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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
平行四边形（单元强化练习）
（试卷满分：120分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷共23题，选择10题，填空5题，解答8题
2．作答时合理安排时间，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3．测试范围（章节）：二次根式
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．在四边形中，对角线，相交于点，且．添加下列条件：①；②；③；④．其中，能判定四边形是平行四边形的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（ ）
A． B．
C．若，则是等边三角形 D．
3．如图，在中，，，分别是边，的中点，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，对角线，菱形的面积为24，则菱形的周长为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
5．如图，以正方形的对角线为一边作菱形，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，，分别交于点，，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝4a，E在BC上，BE＝2a，，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（ ）
A．6a B．5a C．4a D．2a
10．如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．10
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为 ．
12．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，则的度数为 ．
13．如图，在平行四边形中，对角线相交于O点，，E是边的中点，G、F为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ．
15．如图，将矩形沿折叠，使点D部在点B处，点C落在点处，P为折痕上的任意一点，过点P作，，垂足分别为G，H．若，，则（1） ；（2）则 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（本小题满分8分）
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．
17．（本小题满分8分）
如图，矩形 中 ，，， 为 中点， 为 上一点，将沿 折叠后，点A 恰好落到上的点 处．
(1)连接， 求证：；
(2)求折痕的长．
18．（本小题满分9分）
已知：点、分别在平行四边形的边、上，连接、，，．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中（和除外）的4个等腰三角形．
19．（本小题满分9分）
如图，已知．
(1)尺规作图：分别在、、边上取点、、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，求四边形的面积．
20．（本小题满分9分）
如图，在矩形中，点E、F分别在、上，且，垂足为M．
(1)若矩形为正方形，求证：；
(2)若，求证：矩形为正方形．
21．（本小题满分10分）
如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为 _______．
22．（本小题满分10分）
如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若求的长．
23．（本小题满分12分）
【问题情境】
（1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ．
【继续探究】
（2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ．
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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
平行四边形（单元强化练习）
（试卷满分：120分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷共23题，选择10题，填空5题，解答8题
2．作答时合理安排时间，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3．测试范围（章节）：二次根式
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．在四边形中，对角线，相交于点，且．添加下列条件：①；②；③；④．其中，能判定四边形是平行四边形的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【详解】解：①，，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形；
②，，不能判定四边形为平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形；
③∵，
，，
在和中，
，
，
，
四边形为平行四边形；
④，，不能判定四边形为平行四边形；
能判定四边形是平行四边形的①③．
故选：C．
2．如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（ ）
A． B．
C．若，则是等边三角形 D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，故A、B说法正确，不符合题意，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，故C正确，不符合题意；
根据现有条件无法证明，故D说法错误，符合题意．
故选：D．
3．如图，在中，，，分别是边，的中点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，分别是，的中点，，
，
在中，是的中点，，
，
由勾股定理得：，
故选：C
4．如图，在菱形中，对角线，菱形的面积为24，则菱形的周长为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】C
【详解】解：连接交于，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
．
故选：C．
5．如图，以正方形的对角线为一边作菱形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵四边形是菱形，是对角线，
∴．
故选：D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝BD，AO＝CO，AB∥CD
∵BD＝2AD
∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点
∴BE⊥AC，
∴①正确
∵E、F、分别是OC、OD中点
∴EF∥DC，CD＝2EF
∵G是AB中点，BE⊥AC
∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB
∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴②④正确，
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE
∴△BGE≌△FEG（SSS）
∴③正确
故选D．
7．如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，，分别交于点，，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵长方形纸片，，，
∴，，，
∵将沿折叠，点C落在点E处，
∴，，．
在和中， ，
∴，
∴，． 设，则，，
又∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
8．如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】解：如图，连接，并延长交与，连接，
，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点G是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵H是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝4a，E在BC上，BE＝2a，，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（ ）
A．6a B．5a C．4a D．2a
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为菱形，，，
∴关于对称，，，
∴，
则，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为的长，
又，，
∴为等边三角形，
，
∴，
∴，
即的最小值为，
故选：D．
10．如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】A
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
延长到点N，使得，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴当D，F，N三点共线时，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故的最小值是，
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为 ．
【答案】11
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴
AC+BD＝14，AB＝4．
，，
△OCD的周长为．
故答案为：11．
12．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．如图，在平行四边形中，对角线相交于O点，，E是边的中点，G、F为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】120
【详解】解：如图所示，连接，过点作，
∵平行四边形中，对角线相交于点，
∴是边的中点，
又∵是边的中点，
∴是的中位线，
，
又∵，
，
∴四边形是平行四边形．
∴，
又∵，
，
，
，
，
∴等腰中边上的高为，
，
∵是边的中点，
，
∴阴影部分的面积为120．
故答案为：120．
14．如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ．
【答案】
【详解】解：如图，把拼在一起，得到平行四边形，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，将矩形沿折叠，使点D部在点B处，点C落在点处，P为折痕上的任意一点，过点P作，，垂足分别为G，H．若，，则（1） ；（2）则 ．
【答案】 5
【详解】解：（1）∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，过点E作于Q，如图所示：
由勾股定理可得，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5；．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（本小题满分8分）
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．
【答案】见解析
【详解】证明：∵BE∥DF，
∴∠BEO＝∠DFO，
在△BEO与△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵AE＝CF，
∴AE+EO＝CF+FO，
即AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形．
17．（本小题满分8分）
如图，矩形 中 ，，， 为 中点， 为 上一点，将沿 折叠后，点A 恰好落到上的点 处．
(1)连接， 求证：；
(2)求折痕的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，，，
为中点，
，
由翻折知，，
，，，
，
，
（2）解：由对折设，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
18．（本小题满分9分）
已知：点、分别在平行四边形的边、上，连接、，，．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中（和除外）的4个等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)、、、
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，，
∴为等腰三角形，
由（1）可得：,
∴，
∴，，
∴和为等腰三角形．
19．（本小题满分9分）
如图，已知．
(1)尺规作图：分别在、、边上取点、、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)120
【详解】（1）解：如图，作的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、，设与交于点，
是的垂直平分线，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形，
点、、的位置即为所求．
（2）解：设与交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
．
四边形的面积为120．
20．（本小题满分9分）
如图，在矩形中，点E、F分别在、上，且，垂足为M．
(1)若矩形为正方形，求证：；
(2)若，求证：矩形为正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又四边形是矩形，
四边形是正方形．
21．（本小题满分10分）
如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为 _______．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，即，
，，
四边形为平行四边形，
又，
平行四边形是矩形．
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
，
故答案为；．
22．（本小题满分10分）
如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)3
【详解】（1）证明：∵，
，
平分，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
23．（本小题满分12分）
【问题情境】
（1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ．
【继续探究】
（2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ．
【答案】（1）；；（2）①；，理由见解析；②，过程见解析；（3）
【详解】解：（1）如图1中，延长交于J．
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：；．
（2）①结论：；．理由：
如图，延长，交的延长线于点H，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②如图3，过点G作，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图4中，作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则，
由（2）得：可知，，，
∴，
∴点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，
即，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为∶．
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