2026全国版高考数学一轮基础知识练--6.3　等比数列（含解析）

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2026全国版高考数学一轮
6.3　等比数列
五年高考
考点1　等比数列及其前n项和
1.(2023全国甲理,5,5分,中)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4= (　　)
A.　　　　C.15　　　　D.40
2.(2023天津,6,5分,中)已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为 (　　)
A.3　　　　B.18　　　　C.54　　　　D.152
3.(2022全国乙理,8,5分,中)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(　　)
A.14　　　　B.12　　　　C.6　　　　D.3
4.(2023全国甲文,13,5分,中)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为　　　　.
5.(2023北京,14,5分,中)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=　　　　;数列{an}所有项的和为　　　　.
6.(2024全国甲文,17,12分,中)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和.
7.(2020新高考Ⅱ,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1.
考点2　等比数列的性质
1.(2023新课标Ⅱ,8,5分,中)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　)
A.120　　　　B.85　　　　C.-85　　　　D.-120
2.(2021全国甲理,7,5分,中)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则 (　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件　　　　
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件　　　　
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.(2023全国乙理,15,5分,中)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　.
三年模拟
基础强化练
1.(2023广东佛山一模,4)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a2a4=9,9S4=10S2,则a2+a4的值为 (　　)
A.30　　　　B.10　　　　C.9　　　　D.6
2.(2025届广东普通高中毕业班一调,5)已知等比数列{an}为递增数列,bn=.记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,若a2=a1a3,S3+T3=12,则Sn= (　　)
A.4n-1-1　　　　B.(4n-1-1)
C.(4n-1)　　　　D.4n-2
3.(2025届重庆长寿中学开学考,3)已知数列{an}满足an+1=3an+2n,a1=0,关于数列{an}有四个结论:
①数列{an+1-an+1}为等比数列;②an=;③an+1>an;④若Sn为数列{an}的前n项和,则Sn=.
其中所有正确结论的编号是 (　　)
A.①②③　　　　B.①②④　　　　C.①③④　　　　D.②③④
4.(多选)(2025届广东六校联考,10)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若S1=-1,且 n∈N*,an+2>an,则 (　　)
A.a2>0　　　　B.0an　　　　D.Sn<
5.(多选)(2025届山东潍坊调研,10)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=4(n=1,2,…),则 (　　)
A.a2=-1
B.{an}为等比数列
C.{an}为递减数列
D.{an}中存在小于的项
6.(多选)(2025届山东聊城期中,9)数列{an}中,记Sn为数列{an}的前n项和,Tn为数列{an}的前n项积,若a1=16,2an+1-an=0(n∈N*),则(　　)
A.an=
B.Sn=32-
C.数列{log2an}是递增数列
D.当Tn取最大值时,n=4或n=5
7.(多选)(2025届江西多校期中调研,11)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,且=2an+1,记的前n项和为Tn,则 (　　)
A.a2=是等比数列
C.Tn=2n+2-2n-4　　　　D.
8.(2025届河北张家口开学考,12)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a2a5=2,a4=4,则S6=　　　　.
9.(2025届广东揭阳月考,16)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+9=3an+4n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{n(an-2)}的前n项和Tn.
10.(2025届江苏苏州期中,17)已知数列{an},{bn}满足,b1=-1.
(1)求a3;
(2)证明数列是等比数列,并求an.
能力拔高练
1.(2023山西太原、大同二模,6)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若an+1=Sn+1(n∈N*),则a5= (　　)
A.16　　　　B.32　　　　C.81　　　　D.243
2.(2025届辽宁沈阳东北育才学校模拟,5)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a4=b4=3,则 (　　)
A.b1b7≥a1a7　　　　B.b1+b7≥a1+a7
C.b1b7≤a1a7　　　　D.b1+b7≤a1+a7
3.(多选)(2024江苏省启东中学模拟,11)已知数列{an}满足:an+1=(a∈R,n∈N*)且a1=,则下列说法正确的是 (　　)
A.存在a∈R,使得为等差数列
B.当a=-1时,a2 020=3
C.当a=2时,a1D.当a=4时,是等比数列
4.(2025届北京三十五中开学考,14)已知等比数列{an}满足:an>0,a4+a6=5,a3a5=1,则公比q=　　　　,a1a2…an的最小值为　　　　.
