2026全国版高考数学一轮基础知识练--9.2　二项式定理（含解析）

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2026全国版高考数学一轮
9.2　二项式定理
五年高考
考点1　二项展开式中的特定项和特定项的系数
1.(2024北京,4,4分,易)在(x-)4的展开式中,x3的系数为 (　　)
A.6　　　　B.-6　　　　
C.12　　　　D.-12
2.(2024天津,11,5分,易)在的展开式中,常数项为　　　　.
3.(2021上海,6,5分,易)已知二项式(x+a)5的展开式中,x2的系数为80,则a=　　　　.
4.(2024全国甲理,13,5分,中)的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　.
5.(2022新高考Ⅰ,13,5分,易)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).
考点2　二项式系数和与各项系数和
1.(2024上海,6,4分,易)在(x+1)n的二项展开式中,若各项系数和为32,则x2项的系数为　　　　.
2.(2022浙江,12,6分,中)已知(x+2)·(x-1)4 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　.
3.(2021浙江,13,6分,中)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=　　;a2+a3+a4=　　　　.
4.(2020浙江,12,6分,中)设(1+2x)5=a1+a2x+a3x2+a4x3+a5x4+a6x5,则a5=　　　　;a1+a2+a3=　　　　.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届安徽江南十校素质检测,5)已知(1+2x)n的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中的x4项的系数为 (　　)
A.5　　　　B.16　　　　C.40　　　　D.80
2.(2025届北京丰台怡海中学月考,7)已知的展开式中,常数项为60,则a的值为(　　)
A.2　　　　B.±2　　　　C.3　　　　D.±3
3.(2025届湖南长郡中学调研,3)的展开式中的常数项是 (　　)
A.第673项　　　　B.第674项
C.第675项　　　　D.第676项
4.(2025届湖南衡阳一模,5)的展开式中xy的系数为 (　　)
A.30　　　　B.-30　　　　C.60　　　　D.-60
5.(2025届江西红色十校联考,4)(x-1)7的展开式中的常数项为 (　　)
A.147　　　　B.-147　　　　C.63　　　　D.-63
6.(多选)(2024山东临沂期中,10)已知(3x-2)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则 (　　)
A.a0=210
B.a0-a1+a2-a3+…+a10=1
C.a0+a2+a4+…+a10=
D.展开式中二项式系数最大的项为第5项
能力拔高练
1.(2025届江苏如皋中学质量调研(一),4)已知x∈N*,若122 024=13x+y,0≤y<13,则y=(　　)
A.1　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.12
2.(2024浙江宁波鄞州中学期中,4)若227+a既能被9整除又能被7整除,则正整数a的最小值为 (　　)
A.6　　　　B.10　　　　C.55　　　　D.63
3.(2025届福建厦门大学附属科技中学期中,7)当n∈N时,将三项式(x2+x+1)n展开,可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”:
(x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
(x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1
……
若在(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,x8的系数为75,则实数a的值为 (　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2
4.(2025届重庆大联考,13)在(3-x)n的展开式中,若x2的系数为an(n≥2),则=　　　　.
创新风向练
1.(创新知识交汇)(2025届广东广州三校期中联考,5)古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱(如图),圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,则的展开式中的常数项是(　　)
A.-15　　　　B.-20　　　　C.15　　　　D.20
2.(新定义理解)(2024吉林期中,8)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余有较深的研究,设a,b,m(m>0)均为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m),如9和21被6除得的余数都是3,则记9≡21(mod 6).若a≡b(mod 8),且a=·220,则b的值可以是 (　　)
A.2 022　　　　B.2 023　　　　C.2 024　　　　D.2 025
3.(创新情境)(2024重庆一中月考,6)杨辉三角,又称贾宪三角,是二项式系数(n∈N*,r∈N*且r≤n+1)在三角形中的一种几何排列,南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现.如图所示,在“杨辉三角”中,从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则在该数列中,第37项是 (　　)
A.136　　　　B.153　　　　C.190　　　　D.210
4.(创新知识交汇)(2024北京清华大学附中模拟,12)若的展开式中存在x2项,则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列{an}的通项公式为　　　　.
