中小学教育资源及组卷应用平台
【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
勾股定理(单元强化练习)
(试卷满分:120分 考试时间:120分钟)
注意事项:
1.本试卷共23题,选择10题,填空5题,解答8题
2.作答时合理安排时间,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3.测试范围(章节):二次根式
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分,每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的)
1.在中,,,则( )
A.3 B.1 C. D.或3
2.如图,等边三角形的边长为6,则高的长为( )
A. B. C. D.3
3.如图,的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上,于点.则的长为( )
A. B. C. D.
4.如图,长方形中,在数轴上,若以点为圆心,的长为半径作弧交数轴于点,则点表示的数为( )
A. B. C.2 D.
5.图中的四边形均为正方形,三角形为直角三角形,最大的正方形的边长为7cm,则图中A、B两个正方形的面积之和为( )
A. B. C. D.
6.如图,是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是20cm,每个台阶的高度都是10cm,连接AB,则AB等于( )
A.120cm B.130cm C.140cm D.150cm
7.如图,在平面直角坐标系中,将长方形沿直线折叠(点在边上),折叠后顶点恰好落在边上的点处,若点的坐标为,则点的纵坐标为( )
A.2 B. C.3 D.
8.如图,在Rt△ABC中,,正方形AEDC,BCFG的面积分别为25和144,则AB的长度为( )
A.13 B.169 C.119 D.
9.如图,是一种筷子的收纳盒,长、宽、高分别为4,3 ,12 ,现有一长为16的筷子插入到盒的底部,则筷子露在盒外的部分h()的取值范围( )
A. B. C. D.
10.如图,在中,,,,平分交于点,、分别是,上的动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,满分15分)
11.如上图,在中,,将折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,若AC=6,BC=8,则线段CD的长为 .
12.如图,长方形中,,,长方形内有一个点,连接,,,已知,,延长交于点,则 .
13.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,的三个顶点均在格点上,则该三角形最长边的长为 .
14.海面上有两个疑似漂浮目标.A舰艇以12海里/时的速度离开港口O,向北偏西方向航行;同时,B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶,如图所示,离开港口5小时后两船相距100海里,则B舰艇的航行方向是 .
15.如图,圆柱的高为,底面圆的周长为,一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食,蚂蚁爬行的最短距离为 .
三、解答题(本大题共8小题,满分75分)
16.(本小题满分8分)
如图,正方形网格的每个小方格边长均为1,的顶点在格点上.
(1)直接写出___________,___________,___________;
(2)判断的形状,并说明理由.
17.(本小题满分8分)
如图,中,,,.
(1)的长为 .
(2)把沿着直线翻折,使得点C落在边上E处,求的长.
18.(本小题满分9分)
下图是“梦起航”游乐场的部分平面图,摩天轮和淘气堡均在入口的正北方向,入口和出口在同一条直线上,,测得,,.
(1)求摩天轮到淘气堡的距离;
(2)现要在距离摩天轮45m的处修建游乐项目旋转木马,点,,在同一条直线上,此时恰好,求淘气堡到旋转木马的距离.
19.(本小题满分9分)
森林火灾是一种常见的自然灾害,危害很大,随着中国科技、经济的不断发展,开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图,有一台救火飞机沿东西方向,由点飞向点,已知点为其中一个着火点,且点与直线上两点的距离分别为和,又,飞机中心周围以内可以受到洒水影响.
(1)着火点受洒水影响吗?为什么?
(2)若飞机的速度为,要想扑灭着火点估计需要,请你通过计算判断着火点能否被扑灭?
20.(本小题满分9分)
有一块四边形草地(如图),测得,,,.
(1)求的度数;
(2)求四边形草地的面积.
21.(本小题满分10分)
用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题,这种方法称为等面积法,这是一种重要的数学方法,请你用等面积法来探究下列三个问题:
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形拼成,请验证勾股定理:;
(2)如图2,在中,,是边上的高,,,求的长度.
22.(本小题满分10分)
在中,三边的长分别为,求这个三角形的面积.小宝同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求的高,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将的面积直接填写在横线上________;
思维拓展:
(2)我们把上述求面积的方法叫做构图法.若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的,并求出它的面积填写在横线上_____;
探索创新:
(3)若中有两边的长分别为,且的面积为,试运用构图法在图3的正方形网格(每个小正方形的边长为a)中画出所有符合题意的(全等的三角形视为同一种情况),并求出它的第三条边长填写在横线上_______.
23.(本小题满分12分)
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
(1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放,使点A、E、D在同一条直线上,请利用图2证明勾股定理.
(2)探究发现:如图3以直角三角形的三边为边,向外部作正方形面积分别为,请猜想的等量关系,并证明你的结论.
