湖南省永州市祁阳市浯溪二中2024-2025学年下学期第一次月考九年级数学试卷（含答案）

2024-2025学年祁阳市浯溪二中九年级下册第一次月考数学试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。）
1．下列各数中：，﹣3.14156，200%，﹣5%，﹣（+）63，﹣（﹣）0.01001，2024属于负数的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．中国海油2024年3月8日宣布，在南海珠江口盆地发现我国首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量约1.02亿吨油当量，对于我国保障国家能源安全具有重要意义，数据“1.02亿”用科学记数法可表示为（　　）
A．1.2×106 B．1.02×106 C．1.2×108 D．1.02×108
3．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．a6÷a2＝a3 C．（a3b）2＝a6b2 D．5a﹣3a＝2
5．化简：的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等 B．菱形的四条边相等
C．正五边形的其中一个内角是72° D．单项式的次数是4
7．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝36°，则∠BOC的大小是（　　）
A．72° B．54° C．36° D．18°
8．下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据2，2，3，4的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩分别是106分、110分、116分，则小明这三次成绩的平均数是111
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则该日的温差是5℃
9．如图，点D，E，F分别是△ABC三边上的中点，若△ABC的面积为12，则△DEF的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
10．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的有（　　）
①a＜﹣3；②若点P为“整点”，则点P的个数为4个；③若点P为“超整点”，则点P的个数为1个；④若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．如果数x与﹣20互为相反数，那么x等于 　 　 ．
12．为开展“学习二十大，奋进新征程”主题宣讲活动，某学校从甲、乙、丙三位宣讲员中随机抽取两人参加，恰好选中甲、丙两人的概率为 　 　 ．
13．方程的解是 　 　 ．
14．若等腰三角形有一个内角为40°，则它的顶角度数为 　 　 ．
15．若关于x的方程3x2﹣4x﹣k＝0无解，则k的取值范围为 　 　 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．点B的对应点是D（3，4），则经过点C的双曲线的函数解析式为　 　 ．
第16题图 第17题图
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N．再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CAB内部交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若点D到AB的距离为2，则CD＝　 　 ．
18．如图①是小明家使用的挂钩，起初按照图②的方式（∠α＝90°）挂在墙上，A，B为钉子所在位置，且AB＝72cm；为了增加挂钩之间的空隙，调整为图③的方式∠β＝60°，两颗钉子A，B间的距离增加了 　 　 cm．（用含根号的式子表示）
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：2tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．
20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝5．
21．（8分）“抗击疫情，无人缺席”，为了打赢这场没有硝烟的战争，做到不聚集，我们所有同学也足不出户在家为抗击疫情而努力．为了了解同学们在家的生活情况，某校对九年级的部分同学做了一次内容为“宅家活动，我在行动”的调查活动，学校将活动方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类，学校收集整理数据后，绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了 　 　 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”的减压方式的人数；请谈一下你对在家的同学有哪些建议．
22．（8分）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝2，CD＝BD，求AD的长．
23．（9分）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
（1）请问购进了A种笔记本多少本？
（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
24．（9分）防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图1是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图2和图3所示．已知墙面OM⊥ON，门宽AB＝80cm．
（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，1.73）
（1）如图2，当左门绕点A逆时针完全打开贴到墙时，点B落在点C处，此时∠ACO＝18°，求OA的长．
（2）如图3，当左门绕点A逆时针打开60°时，点B落在点D处，求此时点D到墙面ON的距离．
25．（10分）某课外活动小组利用几何画板研究二次函数y＝x2+bx+c的图象．
（1）小明输入b＝2，c＝﹣3得到图1所示的抛物线，标记该抛物线的顶点为C，与x轴的交点为A，B，点A在点B的左侧．求点A，B，C的坐标；
（2）小东先输入b＝﹣2，当输入c＝ 　 　 时，该图象与x轴只有一个交点；
（3）小林任意输入b，c得到如图2所示的图象．观察图1，图2中的两条抛物线，你认为它们有哪些相同的性质？写出两条即可．
26．（10分）综合探究
