【培优练】人教版初中数学2024-2025学年八年级下学期 17.1勾股定理
一、选择题
1．（2023八上·深圳期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
2．（2022八下·义乌开学考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于
MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．（2023八下·台山期末）如图，在Rt△ABC中．∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．4 B．8 C．4 D．2
4．（2023八上·长春汽车经济技术开发期中）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：―根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022八上·瑞安月考）如图，△ABD和△CBD，∠ADB=90°，∠ABD=∠DBC，AD=DC=1，若AB=4，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何 ”大意是：“有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈(1丈=10尺)，那么门的高和宽各是多少 ”如果设门的宽为x尺，根据题意，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·南海期中）如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·冷水滩开学考）如图，是等边三角形，D、E分别是的边、上的点，且，与相交于点P，于点F，，，则的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．17
9．（2024八下·忠县期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．15 B．61 C．69 D．72
10．（2024八下·宝安期末）在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024八下·吉林月考）如图，在中，，分别以，为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则的长为 ．
12．（2024九上·鹿寨期末）如图，点A，C分别是y轴，x轴正半轴上的动点，，将线段绕点A顺时针旋转60°得到线段，则的最小值是 ．
13．（2023·锦江模拟）小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得，.接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时的长为 .
14．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
15．（2019·梅列模拟）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝ ．
三、解答题
16．（2022八下·乾安期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
17．（2023八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
18．（2020八上·湛江月考）如图，已知在平面直角坐标系中，S三角形ABC=24，OA=OB，BC =12，求三角形ABC三个顶点的坐标.
19．如图，在正方形 ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，BE 与CF 相交于点 P，连结 AP.设 AB=a.
（1）求证：BE⊥CF.
（2）求 AP，CP的长（用含 a 的代数式表示）.
20．（2023九上·成都月考）如图，在中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求的度数；
（2）连接，若，，求线段的长；
（3）如图，若，，点为中点，的延长线与交于点，与交于点，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；正方形的性质
【解析】【解答】解：①已知大正方形面积为49，可知大正方形的边长为7，直角三角形中三边长分别为x、y和7，所以+==49，正确；②小正方形的面积为4，则小正方形的边长为2，由图可知y+2=x，所以x-y=2，正确；③由①可知+=49，即，由②可知x-y=2，所以可得 2xy+4=49 ，正确；④由且x>0，y>0，解得x=，y=，所以x+y=11，错误；所以说法正确的是①②③.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积可以得到大正方形和小正方形的边长；根据勾股定理，可以得到①正确；根据的结构可以得到②正确；配方法以及根据①和②的结论可以推出③正确；列二元一次方程，代入消元法解得x和y的值，进而求出x+y的值，判断④错误.
2．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB交AB与点T
∵ 由作图可得，AE平分∠CAB
∴CE=ET，
在Rt△ACE与Rt△ATE中，
AE=AE，CE=TE，
∴Rt△ACE≌Rt△ATE
∴AC=AT
∵CE＝3
∴ET=3
∵BE＝5，ET⊥AB
∴BT=4
设AC=x，则AT=x
∵在△ABC中，∠C＝90°
∴AC2+BC2=AB2
∴
解得，x=6
故答案为：C.
【分析】根据作图过程可得AE平分∠CAB，由角平分线的性质可过点E作ET⊥AB交AB与点T，并得到CE=ET，AC=AT，之后运用勾股定理，可建立AC相关的等式，解出可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分斜边AC
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°
又∵∠B=90°，∠A=30°
∴∠DCB=∠ACD=30°
∴CD=2BD=4
∴BC=
∴AC=2CB=
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到AD=CD，由等边对等角得∠A=∠ACD=30°，再根据含30°直角三角形的性质，得到CD=2BD；再根据勾股定理得到BC的值；最后再根据含30°直角三角形的性质，得到AC=2CE 即可解题.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：∠AOB=90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42=(10-x) 2．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度OA是x尺，根据勾股定理得出方程，即可求解．
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∴∠CFD=90°，
∵∠ABD=∠DBC，
∴DE=DF；
在Rt△DEB和Rt△DFB中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFB（HL）
∴BE=BF；
在Rt△ABD中
；
∵
∴，
在Rt△BDE中，
∴.
