江苏省泰州市姜堰区2015-2016学年高一（下）期中数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高一（下）期中数学试卷
　
一、填空题（本大题共17小题，每小题5分，满分70分）
1．sin135°=　　　　　　．
2．已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC=　　　　　　．
3．直线y=2x+1的斜率为　　　　　　．
4．圆（x﹣1）2+y2=9的半径为　　　　　　．
5．等差数列{an}，a1=1，a2=2，则a3=　　　　　　．
6．函数f（x）=sin2x+sinxcosx的周期为　　　　　　．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为　　　　　　．
8．已知过点A（﹣2，m）和点B（m，4 ( http: / / www.21cnjy.com )）的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n=　　　　　　．
9．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=　　　　　　．
10．（B）已知等比数列{an}，首项为3，公比为，前n项之积最大，则n=　　　　　　．
11．已知cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且0＜β＜＜α＜π，则sin=　　　　　　．
12．在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣，则sin（2B+）=　　　　　　．
13．设两条直线的方程分别为x+y+a=0 ( http: / / www.21cnjy.com )，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的取值范围是　　　　　　．
14．设点M（x0，1），已知圆心C（2，0），半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为　　　　　　．
15．已知各项均为正数的数列{an}的首项 ( http: / / www.21cnjy.com )a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=anan+1，则S12=　　　　　　．
16．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为　　　　　　．
17．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为　　　　　　．
　
二、解答题
18．（1）已知sinα=，α∈（，π），求sin2α；
（2）已知tanα=，求tan2α的值．
19．在△ABC中，
（1）已知a=2bsinA，求B；
（2）已知a2+b2+ab=c2，求C．
20．（1）求过点A（2，3），且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程；
（2）已知直线l过原点，且点M（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程．
21．过点P（﹣3，﹣4）作直线l，当l的斜率为何值时
（1）l将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分？
（2）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相切？
（3）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2？
22．已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）求数列{}的前n项和Tn．
23．在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若，求tanA及tanC的值．
24．如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：
方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；
方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．
（1）求方案一中三角形DEF面积S1的最小值；
（2）求方案二中三角形DEF面积S2的最大值．
　
2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题共17小题，每小题5分，满分70分）
1．sin135°=　　．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】运用特殊角的三角函数值，和诱导公式即可化简求值．
【解答】解：sin135°=sin=sin45．
故答案为：．
　
2．已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC=　1　．
【考点】正弦定理．
【分析】根据含有30°的直角三角形的性质得出．
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AB=2，
∴AC=．
故选1．
　
3．直线y=2x+1的斜率为　2　．
【考点】直线的斜率．
【分析】根据斜截式直线方程y=kx+b的斜率为k，写出斜率即可．
【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2．
故答案为：2．
　
4．圆（x﹣1）2+y2=9的半径为　3　．
【考点】圆的标准方程．
【分析】直接由圆的标准方程求得圆的半径．
【解答】解：由圆（x﹣1）2+y2=9，得r2=9，
∴r=3．
即圆（x﹣1）2+y2=9的半径为3．
故答案为：3．
　
5．等差数列{an}，a1=1，a2=2，则a3=　3　．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列{an}的性质可得：2a2=a1+a3．即可得出．
【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：2a2=a1+a3．
∴2×2=1+a3，
解得a3=3．
故答案为：3．
　
6．函数f（x）=sin2x+sinxcosx的周期为　π　．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用三角函数的降幂 ( http: / / www.21cnjy.com )公式与辅助角公式可将f（x）=sin2x+sinxcosx+2化为：f（x）=sin（2x﹣）+，利用周期公式即可求得其周期．
【解答】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx
=+sin2x
=（sin2x﹣cos2x）+
=sin（2x﹣）+，
∴其最小正周期T==π．
故答案为：π．
　
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为　﹣　．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA= 的值．
【解答】解：在△ABC中，
∵b﹣c=a ①，2sinB=3sinC，
∴2b=3c ②，
∴由①②可得a=2c，b=．
再由余弦定理可得 cosA===﹣，
故答案为：﹣．
　
8．已知过点A（﹣2，m）和点B（m， ( http: / / www.21cnjy.com )4）的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n=　﹣10　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由条件根据两直线平行，斜率相等；两直线垂直，斜率之积等于﹣1，分别求得m、n的值，可得m+n的值．
【解答】解：由题意可得，直线为l1的斜率为，直线l2的斜率为﹣2，且l1∥l2，
∴=﹣2，求得m=﹣8．
由于直线l3的斜率为﹣，l2⊥l3，∴﹣2×（﹣）=﹣1，求得n=﹣2，
∴m+n=﹣10，
故答案为：﹣10．
　
