江苏省徐州市2015-2016学年高一（下）期中数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．直线的倾斜角为　　　　　　．
2．化简sin10°cos50°+cos10°sin50°=　　　　　　．
3．在数列{an}中，a1=1，an+1=an+4，则a100的值为　　　　　　．
4．在等比数列{an}中，已知a1=1，且=2，则数列{an}的通项公式为　　　　　　．
5．在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=　　　　　　．
6．已知，，则tan2x=　　　　　　．
7．一个等比数列前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为　　　　　　．
8．已知直线l1：（m+3）x+（m﹣1）y﹣5=0与l2：（m﹣1）x+（3m+9）y﹣1=互相垂直，则实数m的值为　　　　　　．
9．在△ABC中，∠A=60°，AB+AC=10，面积，则BC=　　　　　　．
10．在△ABC中，已知c2﹣a2=5b，3sinAcosC=cosAsinC，则b=　　　　　　．
11．若数列{an}的前n项和Sn=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则数列{nan}中数值最小的项是第　　　　　　项．
12．经过点（﹣2，3），倾斜角是直线3x+4y﹣5=0倾斜角一半的直线的方程是　　　　　　．
13．已知等比数列{an}的各项均为正数 ( http: / / www.21cnjy.com )，且2a1+3a2=1，a=9a2a6，设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，则数列{}的前n项和为　　　　　　．
14．将正偶数排列如图，其中第i行和第j列 ( http: / / www.21cnjy.com )的数表示为aij=（i，j∈N+），例如a43=18，若aij=2016，则i+j=　　　　　　．
　
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，求数列{bn}的通项公式．
16．已知直线l：x+y﹣1=0，
（1）若直线l1过点（3，2）且l1∥l，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过l与直线2x﹣y+7=0的交点，且l2⊥l，求直线l2的方程．
17．已知数列{an}中，an=32，前n项和为Sn=63．
（1）若数列{an}为公差为11的等差数列，求a1；
（2）若数列{an}为以a1=1为首项的等比数列，求数列{a}的前m项和Tm．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足=
（1）求∠B．
（2）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC的值．
19．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现 ( http: / / www.21cnjy.com )计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．
（1）若CE=，求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
20．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）在直线2x+y﹣2=0上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{Sn+λ n+}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．
　
2015-2016学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．直线的倾斜角为　60°　．
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．
【分析】根据所给的直线的斜率，得到直线的倾斜角的正切值，根据角的范围，得到角的大小．
【解答】解：∵直线的斜率是，
∴直线的倾斜角的正切值是，
∵α∈[0°，180°]，
∴α=60°，
故答案为：60°
　
2．化简sin10°cos50°+cos10°sin50°=　　．
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．
【分析】直接利用两角和的正弦函数化简求解即可．
【解答】解：sin10°cos50°+cos10°sin50°=sin60°=．
故答案为：．
　
3．在数列{an}中，a1=1，an+1=an+4，则a100的值为　397　．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：数列{an}中，a1=1，an+1=an+4，
∴数列{an}是等差数列，首项a1=1，公差为4，
则a100=1+4×=397．
故答案为：397．
　
4．在等比数列{an}中，已知a1=1，且=2，则数列{an}的通项公式为　2n﹣1　．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】直接由等比数列的通项公式求得答案．
【解答】解：在等比数列{an}中，a1=1，
由=2，得q=2，
∴．
故答案为：2n﹣1．
　
5．在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=　﹣　．
【考点】正弦定理．
【分析】先根据B和C求得A，进而根据正弦定理求得a．
【解答】解：A=180°﹣30°﹣135°=15°，
sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=
根据正弦定理得=
∴a==﹣
故答案为﹣
　
6．已知，，则tan2x=　　．
【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数．
【分析】先利用二倍角公式求得cos2x，进而根据x的范围求得sin2x，则tan2x的值可得．
【解答】解：cos2x=2cos2x﹣1=
∵
∴2x∈（﹣π，0）
∴sin2x=﹣=﹣
∴tan2x==﹣
故答案为：﹣
　
7．一个等比数列前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为　63　．
【考点】等比数列的性质．
【分析】由题意可得Sn=48，S2n=60，又Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，代值计算可得．
【解答】解：由题意可得Sn=48，S2n=60，
又Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，
∴（S2n﹣Sn）2=Sn（S3n﹣S2n），
代入数据可得∴（60﹣48）2=48（S3n﹣60），
解得前3n项和S3n=63
故答案为：63
　
8．已知直线l1：（m+3）x+（m﹣1）y﹣5=0与l2：（m﹣1）x+（3m+9）y﹣1=互相垂直，则实数m的值为　1或3　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】由两条直线互相垂直的条件，建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．
【解答】解：直线l1：（m+3）x+（m﹣1）y﹣5=0与l2：（m﹣1）x+（3m+9）y﹣1=0互相垂直，
∴（m+3）（m﹣1）+（m﹣1）（3m+9）=0，
即（m﹣1）（m+3）=0，
解得m=1或m=﹣3，
故答案为；1或﹣3
　
9．在△ABC中，∠A=60°，AB+AC=10，面积，则BC=　　．
【考点】余弦定理．
【分析】由正弦定理的面积公 ( http: / / www.21cnjy.com )式，结合题中数据算出bc=16，利用配方可得b2+c2=（b+c）2﹣2bc=68．最后根据余弦定理加以计算，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA=52，从而得到a=BC=2．
【解答】解：设AB=c，BC=a，AC=b，则
∵∠A=60°，△ABC面积，
∴bcsinA=4，即bc×=4，解之得bc=16
又∵AB+AC=b+c=10，∴b2+c2=（b+c）2﹣2bc=100﹣32=68
根据余弦定理，得
a2=b2+c2﹣2bccosA=68﹣2×16×cos60°=52
由此可得：a==2，即BC=2
故答案为：2
　
10．在△ABC中，已知c2﹣a2=5b，3sinAcosC=cosAsinC，则b=　10　．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】已知第二个等式利用正弦、余弦定理化简，整理后与第一个等式结合即可求出b的值．
【解答】解：将cosA=，cosC=，且==2R，即sinA=，sinC=，
代入3sinAcosC=cosAsinC，得：3a =c ，
整理得：2a2+b2﹣2c2=0，即c2﹣a2=，
代入c2﹣a2=5b，得： =5b，
解得：b=10．
故答案为：10
　
11．若数列{an}的前n项和Sn=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则数列{nan}中数值最小的项是第　3　项．
【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．
【分析】利用：当n=1时，a1=S1= ( http: / / www.21cnjy.com )1﹣10=﹣9；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出通项公式an．即可得到nan，再利用二次函数的性质即可得出．
【解答】解：当n=1时，a1=S1=1﹣10=﹣9，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣10n﹣[（n﹣1）2﹣10（n﹣1）]=2n﹣11，
上式对于n=1时也成立．∴an=2n﹣11．
∴nan=n（2n﹣11）=2n2﹣11n=，
因此当n=3时，数列{nan}中数值取得最小值﹣15．
故答案为3．
　
12．经过点（﹣2，3），倾斜角是直线3x+4y﹣5=0倾斜角一半的直线的方程是　3x﹣y+9=0　．
【考点】直线的倾斜角．
【分析】利用正切函数的二倍角公式先求出所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程能求出结果．
【解答】解：设直线3x+4y﹣5=0的倾斜角为2α，
则所求直线的倾斜角为α，
由题意知tan2α==﹣，
∵0≤2α＜π，∴0，
∴k=tanα=3或k=tanα=﹣（舍去）．
∴所求直线方程为：y﹣3=3（x+2），
整理，得：3x﹣y+9=0．
故答案为：3x﹣y+9=0．
　
13．已知等比数列{an}的各项均 ( http: / / www.21cnjy.com )为正数，且2a1+3a2=1，a=9a2a6，设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，则数列{}的前n项和为　﹣　．
【考点】数列的求和．
【分析】通过联立2a1+3a2=1 ( http: / / www.21cnjy.com )、a=9a2a6，计算可知q=、a1=，进而可知bn=﹣，裂项可知=﹣2（﹣），进而并项相加即得结论．
【解答】解：依题意，an＞0，且q＞0，
∵2a1+3a2=1，a=9a2a6，
∴2a1+3a1q=1， =9（a1q）（a1q5），
解得：q=，a1=，
∴an=，log3an=﹣n，
又∵bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣（1+2+…+n）=﹣，
∴=﹣=﹣2（﹣），
则所求值为﹣2（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣2（1﹣）=﹣，
故答案为：﹣．
　
14．将正偶数排列如图，其中第i行和第j列的数表示为aij=（i，j∈N+），例如a43=18，若aij=2016，则i+j=　63　．
【考点】数列的应用．
【分析】求出数表的前n行的偶数的个数=，前n行的最后一个偶数为n（n+1），当n=44时，44×45=1980；然后求解2016所在的列与行数，即可判断出结果．
【解答】解：这个数表的前n行的偶数的个数=，
∴前n行的最后一个偶数为n（n+1），当n=44时，44×45=1980；当n=45时，45×46=2070．
∴2016=1980+2×18，即2012是第45行的第18个偶数，
即2016这个数位于第45行第18列．
则i+j=45+18=63．
故答案为：63．
　
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，求数列{bn}的通项公式．
【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．
【分析】（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入等差数列的通项公式求数列{an}的通项公式；
（2）由b2=a3，b3= ( http: / / www.21cnjy.com )a7，结合（1）中等差数列的通项公式求得b2，b3的值，进一步求得等比数列的公比q及首项，则等比数列的通项公式可求．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则d=a4﹣a3=2，
又a1+a2=10，
∴2a1+d=10，解得a1=4，