故答案为：D
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，利用角平分线的性质可证得DE=DF，利用HL证明Rt△DEB≌Rt△DFB，利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=BF；利用勾股定理求出BD的长，利用三角形的面积公式求出DF，DE的长；再利用勾股定理求出DF的长，从而可求出CF的长；然后根据BC=BF-CF，代入计算求出BC的长.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设门的宽为x尺 ，则门高尺，
由题意得： ，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理列出方程，即可得解.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，
解得
∴中边上的高是．
故答案为：A
【分析】设中边上的高为h，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC
∴∠BAC=∠C
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
∴∠ABD=∠CAE，BD=AE
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°
∴∠BPF=∠APD=60°
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°
∴∠PBF=30°
∴BP=2PF=10
∵PD=3
∴BD=BP+PD=13
∴AE=BD=13
故答案为：B
【分析】根据等边三角形性质及全等三角形判定定理可得△ABD≌△CAE（SAS），则∠ABD=∠CAE，BD=AE，再根据角之间的关系可得∠PBF=30°。再根据含30°角的直角三角形性质可得BP=2PF=10，则BD=BP+PD=13，即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如下图：
由勾股定理可知：，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】根据勾股定可得，，再进行等量替换即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴当点三点共线，时，有最小值，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴有最小值，
故答案为：．
【分析】先求出BG，再说明当点三点共线，时，有最小值，然后利用勾股定理求得AG即为最小值．
11．【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
解：∵以AC，AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别是9和25
∴
∵∠ACB=90°
∴BC=
故答案为：4
【分析】本题考查勾股定理和正方形的面积，熟知勾股定理和正方形的面积是解题关键，本题根据正方形的面积可求得，在Rt△ACB中，由∠ACB=90°勾股定理可知：BC=，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，取AC的中点，连接OD，BD，BC，则OD=CD=AD=AC=，
由旋转知：∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴BD⊥AC，BC=AC=1，
∴BD==，
∵OB≥BD-OD=-，
∴当B、O、D三点共线时，OB值最小，最小值为OB=BD-OD=-=.
故答案为：.
【分析】取AC的中点，连接OD，BD，BC，由旋转的性质可得△ABC为等边三角形，由OB≥BD-OD，可知当B、O、D三点共线时，OB值最小，最小值为OB=BD-OD，据此求解即可.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知四边形ABCD是菱形，
，
是等边三角形，
，
四边形是正方形，
，
故答案为：.
【分析】由菱形的性质得AB=BC，结合∠B=60°，判断出△ABC是等边三角形，故AB=AC=BC=5，根据正方形的性质及勾股定理即可算出A'C'的长.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，
∵G， H分别为AE，EF的中点，
∴，
要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF=6，
∵∠B= 45°，
∴∠BAF= 45°，
∴BF= AF= 6，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴. BC=AB=；
故答案为：.
【分析】连接AF，利用中位线的性质GH =二AF，要使GH最小，只要AF最小，当AF⊥BC时，AF最小为6，由∠B = 45° 确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF=BF= 6，由勾股定理得：AB2=BF2+AF2求出BC即可.
15．【答案】100
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝ ∠ACB，∠ACF＝ ∠ACD，即∠ECF＝ （∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2．
16．【答案】解：在Rt△ACB中AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意先求出 x2＝42+（x﹣1）2， 再求解即可。
17．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∠ABD＋∠BME=90°，
∵∠BME=∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD=90°，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD，
∴△CDM是等腰三角形；
（2）解︰作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB=90°，BD平分∠ABC，
∴DC=DF，
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=，
∵S△ABC=S△BCD+S△ADB，
∴，
即，
解得CD=DF=3，
由（1）知：CM=CD，
∴CM=3，
即CM的长度为3.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠CBD=∠ABD，由直角三角形的量锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等得∠CDB=∠CMD，由等角对等边得CM=CD，从而可得结论；
（2）作DF⊥AB于点F，如图所示，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DF，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，进而根据S△ABC=S△BCD+S△ADB，结合三角形面积计算公式建立方程可求出CD=DF=3，再结合（1）的结论可得答案.
