云南省玉溪市江川区第一中学2025届高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

云南省玉溪市江川区第一中学2025届高三上学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知，为集合Ⅰ的非空真子集，且，不相等，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B.
C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列的各项均为正数，满足，，则下列结论正确的是( )
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 是等差数列 D. 是等比数列
6.设、、、是空间中四个不同的点，下列命题中不正确的是( )
A. 若与共面，则与共面
B. 若与是异面直线，则与也是异面直线
C. 若，则
D. 若，则
7.已知双曲线的左、右焦点分别为过向一条渐近线作垂线，垂足为若，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
8.在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若为等腰三角形，则直线的斜率可能为( )
A. B. C. D.
11.已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 正三棱柱外接球的表面积为
B. 若直线与底面所成角为，则的取值范围为
C. 若，则异面直线与所成的角为
D. 若过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知，且恒成立，则实数的取值范围为 ．
13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是
14.已知，是双曲线的两个焦点，点在上，如果，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.记为等差数列的前项和，已知．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.某海鲜餐厅在试营业期间，同时采用自助餐和团购套餐两种营销模式，其中自助餐模式是指顾客可随意享用餐厅内所有菜品，最长可用餐小时；团购套餐是指顾客在上购买团购券后到店消费，只可享用套餐内所包含的菜品，用餐时间不限该餐厅为了了解这两种营销模式的受欢迎程度，现随机调查了位顾客对这两种营销模式的意见反馈，统计结果如下表：
认为自助餐更有性价比 认为团购套餐更有性价比
男性顾客
女性顾客
依据小概率值的独立性检验，推断能否认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别有关；
店长统计了第，，，天自助餐的用餐人数，统计结果如下已知：
天
用餐人数
经计算得经验回归方程为，以样本的相关系数为标准，对该经验回归方程的拟合效果进行说明．
附：在经验回归方程中，．
相关系数若，可认为该模型拟合效果良好，反之，则认为该模型拟合效果不好．
，其中．
17.已知集合，集合．
当，求；
已知“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
18.如图，在正四棱锥中，，点是的中点，点在棱上异于端点．
若点是棱的中点，求证：平面平面；
若二面角的余弦值为，求线段的长．
19.已知椭圆的短轴长为，右焦点为．
求椭圆的标准方程；
已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与抛物线交于两点，求四边形的面积的取值范围．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得
所以，
因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：．

16.解：零假设为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别独立，
由已知，
又，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此，可以认为成立，即认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别无关．
因为经验回归方程为，
所以，，
又，
所以，
，
所以，
所以该经验回归方程的拟合效果非常好．

17.解：，
当，，
故或，
所以或；
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
当时，，
所以，解得，
综上所述，．

18.解：由题意得，正四棱锥所有棱长均为，
因为是的中点，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
如图，连接，易知两两垂直，分别以为轴轴轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设，则，
所以，所以．
设平面的法向量为，则
令，则，所以平面的一个法向量为．
易知平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
即，解得或不合题意，舍去，
此时．

19.解：依题意可得：椭圆右焦点，且，即．
又因为，所以，
故椭圆的标准方程为：．
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，．
联立，消去，整理得，，
所以，
所以．
由垂直关系可设直线的方程为，设，，
联立，消去，整理得，，
则根据根与系数的关系，得，
所以，
所以，
设，则，
因为在上单调递增，
所以，
所以四边形的面积的取值范围为．

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