人教版数学八年级下学期期中质量检测一（范围：第十六章~18.1）
一、选择题（每题3分）
1．（2024八下·平桥月考）若是正整数，最小的正整数n是（ ）
A．6 B．3 C．48 D．2
【答案】B
【知识点】二次根式的定义；最简二次根式
【解析】【解答】解：=
∵是正整数，即是正整数，
∴最小的正整数n是3．
故答案为：B．
【分析】先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值即可．
2．（2023八下·丛台月考）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，
设，则，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由折叠的性质可得，设，则，在Rt△ABE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
3．（2024八下·民勤期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
4．（2024八下·庄浪期中）如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（ ）．
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，，
根据轴对称可知，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小，
即为蜘蛛所走最短路径，
由题意得：，，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，，根据轴对称可知，，则，当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小，根据边之间的关系可得SA，再根据勾股定理即可求出答案.
5．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.2《二次根式的乘除》.）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】选项A、C未进行分母有理化，选项D根式内包含完全平方数4，唯有B符合要求，故答案为：B．
【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。根据这两个条件判断。
6．（2024八下·四平期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
7．（2024八下·南海期中）如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，
解得
∴中边上的高是．
故答案为：A
【分析】设中边上的高为h，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2024八下·绵阳月考）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，
故答案为：B．
【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求出答案.
9．（2024八下·潍坊期中）使式子成立的条件是( )
A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：a＞5．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式组求解即可.
10．（2024八下·汝城期中）如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】证明，利用等角对等边得：，进而得到，再利用平行四边形的性质得AD长，即可得解.
二、填空题（每题3分）
11．（2024八下·永兴开学考）已知都是实数，且，则 ．
【答案】64
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
12．（2024八下·越秀月考）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
根据题意，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据题意，得，根据勾股定理即可求出答案.
13．（2024八下·四平期中）若与最简二次根式可以合并，则 ．
【答案】1
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
14．（2024八下·汉阴期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 dm．
【答案】25
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
15．（2024八下·立山月考）在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；三角形的中位线定理
三、计算题
16．（2024八下·天津市期中）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）。
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
四、解答题（17-19题8分、20题12分）
17．（2024八下·界首期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．
（1）求处与地面的距离．
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】（1）米
（2）米
【知识点】勾股定理
18．（2024八下·平泉期中）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”．
探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理）
变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来：
拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】勾股定理
19．（2024八下·青羊期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是12．
（1）求的长；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）12
（2）6
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
20．（2024八下·北京市期中）阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式；
乙的解答：原式．
（1）你认为 的解答是错误的；
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ；
（3）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中．
【答案】（1）甲
（2）
（3）2
【知识点】二次根式的性质与化简
五、作图题（8分）
21．（2024八下·深圳开学考）【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．
解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．
∵△ABC、△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．
∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴ ，
∴AE＝BD＝5．
∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．
∵AD＝3，
∴CD＝DE＝ ．
【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．
【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．
【答案】【问题背景】；；4；【尝试应用】；【拓展创新】AD的最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
六、实践探究题（8分）
22．（2024八下·确山期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)．
【答案】(1；(2；(3)的长为或10
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
七、阅读理解题（13分）
23．（2024八下·南昌期中）阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
，
，
，
．
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可）
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1），（答案不唯一）
（2）
（3）11
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除法；分母有理化
1 / 1人教版数学八年级下学期期中质量检测一（范围：第十六章~18.1）
一、选择题（每题3分）
1．（2024八下·平桥月考）若是正整数，最小的正整数n是（ ）
A．6 B．3 C．48 D．2
2．（2023八下·丛台月考）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·民勤期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．（2024八下·庄浪期中）如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（ ）．
A．18 B．20 C．22 D．24
5．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.2《二次根式的乘除》.）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·四平期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·南海期中）如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·绵阳月考）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．5 D．
9．（2024八下·潍坊期中）使式子成立的条件是( )
A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5
10．（2024八下·汝城期中）如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分）
11．（2024八下·永兴开学考）已知都是实数，且，则 ．
12．（2024八下·越秀月考）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为 ．
13．（2024八下·四平期中）若与最简二次根式可以合并，则 ．
14．（2024八下·汉阴期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 dm．
15．（2024八下·立山月考）在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ．
三、计算题
16．（2024八下·天津市期中）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
四、解答题（17-19题8分、20题12分）
17．（2024八下·界首期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．
（1）求处与地面的距离．
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
18．（2024八下·平泉期中）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”．
探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理）
变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来：
拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长．
19．（2024八下·青羊期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是12．
（1）求的长；
（2）若，，求的面积．
20．（2024八下·北京市期中）阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式；
乙的解答：原式．
（1）你认为 的解答是错误的；
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ；
（3）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中．
五、作图题（8分）
21．（2024八下·深圳开学考）【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．
解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．
∵△ABC、△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．
∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴ ，
∴AE＝BD＝5．
∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．
∵AD＝3，
∴CD＝DE＝ ．
【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．
【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．
六、实践探究题（8分）
22．（2024八下·确山期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)．
七、阅读理解题（13分）
23．（2024八下·南昌期中）阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
，
，
，
．
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可）
（2）计算：；
（3）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的定义；最简二次根式
【解析】【解答】解：=
∵是正整数，即是正整数，
∴最小的正整数n是3．
故答案为：B．
【分析】先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值即可．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，
设，则，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由折叠的性质可得，设，则，在Rt△ABE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
3．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
4．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，，
根据轴对称可知，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小，
即为蜘蛛所走最短路径，
由题意得：，，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，，根据轴对称可知，，则，当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小，根据边之间的关系可得SA，再根据勾股定理即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】选项A、C未进行分母有理化，选项D根式内包含完全平方数4，唯有B符合要求，故答案为：B．
【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。根据这两个条件判断。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，
解得
∴中边上的高是．
故答案为：A
【分析】设中边上的高为h，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，
故答案为：B．
【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：a＞5．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式组求解即可.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】证明，利用等角对等边得：，进而得到，再利用平行四边形的性质得AD长，即可得解.
11．【答案】64
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
12．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
根据题意，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据题意，得，根据勾股定理即可求出答案.
13．【答案】1
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
14．【答案】25
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；三角形的中位线定理
16．【答案】（1）；（2）。
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
17．【答案】（1）米
（2）米
【知识点】勾股定理
18．【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】勾股定理
19．【答案】（1）12
（2）6
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
20．【答案】（1）甲
（2）
（3）2
【知识点】二次根式的性质与化简
21．【答案】【问题背景】；；4；【尝试应用】；【拓展创新】AD的最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
22．【答案】(1；(2；(3)的长为或10
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
23．【答案】（1），（答案不唯一）
（2）
（3）11
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除法；分母有理化
1 / 1