18．【答案】解：
∴OC=8，
∵点O为原点，
∴A（0，4），B（-4，0），C（8，0）．
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【分析】首先根据面积求得OA的长，再根据已知条件求得OB的长，最后求得OC的长．最后写坐标的时候注意点的位置．
19．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠D=∠BCE=90°，CD=BC=AD，
∵ E是CD的中点，F是AD的中点，
∴ EC=CD，FD=AD，
∴ EC=FD，
∴ △CDF≌△BCE（SAS），
∴ ∠DCF=∠CBE，
∵ ∠DCF+∠BCP=90°，
∴ ∠CBE+∠BCP=90°，
∴ ∠CPB=180°-∠CBE-∠BCP=90°，
∴ BE⊥CF；
（2）解：延长CF交BA的延长线于点G，如图
∵ ∠D=∠FAG=90°，DF=AF，∠DFC=∠AFG，
∴ △CDF≌△GAF（ASA），
∴ CD=GA=AB=a，
∵ BE⊥CF，
∴∠BPG=90°，
∴ AP为Rt△BGP斜边BG上的中线，
即AP=BG=a，
由勾股定理得，BE==a，
∵ BE⊥CF，
∴ S△BCE=EC·BC=CP·BE，即EC·BC=CP·BE，
∴a·a=CP·a，
即CP=.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得∠D=∠BCE=90°，CD=BC=AD，依据SAS判定△CDF≌△BCE推出 ∠DCF=∠CBE，根据三角形的内角和定理求得∠CPB，即可求得；
（2） 延长CF交BA的延长线于点G， 依据ASA判定 △CDF≌△GAF 推出 CD=GA=AB=a， 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得 AP=BG=a， 根据勾股定理得BE= a， 根据等面积法列出式子，即可求得CP= .
20．【答案】（1）解：，，
，
，
，
又，，
≌，
（2）解：过点作于点，过点作于点，
由知，≌，，
，，
，，
，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
同理可得，，
，
，
，
即的长为；
（3）解：连接，过点做于，
，点为中点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
解得，
即的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、矩形的性质与判定、含30° 的直角三角形的性质及勾股定理的计算。
（1）根据AC=BC和∠ACB得∠CAD，则有 ∠ACD=∠BCE，结合，证≌，得 ；
（2） 过点作于点M，过点E作于点N，由（1）知≌，，结合∠ACD和AD，得和，则，结合，可判定四边形MNEC是矩形得MN=CE，由得，，得NE，AN，则AE可求；（3） 连接DP，过点N做于Q，证，计算和，设BN=X得NQ，BQ，由PQ=NQ和PPQ+QB，计算可得BN长。
1 / 1【培优练】人教版初中数学2024-2025学年八年级下学期 17.1勾股定理
一、选择题
1．（2023八上·深圳期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；正方形的性质
【解析】【解答】解：①已知大正方形面积为49，可知大正方形的边长为7，直角三角形中三边长分别为x、y和7，所以+==49，正确；②小正方形的面积为4，则小正方形的边长为2，由图可知y+2=x，所以x-y=2，正确；③由①可知+=49，即，由②可知x-y=2，所以可得 2xy+4=49 ，正确；④由且x>0，y>0，解得x=，y=，所以x+y=11，错误；所以说法正确的是①②③.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积可以得到大正方形和小正方形的边长；根据勾股定理，可以得到①正确；根据的结构可以得到②正确；配方法以及根据①和②的结论可以推出③正确；列二元一次方程，代入消元法解得x和y的值，进而求出x+y的值，判断④错误.
2．（2022八下·义乌开学考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于
MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB交AB与点T
∵ 由作图可得，AE平分∠CAB
∴CE=ET，
在Rt△ACE与Rt△ATE中，
AE=AE，CE=TE，
∴Rt△ACE≌Rt△ATE
∴AC=AT
∵CE＝3
∴ET=3
∵BE＝5，ET⊥AB
∴BT=4
设AC=x，则AT=x
∵在△ABC中，∠C＝90°
∴AC2+BC2=AB2
∴
解得，x=6
故答案为：C.
【分析】根据作图过程可得AE平分∠CAB，由角平分线的性质可过点E作ET⊥AB交AB与点T，并得到CE=ET，AC=AT，之后运用勾股定理，可建立AC相关的等式，解出可得到答案.
3．（2023八下·台山期末）如图，在Rt△ABC中．∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．4 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分斜边AC
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°
又∵∠B=90°，∠A=30°
∴∠DCB=∠ACD=30°
∴CD=2BD=4
∴BC=
∴AC=2CB=
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到AD=CD，由等边对等角得∠A=∠ACD=30°，再根据含30°直角三角形的性质，得到CD=2BD；再根据勾股定理得到BC的值；最后再根据含30°直角三角形的性质，得到AC=2CE 即可解题.
