（含新情境试题及解析）

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北师大版（2024）七年级数学下册期中测试卷
选择题（30分）
（新情境试题·学科交叉型）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料,同时还是导电性最好的材料,其理论厚度仅0.00000000034米,将这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2．下面四个图形中，∠1 与∠2是对顶角的图形是（　　）
B． C． D．
3、下列运算正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
4．在关系式y=3x+5中，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，其中正确的是(　　)
A．①②⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤
5.已知x+y=2,xy=-2，则(1-x)(1-y)的值为( )
A. -1 B. 1 C. 5 D. -3
6.一个长方形的面积为，它的长为2a，则宽为( )
A. 2a-3b B. 4a-6b C.2a-3b+1 D. 4a-6b+2
7.“学科交叉型”情境题（跨学科融合）. 如图，一束光线与水平面成60°角照射到地面，现在地面AB上支放着一块平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出(∠1＝∠2)，那么平面镜CD与地面AB所成∠DCA度数为( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
第7题 第8题
8．如图，直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )
A．三角形面积随之增大 B．BC边上的高随之增大
C．∠CAB的度数随之增大 D．边AB的长度随之增大
9.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（ ）
A. B.
C. D.
第9题 第10题
10．（“生活应用型”情景试题）某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资(调进物资和调出物资的速度均保持不变)．储运部库存物资S(吨)与时间t(小时)之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是( )
A．4小时 B．4.4小时 C．4.8小时 D．5小时
填空题（28分）
11.已知，那么a = ．
12.一种电子计算机每秒可以做次运算，它工作秒可做 次运算．
13.已知，则的值为 ．
14. 已知∠AOB＝60°，OC为∠AOB的平分线，以OB为始边，在∠AOB的外部作∠BOD＝∠AOC，则∠COD的度数是________．
15．一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的图象如图，则慢车比快车早出发________小时，快车追上慢车行驶了________千米，快车比慢车早________小时到达B地．
第15题 第16题
16．如图，AD平分∠CAE，CF∥AD，∠1＝80°，∠2＝________.
17．（“实验探究型”情境题）如图，PO∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=60°，若射线AM绕点顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-5|+(b-1)=0,若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动　 　秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
计算题（18分）
18计算
(1)(x2)3·x3-(-x)2·x9÷x2; (2)(-3xy2)2·(-6x3y)÷9x4y5.
19.先化简,再求值:[(a-2b)2-(a+2b)(a-2b)]÷4b,其中a=-2,b=1.
20.以下是小嘉化简代数式(x-2y)2-(x+y)(x-y)-2y2的过程:
解:(x-2y)2-(x+y)(x-y)-2y2
=(x2-4xy+4y2)-(x2-y2)-2y2　①
=x2-4xy+4y2-x2-y2-2y2　②
=y2-4xy.　③
(1)小嘉的解答过程从第　　　　步开始出错,出错的原因是　　　　　　　　　;
(2)请你帮助小嘉写出正确的解答过程,并计算当4x=3y时代数式的值.
解答题（24分）
21．（“生活应用型”情景试题）为了解某种品牌汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表．
汽车行驶时间t/h 0 1 2 3 …
油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 …
(1)根据上表的数据，请你直接写出Q与t之间的关系式．
(2)汽车行驶5 h后，油箱中的剩余油量是多少？
22．（“生活应用型”情景试题）汽车在山区行驶过程中，要经过上坡、下坡、平路等路段，在自身动力不变的情况下，上坡时速度越来越慢，下坡时速度越来越快，平路上保持匀速行驶，如图表示了一辆汽车在山区行驶过程中，速度随时间变化的情况．
(1)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
(2)汽车遇到了几个上坡路段？几个下坡路段？在哪个下坡路段上所花时间最长？
(3)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况，包括遇到的山路，在山路上的速度变化情况等．
23.（“材料阅读理解型”情境题）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：，．
（1）按照这个规定请你计算的值；
（2）按照这个规定请你计算：当时，的值．
五、解答题（20分）
24.（“数学传统文化”情境题）.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数...