5.(2025届河北承德开学考,14)已知数列{an}满足an=an-1(n≥2),a1=,则{an}的前n项和Sn=　　　　　.
6.(2025届河北唐山阶段练,18)已知数列{an},a1=a2=1,an+2-5an+1+6an=0.
(1)证明:数列{an+1-2an},{an+1-3an}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
7.(2025届山东日照联考,18)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=3n2+5n,数列{bn}是等比数列,公比q>0,b1=6,b3=2a3+4.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)设数列{cn}满足c1=1,cn=其中k∈N*.
(i)求数列{cn}的前2 024项和;
(ii)求(n∈N*).
8.(2025届湖南长沙雅礼中学月考,17)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,在数列{dn}中是否存在不同的3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列 若存在,求出这样的3项,若不存在,请说明理由.
创新风向练
(创新考法)(多选)(2024湖北咸宁期末,10)牛顿(1643—1727)在《流数法》一书中,给出了高次代数方程根的一种数值解法——牛顿法,用“作切线”的方法求函数零点.如图,在横坐标为x1的点处作曲线f(x)的切线,切线与x轴交点的横坐标为x2;用x2代替x1重复上面的过程得到x3;一直下去,得到数列{xn},叫做牛顿数列.若函数f(x)=x2-x-6,an=ln且a1=1,xn>3,数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是 (　　)
A.xn+1=xn-
B.数列{an}是递减数列
C.数列{an}是等比数列
D.S2 024=22 023-1
6.3　等比数列
五年高考
考点1　等比数列及其前n项和
1.(2023全国甲理,5,5分,中)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4= (　　)
A.　　　　C.15　　　　D.40
答案　C　
2.(2023天津,6,5分,中)已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为 (　　)
A.3　　　　B.18　　　　C.54　　　　D.152
答案　C　
3.(2022全国乙理,8,5分,中)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(　　)
A.14　　　　B.12　　　　C.6　　　　D.3
答案　D　
4.(2023全国甲文,13,5分,中)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为　　　　.
答案　-
5.(2023北京,14,5分,中)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=　　　　;数列{an}所有项的和为　　　　.
答案　48;384
6.(2024全国甲文,17,12分,中)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和.
解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,
由条件得
即
两式相减得2a1q=3a1q(q-1).
显然a1q≠0,解得q=,a1=1,
故{an}的通项公式为an=.
(2)由等比数列的前n项和公式得
Sn=.
{Sn}的通项公式是一个等比数列减去一个常数的形式,
所以S1+S2+…+Sn=
=.
7.(2020新高考Ⅱ,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1.
解析　(1)已知数列{an}是公比大于1的等比数列,设公比为q(q>1),依题意有解得a1=2,q=2,或a1=32,q=(舍)(注意:不要忽略公比大于1这一条件),
所以an=2n,所以数列{an}的通项公式为an=2n. (5分)
(2)a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1
=23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1
=-(-1)n. (12分)
考点2　等比数列的性质
1.(2023新课标Ⅱ,8,5分,中)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　)
A.120　　　　B.85　　　　C.-85　　　　D.-120
答案　C　
2.(2021全国甲理,7,5分,中)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则 (　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件　　　　
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件　　　　
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B　
3.(2023全国乙理,15,5分,中)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　.
