第16章二次根式检测卷（含解析）
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第16章二次根式检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．二次根式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．若则（ ）
A． B． C． D．
4．下列二次根式中，与的乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
6．若最简二次根式与可以合并，则a的值为（ ）
A．0 B． C． D．
7．数学活动课上，要用铁丝围一个长为、宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．比较大小：，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．已知，则 ．
11．若二次根式是整数，则整数的最小值为 ．
12．对于正整数a、b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为 ．
13．下面是按一定规律排列的一列数： ，，， 第10个数是 ．
14．已知实数a满足．
（1）a的取值范围为 ；
（2）的值为 ．
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
16．先化简，再代入求值：，其中．
17．已知都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”，例：，，，则称2与是关于1的“平衡数”．
(1)与___________是关于2的“平衡数”；
(2)若，判断与是不是关于1的“平衡数”．
18．小徽准备完成题目“计算：（”时，发现“■”处的数印刷不清楚．
(1)他把“■”处的数猜成6，请你计算的结果；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是0．”通过计算说明原题中“■”表示的数．
19．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简．
例如：化简：．
解：，
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：．
(2)化简：．
(3)计算：．
20．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
(1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？
(2)从高空抛出的物体，经过落地，所抛物体下落的高度是多少？
21．如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．
(1)求矩形空地的周长；
(2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
《第16章二次根式检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C A C D
1．D
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A．的根指数是3，故不是二次根式；
B．的根指数是3，故不是二次根式；
C．的被开方数是负数，故不是二次根式；
D．是二次根式．
故选D．
2．C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．分别将各选项与相乘，进而化简求出答案．
【详解】解：A、，是有理数，故此选项正确；
B、，是无理数，故此选项错误；
C、，是无理数，故此选项错误；
D、，是无理数，故次选项错误；
故选：A．
5．C
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，
，，
；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式称为同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得到被开方数相等，列出方程求解即可．
【详解】解：二次根式与可以合并，
且，
故选：．
7．C
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的加减混合运算，掌握其运算法则是关键．
根据图形面积的计算，运用二次根式的混合运算法则计算即可求解．
【详解】解：用铁丝围一个长为、宽为的矩形框，
∴，
故选：C ．
8．D
【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可．
【详解】解：，，，
∵，
∴；
故选D．
9．/
【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质和，计算即可得到结果．
【详解】解：
，
，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据题意求出的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质将化为，再根据二次根式的定义求出的范围，即可求解．
【详解】解：，
，即，
整数的最小值为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查定义新运算，二次根式的乘法运算，根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：
13．
【分析】此题考查了数字的变化规律，从被开方数考虑求解是解题的关键，难点在于二次根式的变形．
【详解】解：根据题意可知所给数列为，
则第 n 项为 ，因此第 10 项为．
故答案为：
14． 2025
【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件；
（1）根据二次根式有意义的条件得到即可，
（2）则当时，可得，再化简可得，进而可得．
【详解】解：（1）有意义，
，
解得：．
故答案为：；
（2）由（1）知．
．
又∵，
，
．
．
．
故答案为：2025．
15．(1)
(2)
【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2）原式各项化简后，再去括号，最后合并即可得到结果；
（4）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，合并即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解．
【详解】解：
，
当时，原式．
17．(1)
(2)不是关于1的“平衡数”
【分析】本题考查了定义新运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键．
（1）设与是关于2的“平衡数”，根据新定义列出关于的方程，即可求解；
（2）由，利用分母有理化得出的值，再计算与的和，根据新定义即可得出结论．
【详解】（1）解：设与是关于2的“平衡数”，
由题意得，，
解得：，
与是关于2的“平衡数”．
故答案为：．
（2）解：，
，
又，
与不是关于1的“平衡数”．
18．(1)；
(2)2
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，进而合并同类项得出答案；
（2）直接假设“■”是a，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
【详解】（1）
．
（2）设“■”处的数字为a，
则原式
解得：．
故原题中“■”是2．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题即可求解；
（2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算；
（3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
而，则
∴
（3）解：
．
20．(1)从抛出到落地所需时间是
(2)所抛物体下落的高度是
【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的应用是解题的关键；
（1）由题意可把代入公式进行求解即可；
（2）把代入公式进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入公式得：；
答：从抛出到落地所需时间是；
（2）解：把代入公式得：，
解得：；
答：所抛物体下落的高度是．
21．(1)矩形空地的周长为
(2)购买地砖需要花费780元
【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解；
（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以20即可求解．
【详解】（1）解：．
答：矩形空地的周长为；
（2）解：
．
（元）．