（1）（a+b）6的展开式中的最大系数是
（2）请写出（a+2b）4的展开式；
（3）请根据上面的规律计算25-5×24+10×23-10×22+5×2-1的值.
25．（新情境试题·跨学科交叉）如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，AB、BC分别为入射光线和反射光线，则∠ABE=∠CBF．请继续以下探究：
（1）探究反射规律
①如图3，∠ABE=a ,∠BFC=105°，则∠DCG= (用含a的代数式表示)．
②若光线AB∥CD，判断EF与FG的位置关系，并说明理由．
（2）模拟应用研究
在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点D会高于反射点C(如图4)，因此小亮认为反射光线CD应与水平视线DH成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线AB∥DH，当CD与DH所成夹角为15°时，求∠BFC的度数．
答案解析部分
一、选做题
1．【答案】C
【解析】【解答】解：0.00000000034=3.4×0.0000000001 =
故选：C．
【分析】根据科学记数法的概念：把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，n为整数，即可作出选择。
2．【答案】D
【解析】【解答】
角的一条边不是反向延长，故A不符合题意；
B、角的一条边不是反向延长 ，故B不符合题意；
C、没有公共顶点，故C不符合题意；
D、角的两边都是反向延长且有公共顶点，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】对顶角的定义;如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角。据此可以作出选择。
3．【答案】C
【解析】【解答】
A、 ,选项A不符合题意；
B、，选项B不符合题意；
C、，选项C符合题意；
D、，选项D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据幂的乘除法法则计算出4个选项的结果即可作出选择。
4．【答案】A
【解析】【解答】
①x是自变量，y是因变量，正确。②x的数值可以任意选择，正确。③y是变量，它的值与x无关，不正确。④用关系式表示的不能用图象表示，不正确。⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，正确。所以正确的是①②⑤
故答案为：A.
【分析】变量之间的关系中，因变量随着自变量变化而变化。变量之间的关系既可以用表格表示，也可以用关系式和图像表示，据此可以解答。
5．【答案】D
【解析】【解答】=1-x-y+xy
把x+y=2,xy= -2代入V==1-x-y+xy=1-2-2=-3，
故答案为：D.
【分析】把原式展开后把x+y=2,xy= -2代入计算即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】()÷2a=2a(2a-3b+1)÷2a=2a-3b+1
故答案为：A.
【分析】由于长方形的面积=长乘以宽，把面积多项式因式分解后除以长（2a）等于宽。
7．【答案】A
【解析】由题意得∠DCA=∠1(两直线平行，内错角相等），
∠FEC=∠2（对顶角相等）,
∠1=∠2（已知）
∴∠FEC=∠DCA
而∠FEC+∠DCA=60°
∴∠DCA=30°
故答案为：A．
【分析】根据两直线平行内错角相等、对角角相等及已知条件∠1=∠2，先证明∠FEC=∠DCA。再根据三角形外角等于不相邻的两个内角和，求出∠DCA=30°
8．【答案】B
【解析】【解答】
A．三角形面积=底×高÷2，底边BC增加了，所以面积随之增大 选项A正确，
B．BC边上的高AC不变，选项B不正确
C．∠CAB的度数随着BC的增大增大，选项C正确
D．边AB的长度随之增大，选项D正确
故答案为：B
【分析】点B沿CB所在直线远离C点移动,直角△ABC底边BC增加，斜边AB 也随着增加，高AC 不变。而三角形面积=底乘以高除以2，由于底边增加了所以面积也随之增加。
9．【答案】D
【解析】【解答】,
图2的面积=（2a+2b）(a-b)÷2=（a+b）（a-b）
图1的面积等于图2的面积即
故答案为：D
【分析】分别用a、b表示出图形1和图形2的面积即可解答此题。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：观察图像可知，每小时调进30÷2=15（吨），每小时调出（15×4-10）÷（4-2）=25（吨）4小时调进15×4=60（吨），调出的时间是60÷25=2.4（小时），从开始调进到全部调出需要的时间2+2.4=4.4（小时）
