2026全国版高考数学一轮基础知识专题练--链接高考2　三次函数的性质综合（含解析）

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2026全国版高考数学一轮
链接高考2　三次函数的性质综合
1.(2025届浙江杭州月考,4)已知三次函数f(x)的零点从小到大依次为m,0,2,其图象在x=-1处的切线l经过点(2,0),则m=(　　)
A.-
2.(多选)(2025届河北沧州质量监测,10)设函数f(x)=(x+1)2(x-2),则 (　　)
A.x=1是f(x)的极小值点
B.f(x)的极大值为1
C.当x∈时,-4≤f(2x+3)<0
D.若f(x)<0,则x∈(-∞,2)
3.(多选)(2025届山东济宁实验中学开学考,10)已知函数f(x)=2x3-6x+1,则 (　　)
A.g(x)=f(x)-1为奇函数
B.f(x)的单调递增区间为(-1,1)
C.f(x)的极小值为3
D.若关于x的方程f(x)-m=0恰有3个不等的实根,则m的取值范围为(-3,5)
4.(多选)(2025届四川联考,11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx,则 (　　)
A.若a=2,b=1,则f(x)有且仅有两个零点
B.若b=0,则0为f(x)的极值点
C.当a为定值时,曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线在y轴上的截距为定值
D.若a>0,b=0,当且仅当-a5.(多选)(2025届广东八校联合检测,10)设函数f(x)=x3-x2+ax-1,则 (　　)
A.当a=-1时, f(x)有三个零点
B.当a≥时, f(x)无极值点
C. a∈R,使f(x)在R上是减函数
D. a∈R, f(x)图象对称中心的横坐标不变
6.(多选)(2025届重庆沙坪坝阶段练习,11)已知三次函数f(x)=ax3+x2+cx+有三个不同的零点x1,x2,x3(x1A.3ac<1
B.若x1,x2,x3成等差数列,则a∈(-1,0)∪(0,1)
C.若g(x)恰有两个不同的零点m,n(mD.若g(x)有三个不同的零点t1,t2,t3(t17.(2025届河南郑州一中月考,12)已知函数f(x)=x3+ax2-9x+10(a∈R).若x=-1是f(x)的极值点,则f(x)的极小值是　　　　.
8.(2025届浙江嘉兴期中,15)已知函数f(x)=x3-(1+a)x2-(a2-2a)x.
(1)当a=1时,求函数的极值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
9.(2025届江苏苏州期中,16)已知x=2是三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的极值点,且直线3x+y-5=0与曲线y=f(x)相切于点(1, f(1)).
(1)求实数a,b,c的值;
(2)若f(t)=-1, f(s)=5,求f(t+s)的值;
(3)若对于任意实数x,都有f(x2-2x+4)+f(x2+λx)>4恒成立,求实数λ的取值范围.
10.(2025届山东阶段练习,18)经研究发现所有的一元三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有对称中心,设f '(x)是一元三次函数y=f(x)的导函数, f ″(x)是函数f '(x)的导函数,若方程f ″(x)=0有实数根x0,则称(x0, f(x0))为一元三次函数y=f(x)的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识解答下列问题:已知函数f(x)=2x3-3x2+3x-2.
(1)求函数f(x)图象的对称中心和f的值;
(2)若a>0,解关于x的不等式f '(x)>(3a+6)x2-(a+9)x+4.
链接高考2　三次函数的性质综合
1.(2025届浙江杭州月考,4)已知三次函数f(x)的零点从小到大依次为m,0,2,其图象在x=-1处的切线l经过点(2,0),则m=(　　)
A.-
答案　B　
2.(多选)(2025届河北沧州质量监测,10)设函数f(x)=(x+1)2(x-2),则 (　　)
A.x=1是f(x)的极小值点
B.f(x)的极大值为1
C.当x∈时,-4≤f(2x+3)<0
D.若f(x)<0,则x∈(-∞,2)
答案　AC　
3.(多选)(2025届山东济宁实验中学开学考,10)已知函数f(x)=2x3-6x+1,则 (　　)
A.g(x)=f(x)-1为奇函数
B.f(x)的单调递增区间为(-1,1)
C.f(x)的极小值为3
D.若关于x的方程f(x)-m=0恰有3个不等的实根,则m的取值范围为(-3,5)
答案　AD　
4.(多选)(2025届四川联考,11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx,则 (　　)
A.若a=2,b=1,则f(x)有且仅有两个零点
B.若b=0,则0为f(x)的极值点
C.当a为定值时,曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线在y轴上的截距为定值
D.若a>0,b=0,当且仅当-a答案　ACD　
5.(多选)(2025届广东八校联合检测,10)设函数f(x)=x3-x2+ax-1,则 (　　)
A.当a=-1时, f(x)有三个零点
B.当a≥时, f(x)无极值点
C. a∈R,使f(x)在R上是减函数
D. a∈R, f(x)图象对称中心的横坐标不变
答案　BD　
6.(多选)(2025届重庆沙坪坝阶段练习,11)已知三次函数f(x)=ax3+x2+cx+有三个不同的零点x1,x2,x3(x1A.3ac<1
B.若x1,x2,x3成等差数列,则a∈(-1,0)∪(0,1)
C.若g(x)恰有两个不同的零点m,n(mD.若g(x)有三个不同的零点t1,t2,t3(t1答案　ABD　
7.(2025届河南郑州一中月考,12)已知函数f(x)=x3+ax2-9x+10(a∈R).若x=-1是f(x)的极值点,则f(x)的极小值是　　　　.