答：购买地砖需要花费780元．
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．二次根式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．若则（ ）
A． B． C． D．
4．下列二次根式中，与的乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
6．若最简二次根式与可以合并，则a的值为（ ）
A．0 B． C． D．
7．数学活动课上，要用铁丝围一个长为、宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．比较大小：，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．已知，则 ．
11．若二次根式是整数，则整数的最小值为 ．
12．对于正整数a、b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为 ．
13．下面是按一定规律排列的一列数： ，，， 第10个数是 ．
14．已知实数a满足．
（1）a的取值范围为 ；
（2）的值为 ．
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
16．先化简，再代入求值：，其中．
17．已知都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”，例：，，，则称2与是关于1的“平衡数”．
(1)与___________是关于2的“平衡数”；
(2)若，判断与是不是关于1的“平衡数”．
18．小徽准备完成题目“计算：（”时，发现“■”处的数印刷不清楚．
(1)他把“■”处的数猜成6，请你计算的结果；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是0．”通过计算说明原题中“■”表示的数．
19．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简．
例如：化简：．
解：，
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：．
(2)化简：．
(3)计算：．
20．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
(1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？
(2)从高空抛出的物体，经过落地，所抛物体下落的高度是多少？
21．如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．
(1)求矩形空地的周长；
(2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
《第16章二次根式检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C A C D
1．D
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A．的根指数是3，故不是二次根式；
B．的根指数是3，故不是二次根式；
C．的被开方数是负数，故不是二次根式；
D．是二次根式．
故选D．
2．C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．分别将各选项与相乘，进而化简求出答案．
【详解】解：A、，是有理数，故此选项正确；
B、，是无理数，故此选项错误；
C、，是无理数，故此选项错误；
D、，是无理数，故次选项错误；
故选：A．
5．C
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，
，，
；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式称为同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得到被开方数相等，列出方程求解即可．
【详解】解：二次根式与可以合并，
且，
故选：．
7．C
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的加减混合运算，掌握其运算法则是关键．
根据图形面积的计算，运用二次根式的混合运算法则计算即可求解．
【详解】解：用铁丝围一个长为、宽为的矩形框，
∴，
故选：C ．
8．D
【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可．
【详解】解：，，，
∵，
∴；
故选D．
9．/
【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质和，计算即可得到结果．
【详解】解：
，
，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据题意求出的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质将化为，再根据二次根式的定义求出的范围，即可求解．
【详解】解：，
，即，
整数的最小值为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查定义新运算，二次根式的乘法运算，根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：
13．
【分析】此题考查了数字的变化规律，从被开方数考虑求解是解题的关键，难点在于二次根式的变形．
【详解】解：根据题意可知所给数列为，
则第 n 项为 ，因此第 10 项为．
故答案为：
14． 2025
【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件；
（1）根据二次根式有意义的条件得到即可，
（2）则当时，可得，再化简可得，进而可得．
【详解】解：（1）有意义，
，
解得：．
故答案为：；
（2）由（1）知．
．
又∵，
，
．
．
．
故答案为：2025．
15．(1)
(2)
【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2）原式各项化简后，再去括号，最后合并即可得到结果；
（4）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，合并即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解．
【详解】解：
，
当时，原式．
17．(1)
(2)不是关于1的“平衡数”
【分析】本题考查了定义新运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键．
（1）设与是关于2的“平衡数”，根据新定义列出关于的方程，即可求解；
（2）由，利用分母有理化得出的值，再计算与的和，根据新定义即可得出结论．
【详解】（1）解：设与是关于2的“平衡数”，
由题意得，，
解得：，
与是关于2的“平衡数”．
故答案为：．
（2）解：，
，
又，
与不是关于1的“平衡数”．
18．(1)；
(2)2
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，进而合并同类项得出答案；
（2）直接假设“■”是a，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
【详解】（1）
．
（2）设“■”处的数字为a，
则原式
解得：．
故原题中“■”是2．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题即可求解；
（2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算；
（3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
而，则
∴
（3）解：
．
20．(1)从抛出到落地所需时间是
(2)所抛物体下落的高度是
【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的应用是解题的关键；
（1）由题意可把代入公式进行求解即可；
（2）把代入公式进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入公式得：；
答：从抛出到落地所需时间是；
（2）解：把代入公式得：，
解得：；
答：所抛物体下落的高度是．
21．(1)矩形空地的周长为
(2)购买地砖需要花费780元
【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解；
（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以20即可求解．
【详解】（1）解：．
答：矩形空地的周长为；
（2）解：
．
（元）．
答：购买地砖需要花费780元．
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