(3)拓展应用:如图,中,,分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形:、、,若图中阴影部分的面积,,,则 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
第6页(共8页)中小学教育资源及组卷应用平台
【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
勾股定理(单元强化练习)
(试卷满分:120分 考试时间:120分钟)
注意事项:
1.本试卷共23题,选择10题,填空5题,解答8题
2.作答时合理安排时间,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3.测试范围(章节):二次根式
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分,每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的)
1.在中,,,则( )
A.3 B.1 C. D.或3
【答案】D
【详解】解:当时,,,
由勾股定理得:,
当时,,,
由勾股定理得:,
∴或3,
故选:D.
2.如图,等边三角形的边长为6,则高的长为( )
A. B. C. D.3
【答案】C
【详解】解:∵为边长为6的等边三角形,且,
∴,
∴,
在中,由,
根据勾股定理得:.
故选:C.
3.如图,的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上,于点.则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:如图,由勾股定理得 ,
,即,
;
故选:C.
4.如图,长方形中,在数轴上,若以点为圆心,的长为半径作弧交数轴于点,则点表示的数为( )
A. B. C.2 D.
【答案】A
【详解】解:,,
点为圆心,的长为半径作弧交数轴于点,
点表示,
点表示的数为:
故选:A.
5.图中的四边形均为正方形,三角形为直角三角形,最大的正方形的边长为7cm,则图中A、B两个正方形的面积之和为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解∶ 由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积,
故正方形A,B的面积之和.
故选:D.
6.如图,是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是20cm,每个台阶的高度都是10cm,连接AB,则AB等于( )
A.120cm B.130cm C.140cm D.150cm
【答案】B
【详解】试题解析:如图,
由题意得:AC=10×5=50cm,
BC=20×6=120cm,
故AB=cm.
故选B.
7.如图,在平面直角坐标系中,将长方形沿直线折叠(点在边上),折叠后顶点恰好落在边上的点处,若点的坐标为,则点的纵坐标为( )
A.2 B. C.3 D.
【答案】B
【详解】解:∵四边形为长方形,D的坐标为,
∴,
∵矩形沿折叠,使D落在上的点F处,
∴,
在中,,
∴,
设,则,
在中, ,
即,
解,即的长为,
∴点E的坐标为,则点的纵坐标为
故选:B.
8.如图,在Rt△ABC中,,正方形AEDC,BCFG的面积分别为25和144,则AB的长度为( )
A.13 B.169 C.119 D.
【答案】A
【详解】∵在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,AC2=144,BC2=25,
∴AB2=25+144=169,
∴AB==13.
故选A.
9.如图,是一种筷子的收纳盒,长、宽、高分别为4,3 ,12 ,现有一长为16的筷子插入到盒的底部,则筷子露在盒外的部分h()的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解:由图知,筷子露在盒外的部分h()最长为:(),
(),
当筷子斜插于盒内时,即筷子露在盒外的部分h()最短为:
(),
筷子露在盒外的部分h()的取值范围为,
故选:B.
10.如图,在中,,,,平分交于点,、分别是,上的动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:在上取一点,使=,
∵在中,,,,
,
,,
(),
=,
,
则当三点共线,且垂直时,最小,
∵,
∴;
故选:C.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,满分15分)
11.如上图,在中,,将折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,若AC=6,BC=8,则线段CD的长为 .
【答案】
【详解】折叠,
,
设则,
在中,由勾股定理得,
即
解得
即
故答案为:.
12.如图,长方形中,,,长方形内有一个点,连接,,,已知,,延长交于点,则 .
【答案】
【详解】解:延长交于点F,如图,
∵,
∴,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,解得.
故答案为:.
13.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,的三个顶点均在格点上,则该三角形最长边的长为 .
【答案】
【详解】解:由勾股定理得,,,,
∴该三角形最长边的长为,
故答案为:.
14.海面上有两个疑似漂浮目标.A舰艇以12海里/时的速度离开港口O,向北偏西方向航行;同时,B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶,如图所示,离开港口5小时后两船相距100海里,则B舰艇的航行方向是 .
【答案】北偏东
【详解】由题意得,(海里),(海里),
又∵海里,
∵,
即
∴,
∵,
∴,
则B舰艇的航行方向是北偏东,
故答案为:北偏东.
15.如图,圆柱的高为,底面圆的周长为,一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食,蚂蚁爬行的最短距离为 .
【答案】
【详解】解:如图,展开得:
连接,
圆柱的高为,底面圆的周长为,
,,
,
蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为,
故答案为:.
