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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
勾股定理（单元强化练习）
（试卷满分：120分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷共23题，选择10题，填空5题，解答8题
2．作答时合理安排时间，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3．测试范围（章节）：二次根式
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．在中，，，则（ ）
A．3 B．1 C． D．或3
2．如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（ ）
A． B． C． D．3
3．如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为( )
A． B． C． D．
4．如图，长方形中，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为( )
A． B． C．2 D．
5．图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
7．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的纵坐标为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．如图,在Rt△ABC中，，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144,则AB的长度为( )
A．13 B．169 C．119 D．
9．如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4，3 ，12 ，现有一长为16的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h()的取值范围（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．如上图，在中，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，若AC=6，BC=8，则线段CD的长为 ．
12．如图，长方形中，，，长方形内有一个点，连接，，，已知，，延长交于点，则 ．
13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，则该三角形最长边的长为 ．
14．海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是 ．
15．如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食，蚂蚁爬行的最短距离为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（本小题满分8分）
如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．
(1)直接写出___________，___________，___________；
(2)判断的形状，并说明理由．
17．（本小题满分8分）
如图，中，，，．
(1)的长为 ．
(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长．
18．（本小题满分9分）
下图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口的正北方向，入口和出口在同一条直线上，，测得，，．
(1)求摩天轮到淘气堡的距离；
(2)现要在距离摩天轮45m的处修建游乐项目旋转木马，点，，在同一条直线上，此时恰好，求淘气堡到旋转木马的距离．
19．（本小题满分9分）
森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与直线上两点的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
(1)着火点受洒水影响吗？为什么？
(2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要，请你通过计算判断着火点能否被扑灭？
20．（本小题满分9分）
有一块四边形草地（如图），测得，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形草地的面积．
21．（本小题满分10分）
用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：；
(2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度．
22．（本小题满分10分）
在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将的面积直接填写在横线上________；
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上_____；
探索创新：
（3）若中有两边的长分别为，且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上_______．
23．（本小题满分12分）
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理．
(2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论．
(3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ．
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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
勾股定理（单元强化练习）
（试卷满分：120分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷共23题，选择10题，填空5题，解答8题
2．作答时合理安排时间，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3．测试范围（章节）：二次根式
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．在中，，，则（ ）
A．3 B．1 C． D．或3
【答案】D
【详解】解：当时，，，
由勾股定理得：，
当时，，，
由勾股定理得：，
∴或3，
故选：D．
2．如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】解：∵为边长为6的等边三角形，且，
∴，
∴，
在中，由，
根据勾股定理得：．
故选：C．
3．如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，由勾股定理得 ，
，即，
；
故选：C．
4．如图，长方形中，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为( )
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：，，
点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，
点表示，
点表示的数为：
故选：A．
5．图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解∶ 由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B的面积之和．
故选：D．
6．如图，是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
【答案】B
【详解】试题解析：如图，
由题意得：AC=10×5=50cm，
BC=20×6=120cm，
故AB=cm．
故选B．
7．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的纵坐标为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形为长方形，D的坐标为，
∴，
∵矩形沿折叠，使D落在上的点F处，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中， ，
即，
解，即的长为，
∴点E的坐标为，则点的纵坐标为
故选：B．
8．如图,在Rt△ABC中，，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144,则AB的长度为( )
A．13 B．169 C．119 D．
【答案】A
【详解】∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，AC2=144，BC2=25，
∴AB2=25+144=169，
∴AB==13．
故选A．
9．如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4，3 ，12 ，现有一长为16的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h()的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由图知，筷子露在盒外的部分h（）最长为：（），
（），
当筷子斜插于盒内时，即筷子露在盒外的部分h（）最短为：
（），
筷子露在盒外的部分h()的取值范围为，
故选：B．
10．如图，在中，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在上取一点，使＝，
∵在中，，，，
，
，，
（），
＝，
，
则当三点共线，且垂直时，最小，
∵，
∴；
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．如上图，在中，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，若AC=6，BC=8，则线段CD的长为 ．
【答案】
【详解】折叠，
，
设则，
在中，由勾股定理得，
即
解得
即
故答案为：．
12．如图，长方形中，，，长方形内有一个点，连接，，，已知，，延长交于点，则 ．
【答案】
【详解】解：延长交于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得．
故答案为：．
13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，则该三角形最长边的长为 ．
【答案】
【详解】解：由勾股定理得，，，，
∴该三角形最长边的长为，
故答案为：．
14．海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是 ．
【答案】北偏东
【详解】由题意得，（海里），（海里），
又∵海里，
∵，
即
∴，
∵，
∴，
则B舰艇的航行方向是北偏东，
故答案为：北偏东．
15．如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食，蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【答案】
【详解】解：如图，展开得：
连接，
圆柱的高为，底面圆的周长为，
，，
，
蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（本小题满分8分）
如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．
(1)直接写出___________，___________，___________；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)的形状是直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：、，，，
故答案为：，，；
（2）解：的形状是直角三角形；
理由如下：
∵ ，，；且
∴的形状是直角三角形．
17．（本小题满分8分）
如图，中，，，．
(1)的长为 ．
(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长．
【答案】(1)20
(2)6
【详解】（1）解：∵
∴
∵，
∴
故答案为：；
（2）根据折叠可得：，
则，
设，则，
∵
∴
解得：，
∴
18．（本小题满分9分）
下图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口的正北方向，入口和出口在同一条直线上，，测得，，．
(1)求摩天轮到淘气堡的距离；
(2)现要在距离摩天轮45m的处修建游乐项目旋转木马，点，，在同一条直线上，此时恰好，求淘气堡到旋转木马的距离．
【答案】(1)75m
(2)60m
【详解】（1），
．
，，
．
，点，均在点的正北方向，即点，，在同一条直线上，
．
答：摩天轮到淘气堡的距离为
（2）；
，
，，
，
答：淘气堡到旋转木马的距离为60m．
19．（本小题满分9分）
森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与直线上两点的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
(1)着火点受洒水影响吗？为什么？
(2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要，请你通过计算判断着火点能否被扑灭？
【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见解析
(2)着火点C能被扑灭
【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点作，垂足为，
，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
着火点C受洒水影响；
（2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点
则，
，
，
在中，，
，
，
，
着火点C能被扑灭．
20．（本小题满分9分）
有一块四边形草地（如图），测得，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形草地的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：连接，
，．
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
；
（2）过作于，
，
，
，
四边形草地的面积，
答：四边形草地的面积为．
21．（本小题满分10分）
用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：；
(2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：∵外面大正方形的面积，
外面大正方形的面积里面小正方形的面积个直角三角形的面积，
，
整理，得；
（2）在中，，，，
由勾股定理，得，
是边上的高，
，
．
22．（本小题满分10分）
在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将的面积直接填写在横线上________；
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上_____；
探索创新：
（3）若中有两边的长分别为，且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上_______．
【答案】（1）；（2）；（3）或，画图见解析
【详解】解：（1）的面积为，
故答案为：；
（2）如图，，，，
由图可得：；
故答案为：；
（3）如图所示，，，
此时；
如图所示：，，
此时；
故答案为：或．
23．（本小题满分12分）
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理．
(2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论．
(3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)
【详解】（1）证明：由题意得，
，
，
；
（2）解：，理由如下，
如图，
，
∵，
∴；
（3）解：如图，分别交、于点、点，
∵，，均是等腰直角三角形，
∴，，，
设，，，，，
∵，，，
又∵，
∴，
∵，，
∴
∴．
故答案为：．
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