【培优练】人教版数学八年级下学期 18.1平行四边形
一、选择题
1．（2024八下·临湘期末）下列关于“平行四边形”的说法：
平行四边形的对角线互相垂直平分；
平行四边形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．
其中说法正确的个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：① 平行四边形的对角线互相平分，所以①不正确；② 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形， 所以②不正确；③ 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以③正确；④ 一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．所以④不正确。综上，只有1个正确说法。
故答案为：A。
【分析】根据平行四边形的性质和判定，分别进行识别，即可得出答案。
2． 如图， 两张对边平行的纸条交叉叠放在一起， 重合部分构成一个四边形 ， 在其中一张纸条的转动过程中， 下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形 周长不变 B．
C．四边形 面积不变 D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：在其中一张纸条的转动过程中，总有AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD.
转动过程中平行四边形的边长会发生改变，故选项A不一定成立，不符合题意；
转动过程中可能有AD=CD，但不是总成立，故选项B不一定成立，不符合题意；
当以AB为底，AB，CD之间的距离作为高时，转动过程，AB的长会发生改变，故面积会发生改变，选项C不一定成立，不符合题意
故答案为：D.
【分析】判断四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质旋转产生的变化判断各选项即可.
3．（2024八下·泉州月考）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：根据作法可以发现，，
则两组对边分别相等，那么，四边形为平行四边形，
故答案为：B．
【分析】根据尺规作图方法“ 以点B为圆心，长为半径画弧 ”可得，“ 以点D为圆心，长为半径画弧”，可得CD=AB，则判定四边形为平行四边形的依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.
4．（2024八下·琼海期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
5．（2024八下·天河期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若以A，O，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，第四个顶点不可能在第三象限，
故选：C．
【分析】根据题意画出草图，可得符合条件的第四个顶点有三种可能，不可能在第三象限．
6．（2024八下·长沙期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则 ABCD的周长是（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠EAF＝45°，
∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝135°，
∴∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝45°，
则AE＝BE，AF＝DF，
设AE＝x，则AF＝3﹣x，
在Rt△ABE中，
根据勾股定理可得，AB＝x
同理可得AD＝（3﹣x）
则平行四边形ABCD的周长是2（AB+AD）＝2[x+（3﹣x）]＝6，
故答案为：D．
【分析】根据角之间的数量关系得到：AE＝BE，AF＝DF，设AE＝x，则AF＝3﹣x，然后利用勾股定理计算即可求解.
7．（2024八下·杭州期中）已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为，，是平行四边形边上的两点，且将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段的长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在平行四边形中，，
根据题意得：当和边垂直时，最小，过点A作于点N，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
当与对角线重合时，最大，过点D作交于点F，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，线段的长度取值范围为．
故答案为：C
【分析】由于平行四边形是中心对称图形，则过对称中心的任一条直线平分其面积，显然当线段MN垂直AD时最小，与BD重合时最大．
8．（2024八下·乐平期末）如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设与交于点O，作于．
在中，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当P与重合时，的值最小，则的值最小，
∴的最小值．
故答案为：A．
【分析】先根据已知条件判断出 是等腰直角三角形，再根据平行四边形的性质和垂线段最短的性质确定出的最小值，最后由勾股定理计算得出结果.
9．（2024八下·杭州期末）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中位线，，，
∴AD=BD=AB=3，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，AD=BD=AB，由平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得，然后由线段的构成EF=DE-DF即可求解．
10．（2024八下·华容期末）如图， 的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接下列结论：；；；，成立的个数有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：在 中，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，OA=OC，
∵平分，
∴∠BAE=∠EAD=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴AE=BE=BC，
∴AE=CE=BE，故①正确；
∴∠EAC=∠ECA=30°，，故③错误；
∴∠BAC=90°，
∴，故②错误；
∵OA=OC，AE=EC，
∴OE⊥AC，故④正确；
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，OA=OC，利用角平分线的定义可推出△ABE为等边三角形，继而推出AE=BE=BC，即AE=CE=BE，可得，∠EAC=∠ECA=30°，据此判断①③；从而得出∠BAC=90°，可得，据判断②；根据等腰三角形三线合一的性质可推出OE⊥AC，据此判断④.
二、填空题
11．（2024八下·金山月考）如图，已知平行四边形的周长为，对角线相交于点，如果交边于点，那么的周长为 ．
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
12．（2024八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴.