三、解答题(本大题共8小题,满分75分)
16.(本小题满分8分)
如图,正方形网格的每个小方格边长均为1,的顶点在格点上.
(1)直接写出___________,___________,___________;
(2)判断的形状,并说明理由.
【答案】(1),,
(2)的形状是直角三角形,理由见解析
【详解】(1)解:、,,,
故答案为:,,;
(2)解:的形状是直角三角形;
理由如下:
∵ ,,;且
∴的形状是直角三角形.
17.(本小题满分8分)
如图,中,,,.
(1)的长为 .
(2)把沿着直线翻折,使得点C落在边上E处,求的长.
【答案】(1)20
(2)6
【详解】(1)解:∵
∴
∵,
∴
故答案为:;
(2)根据折叠可得:,
则,
设,则,
∵
∴
解得:,
∴
18.(本小题满分9分)
下图是“梦起航”游乐场的部分平面图,摩天轮和淘气堡均在入口的正北方向,入口和出口在同一条直线上,,测得,,.
(1)求摩天轮到淘气堡的距离;
(2)现要在距离摩天轮45m的处修建游乐项目旋转木马,点,,在同一条直线上,此时恰好,求淘气堡到旋转木马的距离.
【答案】(1)75m
(2)60m
【详解】(1),
.
,,
.
,点,均在点的正北方向,即点,,在同一条直线上,
.
答:摩天轮到淘气堡的距离为
(2);
,
,,
,
答:淘气堡到旋转木马的距离为60m.
19.(本小题满分9分)
森林火灾是一种常见的自然灾害,危害很大,随着中国科技、经济的不断发展,开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图,有一台救火飞机沿东西方向,由点飞向点,已知点为其中一个着火点,且点与直线上两点的距离分别为和,又,飞机中心周围以内可以受到洒水影响.
(1)着火点受洒水影响吗?为什么?
(2)若飞机的速度为,要想扑灭着火点估计需要,请你通过计算判断着火点能否被扑灭?
【答案】(1)着火点C受洒水影响,理由见解析
(2)着火点C能被扑灭
【详解】(1)解:着火点C受洒水影响,理由如下,
如图,过点作,垂足为,
,
,,
,
是直角三角形,
,
,
,
着火点C受洒水影响;
(2)解:如图,以点为圆心,为半径作圆,交于点
则,
,
,
在中,,
,
,
,
着火点C能被扑灭.
20.(本小题满分9分)
有一块四边形草地(如图),测得,,,.
(1)求的度数;
(2)求四边形草地的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)解:连接,
,.
是等边三角形,
,,
在中,,,,
,
,
;
(2)过作于,
,
,
,
四边形草地的面积,
答:四边形草地的面积为.
21.(本小题满分10分)
用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题,这种方法称为等面积法,这是一种重要的数学方法,请你用等面积法来探究下列三个问题:
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形拼成,请验证勾股定理:;
(2)如图2,在中,,是边上的高,,,求的长度.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】(1)解:∵外面大正方形的面积,
外面大正方形的面积里面小正方形的面积个直角三角形的面积,
,
整理,得;
(2)在中,,,,
由勾股定理,得,
是边上的高,
,
.
22.(本小题满分10分)
在中,三边的长分别为,求这个三角形的面积.小宝同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求的高,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将的面积直接填写在横线上________;
思维拓展:
(2)我们把上述求面积的方法叫做构图法.若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的,并求出它的面积填写在横线上_____;
探索创新:
(3)若中有两边的长分别为,且的面积为,试运用构图法在图3的正方形网格(每个小正方形的边长为a)中画出所有符合题意的(全等的三角形视为同一种情况),并求出它的第三条边长填写在横线上_______.
【答案】(1);(2);(3)或,画图见解析
【详解】解:(1)的面积为,
故答案为:;
(2)如图,,,,
由图可得:;
故答案为:;
(3)如图所示,,,
此时;
如图所示:,,
此时;
故答案为:或.
23.(本小题满分12分)
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
(1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放,使点A、E、D在同一条直线上,请利用图2证明勾股定理.
(2)探究发现:如图3以直角三角形的三边为边,向外部作正方形面积分别为,请猜想的等量关系,并证明你的结论.
(3)拓展应用:如图,中,,分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形:、、,若图中阴影部分的面积,,,则 .
【答案】(1)见解析
(2),见解析
(3)
【详解】(1)证明:由题意得,
,
,
;
(2)解:,理由如下,
如图,
,
∵,
∴;
(3)解:如图,分别交、于点、点,
∵,,均是等腰直角三角形,
∴,,,
设,,,,,
∵,,,
又∵,
∴,
∵,,
∴
∴.
故答案为:.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
第2页(共19页)