2026全国版高考数学一轮基础知识专题练--链接高考4　导数中的双变量问题（含解析）

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2026全国版高考数学一轮
链接高考4　导数中的双变量问题
1.(2024江苏盐城模拟,17)已知函数f(x)=,其中a>0.
(1)若f(x)在(0,2]上单调递增,求a的取值范围;
(2)当a=1时,若x1+x2=4且02.(2024广东二模,17)已知f(x)=ax2+(1-2a)x-2ln x,a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)函数f(x)的图象上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),使得直线AB与函数f(x)的图象在x0=处的切线平行 若存在,请求出直线AB;若不存在,请说明理由.
3.(2025届四川成都月考,19)已知函数f(x)=,其中e为自然对数的底数.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.
(2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2.
(i)求a的取值范围;
(ii)证明:>2.
4.(2025届广东广州三校期中联考,18)已知函数f(x)=ln x+x2-x+2(a∈R).
(1)若函数f(x)在定义域上单调递增,求a的取值范围;
(2)若a=0,求证:f(x)<;
(3)设x1,x2(x1链接高考4　导数中的双变量问题
1.(2024江苏盐城模拟,17)已知函数f(x)=,其中a>0.
(1)若f(x)在(0,2]上单调递增,求a的取值范围;
(2)当a=1时,若x1+x2=4且0解析　(1)∵f(x)=,∴f '(x)=.
∵f(x)在(0,2]上单调递增,
∴f '(x)=≥0在(0,2]上恒成立.
当x∈(0,2]时,2x-ax2≥0,即a≤.
由y=在(0,2]上单调递减可知,当x=2时,=1,∴a≤1,又a>0,故a的取值范围为(0,1].
(2)f(x1)证明f(x1)设x1=2-t,x2=2+t,0等价于证明t设函数h(t)=ln-t,0∵h'(t)=>0,∴h(t)在(0,2)上单调递增,∴h(t)>h(0)=0,
∴ln>t,02.(2024广东二模,17)已知f(x)=ax2+(1-2a)x-2ln x,a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)函数f(x)的图象上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),使得直线AB与函数f(x)的图象在x0=处的切线平行 若存在,请求出直线AB;若不存在,请说明理由.
解析　(1)由题得函数f(x)的定义域为(0,+∞), (1分)
求导得f '(x)=ax+1-2a-, (4分)
因为a>0,
所以由f '(x)>0,得x>2;由f '(x)<0,得0所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).(7分)
(2)由题得
则kAB=
=
=
=a(x2+x1)+(1-2a)-, (9分)
由题知f(x)的图象在x0=处的切线斜率为f '(x0)=f ', (10分)
假设kAB=f '(x0),
则a(x2+x1)+(1-2a)-,
整理得,即ln x2-ln x1-=0,
所以ln=0, (12分)
设t=,则t>0且t≠1,
记g(t)=ln t-,即g(t)=ln t+-2,t>0且t≠1,
求导得g'(t)=>0恒成立,
所以g(t)在(0,1),(1,+∞)上单调递增, (14分)
因为g(1)=0,所以g(t)≠0在t∈(0,1)∪(1,+∞)上恒成立,
所以不存在这样的两点A,B. (15分)
3.(2025届四川成都月考,19)已知函数f(x)=,其中e为自然对数的底数.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.
(2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2.
(i)求a的取值范围;
(ii)证明:>2.
解析　(1)由题意得f(x)=,x∈(0,+∞),
则f '(x)=-,由f '(x)=0,解得x=1.
当00, f(x)单调递增;
当x>1时, f '(x)<0, f(x)单调递减.
所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).
(2)(i)由=1,得=a,
设g(x)=,由(1)得g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,
又g=0,g(1)=1,当x>1时,g(x)>0,且当x→+∞时,g(x)→0,所以当0故a的取值范围是(0,1).
(ii)证明:不妨设x1当x2∈[2,+∞)时,结合(i)知≥4>2,即>2;
当x2∈(1,2)时,2-x2∈(0,1).
设p(x)=g(x)-g(2-x)=,0则p'(x)=->0,所以p(x)在区间(0,1)内单调递增,
则p(x)所以g(2-x1)>g(x1)=g(x2),
又x1∈(0,1),2-x1>1,x2>1,g(x)在区间(1,+∞)内单调递减,
所以2-x12,又x1≠x2,所以>2x1x2,
故2+2x1x2=(x1+x2)2>4,所以>2,得证.
综上,>2.
4.(2025届广东广州三校期中联考,18)已知函数f(x)=ln x+x2-x+2(a∈R).
(1)若函数f(x)在定义域上单调递增,求a的取值范围;
(2)若a=0,求证:f(x)<;
(3)设x1,x2(x1解析　(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=+ax-1≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,
所以a≥-在x∈(0,+∞)上恒成立,
又-,当且仅当x=2时,等号成立,
所以a≥,即a的取值范围是.
(2)证明:若a=0,则f(x)=ln x-x+2,f '(x)=,
令f '(x)=0,解得x=1,所以当00,当x>1时, f '(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)≤f(1)=1,当且仅当x=1时,等号成立.
令g(x)=,x>0,所以g'(x)=,
令g'(x)=0,解得x=2,所以当02时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(2)=1,当且仅当x=2时,等号成立,
所以f(x)≤1≤g(x),又等号不同时成立,所以f(x)<.
(3)证明:由题意可知f '(x)=,
因为f(x)有两个极值点x1,x2(x1所以x1,x2是方程ax2-x+1=0的两个不等的正实根,
则0所以f(x1)-f(x2)=()-(x1-x2)=ln-(x1-x2)=ln,
所以要证f(x1)-f(x2)<(x1-x2),即证ln(x1-x2),即证ln即证ln(0令h(t)=ln t-,00,所以h(t)在(0,1)上单调递增,则h(t)即ln t<,所以原不等式f(x1)-f(x2)<(x1-x2)成立.
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