如图（1），在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2m，E是BC的中点，△AFE与△ABE关于AE对称，连接FC．
（1）求证：∠EFC＝∠FEA．
（2）以AE为直径作⊙O．
①如图（2），过点F作FG⊥EC于点G，当EG＝CG时，试判断此时FG与⊙O的位置关系，并证明；
②如图（3），当5FC＝4OE时，求m的值．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C A B A B A B
10．解析：∵点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，∴，∴﹣3＜a＜2，故①错误，不符合题意；∵点P（2a﹣4，a+3）为“整点”，﹣3＜a＜2，∴整数a为﹣2，﹣1，0，1，∴点P的个数为4个，故②正确，符合题意；∴“整点”P为（﹣8，1），（﹣6，2），（﹣4，3），（﹣2，4），∵，，，∴“超整点”P为（﹣2，4），故③正确，符合题意；∵点P（2a﹣4，a+3）为“超整点”，∴点P坐标为（﹣2，4），∴点P到两坐标轴的距离之和2+4＝6，故④错误，不符合题意；故选：B．
11．20．12．．13．x＝2．14．40°或100°．15.．16．．解析：∵A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．点B的对应点是D（3，4），∴向左平移了4个单位，向上平移了1个单位，∴A（﹣3，1）平移后对应的点C（1，2），∴设反比例函数解析式为，将点C（1，2）代入得，∴k＝2，∴．
17．2．18．（3672）解析：当α＝90°时，连接AB，此时四边形AFCE是正方形，连接AB，如图②所示，∴AB＝72（cm），∴AC＝72÷3＝24（cm），∴AE12（cm）．当β＝60°时，连AB、EF，如图③所示，此时四边形AFCE是菱形，此时△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝12（cm），∴EO＝6（cm），在Rt△AEO中，由勾股定理可知：AO6（cm），∴AC＝2AO＝12（cm），∴AB＝3AC＝36（cm），故调整为图③的方式∠β＝60°，两颗钉子A，B间的距离增加了（3672）（cm），
19.解：原式＝4﹣2×1+3+1＝4﹣2+3+1＝6．
20．解： ，当x＝5时，原式．
21．解：（1）一共抽查的学生：8÷16%＝50（名）；故答案为：50；（2）参加“体育活动”的人数为：50×30%＝15（名），补全统计图如图所示：
（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：360°72°；（4）根据题意得：
500120（人），答：估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数有120人．
22．（1）证明：∵CE∥AB，∴∠ECF＝∠DAF，∵F是AC的中点，∴AF＝CF．在△AFD与△CFE中，，∴△AFD≌△CFE（ASA），∴DF＝EF，∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：如图，过C作CG⊥AD于G，则∠CGA＝∠CGD＝90°，∵∠CAB＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∴AG＝CGAC22，∵∠B＝30°，CD＝BD，∴∠B＝∠DCB＝30°，∴∠CDG＝∠B+∠DCB＝60°，∴∠DCG＝90°﹣∠CDG＝30°，∴DGCG＝2，∴AD＝AG+DG＝22．
23．解：（1）设购进了A种笔记本x本，购进了B种笔记本y本，由题意得：，
解得：，答：购进了A种笔记本150本，购进了B种笔记本200本；（2）由题意得：20m+25m+（150﹣m）×20×0.7+（200﹣m）×15﹣4800≥2348，解得：m≥128，
答：m的最小值为128．
24．解：（1）由题意得AC＝AB＝80cm，在Rt△OAC中，∠ACO＝18°，AC＝80cm，sin∠ACO，则OA＝AC sin∠ACO≈80×0.31＝24.8（cm）；
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，
由题意得AD＝AB＝80cm，在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AD＝80cm，DE＝AD×∠DAE＝8069.2（cm），答：点D到墙面ON的距离约为69.2cm．
25．解：（1）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点C的坐标为（﹣1，﹣4）．当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1．∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）；（2）先输入b＝﹣2，当输入c时，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+c，∵图象与x轴只有一个交点，则Δ＝4﹣4c＝0，则c＝1，故答案为：1；
（3）从图象看，它们都是轴对称图形；它们的开口都朝上；它们都可以由y＝x2的图象平移得到（答案不唯一）．
26．（1）证明：如图，∵△AFE与△ABE关于AE对称，∴EF＝EB，∠FEA＝∠1，∴2∠FEA+∠2＝180°，∵E是BC的中点，∴EC＝EB，∴EF＝EC，∴∠EFC＝∠3，
∴2∠EFC+∠2＝180°，∴∠EFC＝∠FEA．
（2）①FG与⊙O相切，证明如下：如图，连接OF，
∵EG＝CG，BE＝CE，BC＝2m，∴，EF＝BE＝m，在Rt△EFG中，，
∴∠4＝30°，∴∠2＝60°，∴∠1＝∠3＝60°，在矩形ABCD中，∠B＝90°，由对称可知∠AFE＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴点F在⊙O上，∴OF＝OE，∴∠5＝∠3＝60°，
∴∠4+∠5＝90°，即OF⊥FG，∴FG 与⊙O相切．
②如图，连接OF，
∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，由（1）知∠EFC＝∠ECF，∠EFC＝∠FEA，∴∠OEF＝∠OFE＝∠EFC＝∠ECF，∴△OEF∽△EFC，∴，∵5FC＝4OE，设FC＝4x，则OE＝5x，
∵，∴，∴m2＝20x2，在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝m，AE＝2OE＝10x，∴22+m2＝（10x）2＝100x2＝5m2，∴m2＝1，∴m＝1（负值已舍）．
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