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴
故答案为：20°．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，可得PE＝PF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠EFP．
13．（2024八下·番禺期末）如图， 在 中， . 若 是 的中位线， 延长 交 的外角平分线于点 ， 则线段 的长为
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，，，
∴∠CFE=∠MCF，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠FCE=∠MCF，
∴∠CFE=∠FCE，
∴FE=CE=2.5，
∴DF=ED+FE=1.5+2.5=4，
故答案为：4
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而根据三角形中位线定理得到，，，从而根据平行线的性质得到∠CFE=∠MCF，再根据角平分线的定义得到∠FCE=∠MCF，等量代换得到∠CFE=∠FCE，根据等腰三角形的判定（等角对等边）即可得到FE=CE=2.5，从而即可求解。
14．（2024八下·长春期末）如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为的中点，则长度的最大值为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点H，连接，
∴∠ADH=90°，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是中位线，
∴，
∴要求EF长度的最大值，只需求DN长度的最大值，
∵N为AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN取得最大值，此时EF最大，
∴EF的最大值为，
又∵∠ADH=90°，∠A=60°，
∴∠ADH=30°，
∵AD=2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长度的最大值为．
故答案为：.
【分析】过点D作于点H，连接，根据三角形中位线定理，可得，从而可知要求EF长度的最大值，只需求DN长度的最大值，进而得当点N与点B重合时，DN取得最大值，此时EF最大值为，接下来求出∠ADH=30°，由含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出DH，从而由勾股定理得BD的值，最后即可求出EF的最大值.
15．（2024八下·梁平期末）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点E、F同时出发，设运动时间为，当 s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
【答案】2或6
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，当点F在C的左侧时，
根据题意得：
AE=tcm，BF=2tcm，
∴CF=BC-BF=(6-2t)cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=6-2t，
解得：t=2；
②如图，当点F在C的右侧时，
根据题意得：
AE=tcm，BF=2tcm，
∴CF=BC-BF=(2t-6)cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-6，
解得：t=6；
综上所述：当t=2或6时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形.
故答案为：2或6.
【分析】分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，由AG∥BC，得AE=CF时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，用t表示出AE和CF，从而可得方程，解方程即可求得答案.
16．（2024八下·江岸期末）如图，点O为等边边的中点.以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则 。
【答案】9
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 延长CD至M，使DM=CD，连接BM，CF，并延长CF交BM于N，连接AN，在BE上截取BH=BN，连接CH，
∵CD=DM，∠BDC=∠BDM=90°，BD=BD，
∴△BDM≌△BDC（SAS），
∴∠CBD=∠MBD，
∵CD=DM，O为BC中点，
∴OD∥BM，
∴F为CN中点，
∴BN=2OF=4，CF=FN，
∵AF=EF，∠AFN=∠CFE，
∴△AFN≌△EFC（SAS），
∴AN=CE=5，∠FAN=∠CEF，
∴AN∥CE，
∴∠NAC+∠ACE=180°，
∴∠BAC-∠BAN+∠ACB+∠BCH+∠HCE=180°，
∵∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BCH+∠HCE-∠BAN=60°，
∵∠ABD=∠DBE，∠MBD=∠CBD，
∴∠ABD-∠MBD=∠DBE-∠CBD，
即∠CBE=∠ABM，
∵AB=BC，BH=BN，
∴△ABN≌△CBH（SAS），
∴AN=CH，∠BAN=∠BCH，
∵CE=AN，
∴CH=CE，
∵∠BCH+∠HCE-∠BAN=60°，
∴∠HCE=60°，
∴△HCE为等边三角形，
∴EH=EC=5，
∴BE=BH+EH=9．
故答案为：9．
【分析】 延长CD至M，使DM=CD，连接BM，CF，并延长CF交BM于N，连接AN，在BE上截取BH=BN，连接CH，证明△AFN≌△EFC（SAS），△ABN≌△CBH（SAS），即可求解。
三、解答题
17．（2024八下·深圳期中）如图，在 ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E.
（1）求证：AB=AE；
（2）若BC=2AE，∠E=34°，求∠DAB的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，BC=AD，
∴∠E=∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFE和△DFC中，
∴△AFE≌△DFC(AAS)，
∴CD=AE，
∴AB=AE；
（2）解：由(1)可得AF=DF，BC=AD，
∴BC=2AF
∵BC=2AE，
∴AE=AF，
∵∠E=34°，
∴∠AFE=∠E=34°
∴∠DAB=2∠E=68°.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AB=CD，AB//CD，由二直线平行，内错角相等，得∠E=∠DCF，从而用AAS可判断出△AFE≌△DFC，由全等三角形的对应边相等得CD=AE，根据等量代换即可得出AB=AE；
（2）由中点定理及平行四边形的对边相等得BC=2AF，结合BC=2AE，可得AE=AF，由等边对等角得∠AFE=∠E=34°，最后根据三角形外角性质即可求出∠DAB的度数.