故答案为：B．
【分析】先求出每小时调进的吨数和调进的总吨数，然后求出每小时调出的吨数和调出的时间，继而求出从开始调进到全部调出需要的时间
二、填空题
11．【答案】：±3
【解析】
∴
故答案为;±3
【分析】先根据平方差公式把然后再根据题中的等量关系求出a
12．【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可。
13．【答案】16
【解析】【解答】解：
由于
故答案为： 16
【分析】先变形，再根据完全平方公式计算，最后求出答案。
14．【答案】 60°
【解析】【解答】如图
∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=30°
∵∠BOD=∠AOC=30°，
∴∠COD=∠COB+∠BOD=60°
故答案为：60°．
【分析】根据角之间的关系∠AOB=60°，OC平分∠AOB，分别求出∠AOC=∠COB=
所作的角∠BOD=∠AOC。∠COD=∠COB+∠BOD，代入数值计算即可。
15．【答案】 2；276；4
【解析】从图像中获取信息是：慢车比快出先出发2小时，慢车出发6小时行驶276千米快车追上慢车，快车比慢车提前4小时到。
故答案为：5；276；4
【分析】图像是反映路程和时间的关系，从图像中获取信息是解答此题的关键。
16.【答案】 100°
【解析】∵CF∥AD,∴∠1=∠CAD=80°
∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠FAD=80°∴∠CAF=180°-80°-80°=20°
∠FAD=∠CAD+∠CAF=80°+20°=100°
∵CF∥AD,
∴∠2=∠FAD=100°
故答案为：100°
【分析】根据角平分线性质、平行线性质和平角定义，求出∠CAD、∠DAF、∠CAF。而∠2=∠FAD=∠FAC+∠CAD
17．【答案】15或22.5
【解析】【解答】解：根据求出旋转的速度分别是5°和1°
设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行，
射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18×5=90°，
分两种情况：
①如图，当9∵∠BAN= =60°=∠ABQ，∠M'AM=18×5°=90°，∠M'AB=90°-60°=30°
∴∠ABQ'=60°-t°， ∠BAM"=∠M'AM" -∠M'AB=5t°-30° ，
当∠ABQ'=∠BAM”时，BQ'//AM"，
此时，60°-t°=5t°-30°，
解得t=15；
②如图，当18∵∠BAN=60°=∠ABQ，
∴∠ABQ'=60°-t°，∠BAM''=60°-（5t°-90°）=150°-5t°，
当∠ABQ'=∠BAM''时，BQ'//AM'' ，
此时，60°-t°=150°-5t，
解得t=22.5；
综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行.
故答案为15或22.5.
【分析】先求出旋转速度，在求出∠MAM'=18×5=90°，旋转角度分别是∠QBQ'=t°，∠M'AM''=5t°，再分类讨论：
①当9此时，60°-t°=5t°-30°，求出t=15.
②当18此时，60°-t°=150°-5t，求出t=22.5
三、计算题
18．解:(1)(x2)3·x3-(-x)2·x9÷x2
=x6·x3-x2·x9÷x2
=x9-x9
=0.
(2)(-3xy2)2·(-6x3y)÷9x4y5
=9x2y4·(-6x3y)÷9x4y5
=-54x5y5÷9x4y5
=-6x.
【解析】根据同底幂相乘底数不变指数相加；同底幂相除底数不变指数相减；幂的乘方等于底数不变指数相乘。计算法则进行计算，计算过程注意正负号的确定。
19．解:[(a-2b)2-(a+2b)(a-2b)]÷4b
=[a2-4ab+4b2-(a2-4b2)]÷4b
=(a2-4ab+4b2-a2+4b2)÷4b
=(8b2-4ab)÷4b
=2b-a.
当a=-2,b=1时,
原式=2×1-(-2)=4.
【解析】【分析】先利用完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式化简，然后把a=-2,b=1代入计算出结果。
20．解:(1)②　去括号时-y2没有变号
(2)(x-2y)2-(x+y)(x-y)-2y2
=(x2-4xy+4y2)-(x2-y2)-2y2
=x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2
=3y2-4xy.