答案　-2
三年模拟
基础强化练
1.(2023广东佛山一模,4)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a2a4=9,9S4=10S2,则a2+a4的值为 (　　)
A.30　　　　B.10　　　　C.9　　　　D.6
答案　B　
2.(2025届广东普通高中毕业班一调,5)已知等比数列{an}为递增数列,bn=.记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,若a2=a1a3,S3+T3=12,则Sn= (　　)
A.4n-1-1　　　　B.(4n-1-1)
C.(4n-1)　　　　D.4n-2
答案　C　
3.(2025届重庆长寿中学开学考,3)已知数列{an}满足an+1=3an+2n,a1=0,关于数列{an}有四个结论:
①数列{an+1-an+1}为等比数列;②an=;③an+1>an;④若Sn为数列{an}的前n项和,则Sn=.
其中所有正确结论的编号是 (　　)
A.①②③　　　　B.①②④　　　　C.①③④　　　　D.②③④
答案　C　
4.(多选)(2025届广东六校联考,10)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若S1=-1,且 n∈N*,an+2>an,则 (　　)
A.a2>0　　　　B.0an　　　　D.Sn<
答案　BC　
5.(多选)(2025届山东潍坊调研,10)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=4(n=1,2,…),则 (　　)
A.a2=-1
B.{an}为等比数列
C.{an}为递减数列
D.{an}中存在小于的项
答案　ACD　
6.(多选)(2025届山东聊城期中,9)数列{an}中,记Sn为数列{an}的前n项和,Tn为数列{an}的前n项积,若a1=16,2an+1-an=0(n∈N*),则(　　)
A.an=
B.Sn=32-
C.数列{log2an}是递增数列
D.当Tn取最大值时,n=4或n=5
答案　ABD　
7.(多选)(2025届江西多校期中调研,11)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,且=2an+1,记的前n项和为Tn,则 (　　)
A.a2=是等比数列
C.Tn=2n+2-2n-4　　　　D.
答案　ACD　
8.(2025届河北张家口开学考,12)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a2a5=2,a4=4,则S6=　　　　.
答案　
9.(2025届广东揭阳月考,16)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+9=3an+4n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{n(an-2)}的前n项和Tn.
解析　(1)当n=1时,2a1+9=3a1+4,即a1=5,
由2Sn+9=3an+4n①得当n≥2时,2Sn-1+9=3an-1+4(n-1)②,
①-②得2an=3an-3an-1+4,即an=3an-1-4,
所以an-2=3(an-1-2).
因为a1-2=5-2=3,
所以数列{an-2}是首项为3,公比为3的等比数列.则an-2=3n,即an=3n+2.
(2)由(1)得,n(an-2)=n·3n,
所以Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,
3Tn=1×32+2×33+…+(n-1)×3n+n×3n+1,
故-2Tn=(3+32+…+3n)-n×3n+1=,
所以Tn=.
10.(2025届江苏苏州期中,17)已知数列{an},{bn}满足,b1=-1.
(1)求a3;
(2)证明数列是等比数列,并求an.
解析　(1)当n=1时,
当n=2时,a3=a2-b2+4=.
(2)∵
∴①×2+②得2an+1+bn+1=4n+4,∴2an+bn=4n,则bn=4n-2an,代入①得an+1=an-(4n-2an)+2n,则an+1=3an-2n,
∴an+1-(n+1)-,又a1-1-=1,∴数列是以1为首项,3为公比的等比数列.
∴an-n-=3n-1,∴an=3n-1+n+.
能力拔高练
1.(2023山西太原、大同二模,6)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若an+1=Sn+1(n∈N*),则a5= (　　)
A.16　　　　B.32　　　　C.81　　　　D.243
答案　A　
2.(2025届辽宁沈阳东北育才学校模拟,5)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a4=b4=3,则 (　　)
A.b1b7≥a1a7　　　　B.b1+b7≥a1+a7
C.b1b7≤a1a7　　　　D.b1+b7≤a1+a7
答案　A　
3.(多选)(2024江苏省启东中学模拟,11)已知数列{an}满足:an+1=(a∈R,n∈N*)且a1=,则下列说法正确的是 (　　)
A.存在a∈R,使得为等差数列
B.当a=-1时,a2 020=3
C.当a=2时,a1D.当a=4时,是等比数列
答案　ABD　
4.(2025届北京三十五中开学考,14)已知等比数列{an}满足:an>0,a4+a6=5,a3a5=1,则公比q=　　　　,a1a2…an的最小值为　　　　.