答案　-17
8.(2025届浙江嘉兴期中,15)已知函数f(x)=x3-(1+a)x2-(a2-2a)x.
(1)当a=1时,求函数的极值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
解析　(1)当a=1时, f(x)=x3-2x2+x,
故f '(x)=3x2-4x+1.
令f '(x)=0,解得x=1或x=.
当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如表:
x 1 (1,+∞)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)极大值=f, f(x)极小值=f(1)=0.
(2)f '(x)=3x2-2(1+a)x-(a2-2a),
令f '(x)=0,解得x1=a,x2=.
当x1=x2时,a=,解得a=,所以若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,则a≠,且-1解得-1故a的取值范围为.
9.(2025届江苏苏州期中,16)已知x=2是三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的极值点,且直线3x+y-5=0与曲线y=f(x)相切于点(1, f(1)).
(1)求实数a,b,c的值;
(2)若f(t)=-1, f(s)=5,求f(t+s)的值;
(3)若对于任意实数x,都有f(x2-2x+4)+f(x2+λx)>4恒成立,求实数λ的取值范围.
解析　(1)f '(x)=3x2+2ax+b.
在3x+y-5=0中,令x=1,得y=2,即f(1)=2,
根据题意有
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+4,
f '(x)=3x2-6x=3x(x-2),
x<0或x>2时, f '(x)>0,0则f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,
极大值为f(0)=4,极小值为f(2)=0,
f(t)=-1<0, f(s)=5>4,因此t,s都是唯一的实数.
f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+4+(1-x)3-3(1-x)2+4
=1+3x+3x2+x3-3(1+2x+x2)+4+1-3x+3x2-x3-3(1-2x+x2)+4
=4,所以f(x)的图象关于点(1,2)对称,而f(s)+f(t)=4,
又(t,-1)和(s,5)都是y=f(x)图象上唯一的点,
所以s+t=2,f(s+t)=f(2)=0.
(3)x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,当且仅当x=1时,x2-2x+4=3,
所以f(x2-2x+4)≥f(3)=4=f(0),且x≤3时, f(x)≤4,
由f(x2-2x+4)+f(x2+λx)>4恒成立,得f(x2-2x+4)>4-f(x2+λx)(*),
又y=f(x)的图象关于点(1,2)对称,所以f(2-x)=4-f(x),
所以不等式(*)可化为f(x2-2x+4)>f(2-x2-λx),
所以x2-2x+4>2-x2-λx,所以2x2+(λ-2)x+2>0恒成立,
则Δ=(λ-2)2-16<0,所以-2<λ<6.
10.(2025届山东阶段练习,18)经研究发现所有的一元三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有对称中心,设f '(x)是一元三次函数y=f(x)的导函数, f ″(x)是函数f '(x)的导函数,若方程f ″(x)=0有实数根x0,则称(x0, f(x0))为一元三次函数y=f(x)的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识解答下列问题:已知函数f(x)=2x3-3x2+3x-2.
(1)求函数f(x)图象的对称中心和f的值;
(2)若a>0,解关于x的不等式f '(x)>(3a+6)x2-(a+9)x+4.
解析　(1)对f(x)=2x3-3x2+3x-2求导得f '(x)=6x2-6x+3,
则f ″(x)=12x-6,令f ″(x)=0,可得x=,
又f-2=-1,
所以f(x)图象的对称中心为,
故由函数图象的对称性知f(x)+f(1-x)=-2,
设m=f,
则m=f,
又因为f,
所以2m=2 023×(-2)=-4 046,故m=-2 023.
(2)由(1)可知f '(x)=6x2-6x+3,
所以将不等式f '(x)>(3a+6)x2-(a+9)x+4化为3ax2-(a+3)x+1<0,且a>0,
即(3x-1)(ax-1)<0.
①当0②当a=3时,不等式的解集为 ;
③当a>3时,解得.
综上所述,当03时,不等式的解集为.
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