∴an=4+2（n﹣1）=2n+2；
（2）设等比数列{bn}的公比为q，
由（1）知b2=a3=8，b3=a7=16，
∴，
又b2=8=b1q，有b1=4，
∴．
　
16．已知直线l：x+y﹣1=0，
（1）若直线l1过点（3，2）且l1∥l，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过l与直线2x﹣y+7=0的交点，且l2⊥l，求直线l2的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】（1）由题意和平行关系设直线l1的方程为x+y+m=0，代点可得m的方程，解得m值可得直线l1的方程；
（2）解方程组可得交点坐标，由垂直关系可得直线斜率，可得直线方程．
【解答】解：（1）由题意和平行关系设直线l1的方程为x+y+m=0，
∵直线l1过点（3，2），∴3+2+m=0，
解得m=﹣5，直线l1的方程为x+y﹣5=0；
（2）解方程组可得，
∴直线l与直线2x﹣y+7=0的交点为（﹣2，3）
∵l2⊥l，∴直线l2的斜率k=1，
∴直线方程为x﹣y+5=0
　
17．已知数列{an}中，an=32，前n项和为Sn=63．
（1）若数列{an}为公差为11的等差数列，求a1；
（2）若数列{an}为以a1=1为首项的等比数列，求数列{a}的前m项和Tm．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）通过联立=Sn=63、a1+11（n﹣1）=an=32，计算即得结论；
（2）通过联立a1qn﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )1=32、=63、a1=1，计算可知数列{an2}是首项为1、公比为4的等比数列，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．
【解答】解：（1）由已知： =Sn=63，
a1+11（n﹣1）=an=32，
联立解得：a1=10，n=3或a1=1，n=（舍）；
（2）由已知：a1qn﹣1=32且=63，
解得：q=2，n=6，
∴数列{an2}是首项为1、公比为4的等比数列，
∴Tm==．
　
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足=
（1）求∠B．
（2）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC的值．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理、商的关系化简，求出tanB的值，由内角的范围求出角B的值；
（2）设AB=c、BC=a，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )、△ABM中由余弦定理求出AC、AM，由条件建立方程化简后得到a与c的关系式，代入式子求出AC，在△ABC中由正弦定理求出sin∠BAC的值．
【解答】解：（1）由题意得，，
则根据正弦定理得，，所以tanB=，
又0＜B＜π，则B=；
（2）设AB=c、BC=a，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，
在△ABM中同理可得=，
因为AM=AC，所以a2+c2﹣ac=，
化简得3a=2c，代入AC2=a2+c2﹣2accosB得，
=，则AC=，
在△ABC中，由正弦定理得，
则sin∠BAC===．
　
19．如图，有一直径为8米的半圆形空地 ( http: / / www.21cnjy.com )，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．
（1）若CE=，求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）利用余弦定理，即可求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S△CEF=，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
【解答】解：（1）由题意，△ACE中，AC=4，∠A=，CE=，
∴13=16+AE2﹣2×，
∴AE=1或3；
（2）由题意，∠ACE=α∈[0，]，∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF=﹣α．
在△ACF中，由正弦定理得，∴CF=；
在△ACE中，由正弦定理得，∴CE=，
该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，
S△CEF==，
∵α∈[0，]，∴0≤sin（2α+）≤1，
∴α=时，S△CEF取最大值为4，该空地产生最大经济价值．
　
20．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）在直线2x+y﹣2=0上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{Sn+λ n+}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．
【考点】数列递推式；等差关系的确定．
【分析】（Ⅰ）由已知条件可得 2a ( http: / / www.21cnjy.com )n+1 +Sn ﹣2=0，可得n≥2时，2an+sn﹣1﹣2=0，相减可得= （n≥2）．由此可得{an}是首项为1，公比为的等比数列，由此求得数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）先求出sn=2﹣，若数列{Sn+ ( http: / / www.21cnjy.com )λ n+}为等差数列，则由第二项的2倍等于第一项加上第三项，求出λ=2，经检验λ=2时，此数列的通项公式是关于n的一次函数，故满足数列为等差数列，从而得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵点（an+1，Sn）在直线2x+y﹣2=0上，∴2an+1 +Sn ﹣2=0． ①
n≥2时，2an+sn﹣1﹣2=0． ②
①─②得 2an+1 ﹣2an+an=0，∴ = （n≥2）．
再由a1=1，可得 a2=．
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，
∴an =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 sn==2﹣．
若数列{Sn+λ n+}为等差数列，
则 s1+λ+，s2+2λ+，s3+3λ+ 成等差数列，
∴2（s2+2λ+）=（s1+λ+）+（s3+3λ+），解得 λ=2．
又λ=2时，Sn+λ n+=2n+2，显然 {2n+2}成等差数列，
故存在实数λ=2，使得数列 {Sn+λ n+}成等差数列．
　
2016年5月21日