4．（2023八上·长春汽车经济技术开发期中）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：―根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：∠AOB=90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42=(10-x) 2．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度OA是x尺，根据勾股定理得出方程，即可求解．
5．（2022八上·瑞安月考）如图，△ABD和△CBD，∠ADB=90°，∠ABD=∠DBC，AD=DC=1，若AB=4，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∴∠CFD=90°，
∵∠ABD=∠DBC，
∴DE=DF；
在Rt△DEB和Rt△DFB中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFB（HL）
∴BE=BF；
在Rt△ABD中
；
∵
∴，
在Rt△BDE中，
∴.
故答案为：D
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，利用角平分线的性质可证得DE=DF，利用HL证明Rt△DEB≌Rt△DFB，利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=BF；利用勾股定理求出BD的长，利用三角形的面积公式求出DF，DE的长；再利用勾股定理求出DF的长，从而可求出CF的长；然后根据BC=BF-CF，代入计算求出BC的长.
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何 ”大意是：“有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈(1丈=10尺)，那么门的高和宽各是多少 ”如果设门的宽为x尺，根据题意，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设门的宽为x尺 ，则门高尺，
由题意得： ，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理列出方程，即可得解.
7．（2024八下·南海期中）如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，
解得
∴中边上的高是．
故答案为：A
【分析】设中边上的高为h，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2024八下·冷水滩开学考）如图，是等边三角形，D、E分别是的边、上的点，且，与相交于点P，于点F，，，则的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC
∴∠BAC=∠C
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
∴∠ABD=∠CAE，BD=AE
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°
∴∠BPF=∠APD=60°
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°
∴∠PBF=30°
∴BP=2PF=10
∵PD=3
∴BD=BP+PD=13
∴AE=BD=13
故答案为：B
【分析】根据等边三角形性质及全等三角形判定定理可得△ABD≌△CAE（SAS），则∠ABD=∠CAE，BD=AE，再根据角之间的关系可得∠PBF=30°。再根据含30°角的直角三角形性质可得BP=2PF=10，则BD=BP+PD=13，即可求出答案.
9．（2024八下·忠县期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．15 B．61 C．69 D．72
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如下图：
由勾股定理可知：，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】根据勾股定可得，，再进行等量替换即可求出答案.
10．（2024八下·宝安期末）在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴当点三点共线，时，有最小值，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴有最小值，
故答案为：．
【分析】先求出BG，再说明当点三点共线，时，有最小值，然后利用勾股定理求得AG即为最小值．
二、填空题
11．（2024八下·吉林月考）如图，在中，，分别以，为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
解：∵以AC，AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别是9和25
∴
∵∠ACB=90°
∴BC=
故答案为：4
【分析】本题考查勾股定理和正方形的面积，熟知勾股定理和正方形的面积是解题关键，本题根据正方形的面积可求得，在Rt△ACB中，由∠ACB=90°勾股定理可知：BC=，即可得出答案.
12．（2024九上·鹿寨期末）如图，点A，C分别是y轴，x轴正半轴上的动点，，将线段绕点A顺时针旋转60°得到线段，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，取AC的中点，连接OD，BD，BC，则OD=CD=AD=AC=，
由旋转知：∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴BD⊥AC，BC=AC=1，
∴BD==，
∵OB≥BD-OD=-，
∴当B、O、D三点共线时，OB值最小，最小值为OB=BD-OD=-=.
故答案为：.
【分析】取AC的中点，连接OD，BD，BC，由旋转的性质可得△ABC为等边三角形，由OB≥BD-OD，可知当B、O、D三点共线时，OB值最小，最小值为OB=BD-OD，据此求解即可.
13．（2023·锦江模拟）小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得，.接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时的长为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知四边形ABCD是菱形，
，
是等边三角形，
，
四边形是正方形，
，
故答案为：.
【分析】由菱形的性质得AB=BC，结合∠B=60°，判断出△ABC是等边三角形，故AB=AC=BC=5，根据正方形的性质及勾股定理即可算出A'C'的长.
14．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，
∵G， H分别为AE，EF的中点，
∴，
要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF=6，
∵∠B= 45°，
∴∠BAF= 45°，
∴BF= AF= 6，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴. BC=AB=；
故答案为：.
【分析】连接AF，利用中位线的性质GH =二AF，要使GH最小，只要AF最小，当AF⊥BC时，AF最小为6，由∠B = 45° 确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF=BF= 6，由勾股定理得：AB2=BF2+AF2求出BC即可.