9.2　二项式定理
五年高考
考点1　二项展开式中的特定项和特定项的系数
1.(2024北京,4,4分,易)在(x-)4的展开式中,x3的系数为 (　　)
A.6　　　　B.-6　　　　
C.12　　　　D.-12
答案　A　
2.(2024天津,11,5分,易)在的展开式中,常数项为　　　　.
答案　20
3.(2021上海,6,5分,易)已知二项式(x+a)5的展开式中,x2的系数为80,则a=　　　　.
答案　2
4.(2024全国甲理,13,5分,中)的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　.
答案　5
5.(2022新高考Ⅰ,13,5分,易)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).
答案　-28
考点2　二项式系数和与各项系数和
1.(2024上海,6,4分,易)在(x+1)n的二项展开式中,若各项系数和为32,则x2项的系数为　　　　.
答案　10
2.(2022浙江,12,6分,中)已知(x+2)·(x-1)4 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　.
答案　8;-2
3.(2021浙江,13,6分,中)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=　　;a2+a3+a4=　　　　.
答案　5;10
4.(2020浙江,12,6分,中)设(1+2x)5=a1+a2x+a3x2+a4x3+a5x4+a6x5,则a5=　　　　;a1+a2+a3=　　　　.
答案　80;51
三年模拟
基础强化练
1.(2025届安徽江南十校素质检测,5)已知(1+2x)n的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中的x4项的系数为 (　　)
A.5　　　　B.16　　　　C.40　　　　D.80
答案　D　
2.(2025届北京丰台怡海中学月考,7)已知的展开式中,常数项为60,则a的值为(　　)
A.2　　　　B.±2　　　　C.3　　　　D.±3
答案　B　
3.(2025届湖南长郡中学调研,3)的展开式中的常数项是 (　　)
A.第673项　　　　B.第674项
C.第675项　　　　D.第676项
答案　D　
4.(2025届湖南衡阳一模,5)的展开式中xy的系数为 (　　)
A.30　　　　B.-30　　　　C.60　　　　D.-60
答案　D　
5.(2025届江西红色十校联考,4)(x-1)7的展开式中的常数项为 (　　)
A.147　　　　B.-147　　　　C.63　　　　D.-63
答案　C　
6.(多选)(2024山东临沂期中,10)已知(3x-2)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则 (　　)
A.a0=210
B.a0-a1+a2-a3+…+a10=1
C.a0+a2+a4+…+a10=
D.展开式中二项式系数最大的项为第5项
答案　AC　
能力拔高练
1.(2025届江苏如皋中学质量调研(一),4)已知x∈N*,若122 024=13x+y,0≤y<13,则y=(　　)
A.1　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.12
答案　A　
2.(2024浙江宁波鄞州中学期中,4)若227+a既能被9整除又能被7整除,则正整数a的最小值为 (　　)
A.6　　　　B.10　　　　C.55　　　　D.63
答案　C　
3.(2025届福建厦门大学附属科技中学期中,7)当n∈N时,将三项式(x2+x+1)n展开,可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”:
(x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
(x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1
……
若在(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,x8的系数为75,则实数a的值为 (　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2
答案　C　
4.(2025届重庆大联考,13)在(3-x)n的展开式中,若x2的系数为an(n≥2),则=　　　　.
答案　
创新风向练
1.(创新知识交汇)(2025届广东广州三校期中联考,5)古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱(如图),圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,则的展开式中的常数项是(　　)
A.-15　　　　B.-20　　　　C.15　　　　D.20
答案　C　
2.(新定义理解)(2024吉林期中,8)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余有较深的研究,设a,b,m(m>0)均为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m),如9和21被6除得的余数都是3,则记9≡21(mod 6).若a≡b(mod 8),且a=·220,则b的值可以是 (　　)
A.2 022　　　　B.2 023　　　　C.2 024　　　　D.2 025
答案　D　
3.(创新情境)(2024重庆一中月考,6)杨辉三角,又称贾宪三角,是二项式系数(n∈N*,r∈N*且r≤n+1)在三角形中的一种几何排列,南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现.如图所示,在“杨辉三角”中,从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则在该数列中,第37项是 (　　)
A.136　　　　B.153　　　　C.190　　　　D.210
答案　C　
4.(创新知识交汇)(2024北京清华大学附中模拟,12)若的展开式中存在x2项,则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列{an}的通项公式为　　　　.
答案　an=4n
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