9．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=　2　．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】若直线3x﹣4y+5=0与 ( http: / / www.21cnjy.com )圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．
【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，
且∠AOB=120°，
则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，
即=r，
解得r=2，
故答案为：2．
　
10．（B）已知等比数列{an}，首项为3，公比为，前n项之积最大，则n=　3　．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】an=3×，可得前n项之积Tn=，对n分类讨论，底数与1比较大小关系即可得出．
【解答】解：an=3×，
∴前n项之积Tn=3n×==，
由于n≤3时，≥1；由于n≥4时，＜1．
∴n=3时，前n项之积最大，
故答案为：3．
　
11．已知cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且0＜β＜＜α＜π，则sin=　　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α﹣）和cos（﹣β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin的值．
【解答】解：∵cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且0＜β＜＜α＜π，
∴α﹣∈（，π），sin（α﹣）==；﹣β∈（0，），cos（﹣β）==．
则sin=sin[（α﹣）﹣（﹣β）]=sin（α﹣）cos（﹣β）﹣cos（α﹣）sin（﹣β）
= + =．
　
12．在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣，则sin（2B+）=　　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用同角三角的基本关 ( http: / / www.21cnjy.com )系求得sinA的值，利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．
【解答】解：△ABC中，∵已知AC=2，BC=3，cosA=﹣∈（，π），∴B∈（0，），
∴sinA==，则由正弦定理可得==，
∴sinB=，cosB==，∴sin2B=2sinBcosB=，∴cos2B=1﹣2sin2B=，
sin（2B+）=sin2Bcos+cos2Bsin= + =，
故答案为：．
　
13．设两条直线的方程分别为x+y+a=0， ( http: / / www.21cnjy.com )x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的取值范围是　[，]　．
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】由题意和韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，可得两平行线间的距离d满足d2===，由0≤c≤和不等式的性质可得．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，
∴由韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，
∴两平行线间的距离d=，
故d2===，
∵0≤c≤，∴0≤4c≤，∴﹣≤﹣4c≤0，
∴≤1﹣4c≤1，∴≤≤，
∴≤d2≤，∴≤d≤
故答案为：[，]
　
14．设点M（x0，1），已知圆心C（2，0），半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为　3　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】作出对应的同学根据条件∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，所以只需∠CMT≥45°即可，借助于三角函数容易求出x0的范围．
【解答】解：易知M（x0，1）在直线y=1上，
设圆C的方程为（x﹣2）2+y2=1与直线y=1的交点为T，
假设存在点N，使得∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，
所以要是圆上存在点N，使得∠CMN=45°，只需∠CMT≥45°，
因为T（2，1），
所以只需在Rt△CMT中，tan∠CMT==≥tan45°=1，
即|x0﹣2|≤1，
则﹣1≤x0﹣2≤1，
即1≤x0≤3
故x0∈[1，3]．
则x0的最大值为3，
故答案为：3．
　
15．已知各项均为正数的数 ( http: / / www.21cnjy.com )列{an}的首项a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=anan+1，则S12=　3　．
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
【分析】根据题意，利用等比数列的前n项和公式求出通项公式an，进一步求出数列对应的前n项和公式，再计算S12的值．
【解答】解：∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=anan+1，且Sn+1=Sn+an+1，
∴（an﹣an+1）Sn+anan+1+an﹣an+1=0，
∴Sn++1=0；
又∵a1=1，令n=1，则1++1=0，解得a2=，
同理可得a3=，
猜想an=；
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1==1，成立；
②假设当n≤k（k∈N*）时成立，ak=，则Sk==；
∵Sk++1=0，
∴++1=0，
解得ak+1=；
因此当n=k+1时也成立，
综上，对于n∈N*，an=都成立；
由等差数列的前n项和公式得，Sn=；
∴S12=×=3．
　
16．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为　　．
【考点】余弦定理．
【分析】已知两等式两边分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，求出sinC的值，即可确定出C的度数．
【解答】解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，
①2+②2得：（3sinA+4cosB）2+（3cosA+4sinB）2=37，
化简得：9+16+24（sinAcosB+cosAsinB）=37，
即sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC=，又∠C∈（0，π），
∴∠C的大小为或，
若∠C=π，得到A+B=，则cosA＞，所以3cosA＞＞1，
∴3cosA+4sinB＞1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以∠C≠π，
∴满足题意的∠C的值为．
则∠C的大小为．
故答案为：
　
17．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为　3　．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】由已知，结合向量的基本运算可求得=，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC
【解答】解：∵ =2
∴===
∵AD=||=，AC=||=3，A=，设AB=c
∴=||||cosA=
则13==
∴13=1
整理可得，2c2﹣54=0
∵c＞0
解可得，c=3
由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc cosA
=
　
二、解答题
18．（1）已知sinα=，α∈（，π），求sin2α；