15．（2019·梅列模拟）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝ ．
【答案】100
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝ ∠ACB，∠ACF＝ ∠ACD，即∠ECF＝ （∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2．
三、解答题
16．（2022八下·乾安期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【答案】解：在Rt△ACB中AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意先求出 x2＝42+（x﹣1）2， 再求解即可。
17．（2023八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∠ABD＋∠BME=90°，
∵∠BME=∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD=90°，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD，
∴△CDM是等腰三角形；
（2）解︰作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB=90°，BD平分∠ABC，
∴DC=DF，
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=，
∵S△ABC=S△BCD+S△ADB，
∴，
即，
解得CD=DF=3，
由（1）知：CM=CD，
∴CM=3，
即CM的长度为3.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠CBD=∠ABD，由直角三角形的量锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等得∠CDB=∠CMD，由等角对等边得CM=CD，从而可得结论；
（2）作DF⊥AB于点F，如图所示，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DF，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，进而根据S△ABC=S△BCD+S△ADB，结合三角形面积计算公式建立方程可求出CD=DF=3，再结合（1）的结论可得答案.
18．（2020八上·湛江月考）如图，已知在平面直角坐标系中，S三角形ABC=24，OA=OB，BC =12，求三角形ABC三个顶点的坐标.
【答案】解：
∴OC=8，
∵点O为原点，
∴A（0，4），B（-4，0），C（8，0）．
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【分析】首先根据面积求得OA的长，再根据已知条件求得OB的长，最后求得OC的长．最后写坐标的时候注意点的位置．
19．如图，在正方形 ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，BE 与CF 相交于点 P，连结 AP.设 AB=a.
（1）求证：BE⊥CF.
（2）求 AP，CP的长（用含 a 的代数式表示）.
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠D=∠BCE=90°，CD=BC=AD，
∵ E是CD的中点，F是AD的中点，
∴ EC=CD，FD=AD，
∴ EC=FD，
∴ △CDF≌△BCE（SAS），
∴ ∠DCF=∠CBE，
∵ ∠DCF+∠BCP=90°，
∴ ∠CBE+∠BCP=90°，
∴ ∠CPB=180°-∠CBE-∠BCP=90°，
∴ BE⊥CF；
（2）解：延长CF交BA的延长线于点G，如图
∵ ∠D=∠FAG=90°，DF=AF，∠DFC=∠AFG，
∴ △CDF≌△GAF（ASA），
∴ CD=GA=AB=a，
∵ BE⊥CF，
∴∠BPG=90°，
∴ AP为Rt△BGP斜边BG上的中线，
即AP=BG=a，
由勾股定理得，BE==a，
∵ BE⊥CF，
∴ S△BCE=EC·BC=CP·BE，即EC·BC=CP·BE，
∴a·a=CP·a，
即CP=.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得∠D=∠BCE=90°，CD=BC=AD，依据SAS判定△CDF≌△BCE推出 ∠DCF=∠CBE，根据三角形的内角和定理求得∠CPB，即可求得；
（2） 延长CF交BA的延长线于点G， 依据ASA判定 △CDF≌△GAF 推出 CD=GA=AB=a， 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得 AP=BG=a， 根据勾股定理得BE= a， 根据等面积法列出式子，即可求得CP= .
20．（2023九上·成都月考）如图，在中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求的度数；
（2）连接，若，，求线段的长；
（3）如图，若，，点为中点，的延长线与交于点，与交于点，求线段的长．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
又，，
≌，
（2）解：过点作于点，过点作于点，
由知，≌，，
，，
，，
，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
同理可得，，
，
，
，
即的长为；
（3）解：连接，过点做于，
，点为中点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
解得，
即的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、矩形的性质与判定、含30° 的直角三角形的性质及勾股定理的计算。
（1）根据AC=BC和∠ACB得∠CAD，则有 ∠ACD=∠BCE，结合，证≌，得 ；
（2） 过点作于点M，过点E作于点N，由（1）知≌，，结合∠ACD和AD，得和，则，结合，可判定四边形MNEC是矩形得MN=CE，由得，，得NE，AN，则AE可求；（3） 连接DP，过点N做于Q，证，计算和，设BN=X得NQ，BQ，由PQ=NQ和PPQ+QB，计算可得BN长。
1 / 1