答案　2;
5.(2025届河北承德开学考,14)已知数列{an}满足an=an-1(n≥2),a1=,则{an}的前n项和Sn=　　　　　.
答案　
6.(2025届河北唐山阶段练,18)已知数列{an},a1=a2=1,an+2-5an+1+6an=0.
(1)证明:数列{an+1-2an},{an+1-3an}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
解析　(1)证明:因为a1=a2=1,an+2-5an+1+6an=0,
所以an+2-2an+1=3(an+1-2an),an+2-3an+1=2(an+1-3an).
而a2-2a1=-1≠0,a2-3a1=-2≠0,
所以an+1-2an≠0,an+1-3an≠0,
=3,=2.
所以数列{an+1-2an}是首项为-1,公比为3的等比数列,数列{an+1-3an}是首项为-2,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知:an+1-2an=-3n-1,an+1-3an=-2n.
联立解得an=2n-3n-1.
(3)Sn=a1+a2+a3+…+an
=(21+22+23+…+2n)-(30+31+32+…+3n-1)
=.
7.(2025届山东日照联考,18)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=3n2+5n,数列{bn}是等比数列,公比q>0,b1=6,b3=2a3+4.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)设数列{cn}满足c1=1,cn=其中k∈N*.
(i)求数列{cn}的前2 024项和;
(ii)求(n∈N*).
解析　(1)当n=1时,2S1=2a1=8 a1=4,
因为
所以an=Sn-Sn-1=3n+1,
显然a1=4符合上式,所以an=3n+1,
由题意b3=2×(3×3+1)+4=24=b1q2 q=2(舍负),所以bn=b1qn-1=3·2n.
(2)(i)易知210=1 024,211=2 048>2 024,
即数列{cn}的前2 024项中有10项分别为c2=b1,c4=b2,…,c512=b9,c1 024=b10,其余项均为1,
故数列{cn}的前2 024项和为2 024-10+b1+b2+…+b10=2 014+=8 152.
(ii)由(1)知=3·2i+1,而=bi=3·2i,
所以=3·2i(3·2i+1)=9·4i+3·2i,
易知=3·4n+1-12,=3·2n+1-6,
所以=3·4n+1+3·2n+1-18.
8.(2025届湖南长沙雅礼中学月考,17)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,在数列{dn}中是否存在不同的3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列 若存在,求出这样的3项,若不存在,请说明理由.
解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,由题意知:
当n=1时,a1q=2a1+2,①
当n=2时,a1q2=2(a1+a1q)+2,②
联立①②,解得a1=2,q=3,
所以数列{an}的通项公式为an=2×3n-1.
(2)由(1)知an=2×3n-1,an+1=2×3n.
所以an+1=an+(n+2-1)dn,
所以dn=.
设数列{dn}中存在3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列,则=dm·dp,
即,即,
又因为m,k,p成等差数列,
所以2k=m+p,所以(k+1)2=(m+1)(p+1),
化简得k2=mp,所以k=m=p,与已知矛盾,
所以在数列{dn}中不存在不同的3项dm,dk,dp成等比数列.
创新风向练
(创新考法)(多选)(2024湖北咸宁期末,10)牛顿(1643—1727)在《流数法》一书中,给出了高次代数方程根的一种数值解法——牛顿法,用“作切线”的方法求函数零点.如图,在横坐标为x1的点处作曲线f(x)的切线,切线与x轴交点的横坐标为x2;用x2代替x1重复上面的过程得到x3;一直下去,得到数列{xn},叫做牛顿数列.若函数f(x)=x2-x-6,an=ln且a1=1,xn>3,数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是 (　　)
A.xn+1=xn-
B.数列{an}是递减数列
C.数列{an}是等比数列
D.S2 024=22 023-1
答案　AC　
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