当4x=3y时,原式=3y2-3y·y=0.
【解析】【分析】（1）去括号是如果括号前面是“+”去掉括号不变号；如果括号前面是“-”去掉括号各项都要变号，牢记此规则是计算的关键。
（2）利用完全平方公式、平方差公式展开各项，然后合拼同类项，再把数值代入计算即可。
四、解答题
21．【答案】解：(1)Q＝50－8t.
(2)当t＝5时，Q＝50－8×5＝10.
答：汽车行驶5 h后，油箱中的剩余油量是10 L.
【解析】
先计算行驶1千米的耗油量（50-42）÷1=8（L/h）或（50-34）÷2=8(L/h)
t小时的耗油量是8t,剩余油量是Q=50-8t
(2)把t＝5代入Q=50-8t求值即可。
22．【答案】 解：(1)汽车在0.2～0.4 h，0.6～0.7h及0.9～1.0三个时间段保持匀速行驶，速度分别是70 km/h，80 km/h和70 km/h
(2)汽车遇到CD，FG两个上坡路段，AB，DE，GH三个下坡路段，AB路段上所花时间最长.
(3)计时开始，汽车下坡行驶0.2 h后转入平路行驶至0.4 h，转入上坡行驶至0.5 h，接着转入下坡行驶至0.6 h，转入平路行驶至0.7 h后又上坡行驶至0.8 h，紧接着转入下坡行驶至0.9 h，最后平路行驶至1 h结束
【解析】【分析】根据“在自身动力不变的情况下，上坡时速度越来越慢，下坡时速度越来越快，平路上保持匀速行驶”及图像中获取信息解答。关键是理解随着时间的增加若图象上升，表明速度在增加；若图象下降，表明速度在减少；若图象与横轴平行，则表明速度不变。
23.【解析】【解答】
解：；
，，
=6x-18-14x
=-18-8x
=-18-8×2
=-34
【分析】（1）根据材料阅读理解是解题的关键，
先根据计算出X=2,再按.方法计算
然后把x=2代入计算即可。
24.【解析】【解答】
解：（1）20
（2）(a+2b)4=a4+4a3·2b+6a2·(2b)2+4a·(2b)3+(2b)4
=a4+8a3b+24a2b2+32ab3+16b4；
（3）原式=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3
+5×2×(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1.
【分析】（1）根据阅读材料的方法求出最大系数。
仿照阅读材料的方法将原式展开即可。
利用得出的规律将原式变形，计算即可求值。
25．【答案】解：（1）①∵ㄥABE=∠CBF=α，∠BFC=105°，
∴∠DCG=∠BCF=180°-105°-α=75°-α，
故答案为：75°-α；
②EF⊥FG，理由如下：
∵∠ABE+∠ABC+∠CBF=180°，∠ABE=∠CBF，
∴∠ABC=180°-2∠CBF，
同理，∠DCB=180°-2∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
即180°-2∠CBF+180°-2∠BCF=180°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠BFC=180°-90°=90°，
∴EF⊥FG.
（2）解： 延长BC交DH于点M，如图：
∵∠MDC+∠M+∠MCD=180°，
∴∠M+∠MCD=180°-∠MDC=165°，
∵MD∥AB，
∴∠M+∠MBA=180°，
∵∠MCD+∠DCB=180°，
∴∠DCB+∠CBA=180°-∠MCD+180°-∠M=360°-165°=195°，
∴∠FCB+∠CBF
∴∠BFC=180°-∠FCB-∠CBF=97.5°．
【分析】（1）①根据∠DCG=∠BCF=180°-∠EFC-∠CBF，即可得出结果；
②先求出∠ABC=180°-2∠CBF，∠DCB=180°-2∠BCF，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180°，求出∠CBF+∠BCF=90°，根据三角形内角和是180°即可求解；
（2）延长BC交DH于点M，根据三角形内角和是180°可得∠M+∠MCD=165°，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠M+∠MBA=180°，求得∠DCB+∠CBA=195°，∠FCB+∠CBF=82.5°，
∠BFC=180°-∠FCB-∠CBF=97.5°
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