（2）已知tanα=，求tan2α的值．
【考点】二倍角的正切；二倍角的正弦．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用二倍角公式，求得 sin2α 的值．
（2）由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．
【解答】解：（1）∵已知sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，
∴sin2α=2sinαcosα=﹣．
（2）∵已知tanα=，∴tan2α===．
　
19．在△ABC中，
（1）已知a=2bsinA，求B；
（2）已知a2+b2+ab=c2，求C．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB=，即可得出；
（2）利用余弦定理即可得出．
【解答】解：（1）∵a=2bsinA，由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB=，B∈（0，π），∴B=或．
（2）∵a2+b2+ab=c2，∴cosC===﹣，又C∈（0，π），
∴C=．
　
20．（1）求过点A（2，3），且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程；
（2）已知直线l过原点，且点M（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程．
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】（1）由已知方程和垂直关系可得所求直线的斜率，写出点斜式方程，化为一般式即可；
（2）可设直线l的方程为kx﹣y=0，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得．
【解答】解：（1）∵直线3x+2y﹣1=0的斜率为﹣，
∴由垂直关系可得所求直线的斜率k=，
又直线过点A（2，3），∴方程为y﹣3=（x﹣2）
化为一般式可得2x﹣3y+5=0；
（2）∵直线l过原点，且点M（5，0）到直线l的距离为3，
∴可设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，
由点到直线的距离公式可得=3，解得k=±
∴直线l的方程为y=±x，即3x±4y=0
　
21．过点P（﹣3，﹣4）作直线l，当l的斜率为何值时
（1）l将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分？
（2）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相切？
（3）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2？
【考点】直线的点斜式方程．
【分析】（1）当l经过圆心Q（1，﹣2）时，可将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分，利用点斜式即可得出．
（2）设直线l的方程为：y+4=k（x ( http: / / www.21cnjy.com )+3），化为kx﹣y+3k﹣4=0，根据直线l与圆相切，可得圆心Q（1，﹣2）到直线l的距离d==2，解出即可．
（3）由于l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2，可得直线l的距离d==，解出k即可．
【解答】解：（1）当l经过圆心Q（1，﹣2）时，可将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分，
∴直线l的方程为：y+2=（x﹣1），化为x﹣2y﹣5=0．
（2）设直线l的方程为：y+4=k（x+3），化为kx﹣y+3k﹣4=0，
∵直线l与圆相切，
∴圆心Q（1，﹣2）到直线l的距离d==2，化为：3k2﹣4k=0，
解得k=0或．∴当k=0或时，直线l与圆相切．
（3）∵l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2，
∴直线l的距离d==，化为13k2﹣16k+1=0，
解得k=．
∴当k=时，满足条件．
　
22．已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）求数列{}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）直接利用等差数列的前n项和公式求解；
（3）把数列{an}的通项公式代入，利用错位相减法求前n项和Tn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由a2=0，a6+a8=﹣10，得，解得．
∴an=1﹣（n﹣1）=2﹣n；
（2）=；
（3）=，
∴，
，
两式作差得： ==．
∴．
　
23．在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若，求tanA及tanC的值．
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．
【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式 ( http: / / www.21cnjy.com )化简cos2C，变形后求出sin2C的值，由C为三角形的内角，得到sinC大于0，开方可得出sinC的值，利用正弦定理化简得到的关系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin（A+C），代入关系式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinAsinC不为0，等式左右两边同时除以cosAcosC，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可得到所求式子的值；
（2）由第一问求出的式子表示出ta ( http: / / www.21cnjy.com )nA，然后把tanB中的B换为π﹣（A+C），利用诱导公式化简后，将表示出的tanA代入，得到关于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值．
【解答】解：（1）∵，cos2C=1﹣2sin2C，
∴，
∵C为三角形内角，∴sinC＞0，
∴，
∵，∴，
∴sinC=，即2sinB=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，
∵sinA sinC≠0，
∴；
（2）∵，
∴，
∵A+B+C=π，
∴．
∴，
整理得tan2C﹣8tanC+16=0，
解得：tanC=4，
将tanC=4代入得： =4．
　
24．如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：
方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；
方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．
（1）求方案一中三角形DEF面积S1的最小值；
（2）求方案二中三角形DEF面积S2的最大值．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈（0，），表示出三角形DEF面积S1，利用基本不等式求出最小值；
（2）在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈（0，），表示出三角形DEF面积S1，利用辅助角公式求出最小值．
【解答】解：（1）在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈（0，），
则，…
因为DE∥AC，所以∠E=α，，
且，即，…
解得，…
所以，
所以当sin2α=1，即α=45°时，S1有最小值． …
（2）在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈（0，），则，
解得，…
三角形CBE中，有，解得，…
则等边三角形的边长为，…
所以边长的最大值为，所以面积S2的最大值为．…
　
2016年5月21日