18．（2024八下·深圳期中）如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别为AB，AC的中点
，，
∵点G、F分别为BH，CH的中点，
，
，
∴四边形DEFG为平行四边形
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可得：，，，，等量代换得，，再由平行四边形的判定：一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形，可知：四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质：对边相等可知：，再由勾股定理在Rt△BDG中 ，求出的长，最后结合中点的定义可知：，即可得到答案．
19．（2024八下·宝安期末）已知 ．
（1）如图1，请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段的中点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E为边上一点且．，连接，取的中点F，连接、、，求证：四边形为平行四边形．
【答案】（1）解：点D即为所作；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵D，E是，的中点，
∴，，
∴DF=BE，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）作出AC的垂直平分线，交点就是所求作的点；
（2）通过证明四边形BEDF有一组对边平行且相等，来证明四边形BEDF是平行四边形．
（1）解：点D即为所作；
（2）证明：∵，
∴，，
又∵D，E是，的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
20．（2024八下·杭州期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若，，当时，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
（2）解：，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分得到，由垂直得到，利用AAS得到，即可得到结论；
（2）利用勾股定理求出的长再利用平行四边形的性质解题即可；
（3）先根据勾股定理求出长，再利用平行四边形的面积公式解答即可．
21．（2024八下·南明月考）在 ABCD中，∠C=45°，AD=BD，点P为边CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BD于点E．
（1）如图①，当点P是边CD的中点时，求证：∠APD=∠EPB；
（2）如图②，当点P是边CD上任意点时，
①求证：PA=PE；
②探究线段DE，DA和DP之间的数量关系．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
点是边的中点，
，
，
，
，
；
（2）①证明：作交于，令、交于点，
，
由（1）得：△BDC是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②解：作交于，令、交于点，
，
由①可得，是等腰直角三角形，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，利用等量代换可证明△BDC是等腰直角三角形，进而可证明，从而得到，再根据垂直结合题意等量代换即可求解；
（2）①作交于，令、交于点，由（1）得：△BDC是等腰直角三角形，证明△DPF是等腰直角三角形，可得，从而结合题意等量代换得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到；
②作交于，令、交于点，由①可得，是等腰直角三角形，进而根据勾股定理结合题意得到，，从而即可求解。
22．（2024八下·柯桥期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若，连接OE；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB AC＝4×4＝16；……(4分)
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，再由角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAD＝60°，根据等边三角形的判定即可得出结论；
（2） ① 根据已知条件求得AE＝CE，再利用等边三角形的性质求得∠BAC＝90°，最后根据平行四边ABCD的面积＝2S△ABC，利用三角形的面积公式代入数据计算即可求解；
② 由平行四边形的性质得到S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，再由等边三角形的性质得到BE＝AB＝mBC，设BC边上的高为h，BC的长为b，利用三角形的面积公式求得并结合＝k， 得到2﹣m＝k，从而求解.
1 / 1【培优练】人教版数学八年级下学期 18.1平行四边形
一、选择题
1．（2024八下·临湘期末）下列关于“平行四边形”的说法：
平行四边形的对角线互相垂直平分；
平行四边形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．
其中说法正确的个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
2． 如图， 两张对边平行的纸条交叉叠放在一起， 重合部分构成一个四边形 ， 在其中一张纸条的转动过程中， 下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形 周长不变 B．
C．四边形 面积不变 D．
3．（2024八下·泉州月考）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
4．（2024八下·琼海期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
5．（2024八下·天河期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若以A，O，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024八下·长沙期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则 ABCD的周长是（ ）
A．12 B． C． D．
7．（2024八下·杭州期中）已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为，，是平行四边形边上的两点，且将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段的长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·乐平期末）如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为( )
A． B． C． D．
9．（2024八下·杭州期末）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024八下·华容期末）如图， 的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接下列结论：；；；，成立的个数有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．（2024八下·金山月考）如图，已知平行四边形的周长为，对角线相交于点，如果交边于点，那么的周长为 ．
12．（2024八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
13．（2024八下·番禺期末）如图， 在 中， . 若 是 的中位线， 延长 交 的外角平分线于点 ， 则线段 的长为
14．（2024八下·长春期末）如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为的中点，则长度的最大值为 ．
15．（2024八下·梁平期末）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点E、F同时出发，设运动时间为，当 s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
16．（2024八下·江岸期末）如图，点O为等边边的中点.以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则 。
三、解答题
17．（2024八下·深圳期中）如图，在 ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E.
（1）求证：AB=AE；
（2）若BC=2AE，∠E=34°，求∠DAB的度数.
18．（2024八下·深圳期中）如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
19．（2024八下·宝安期末）已知 ．
（1）如图1，请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段的中点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E为边上一点且．，连接，取的中点F，连接、、，求证：四边形为平行四边形．
20．（2024八下·杭州期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若，，当时，求的面积．
21．（2024八下·南明月考）在 ABCD中，∠C=45°，AD=BD，点P为边CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BD于点E．
（1）如图①，当点P是边CD的中点时，求证：∠APD=∠EPB；
（2）如图②，当点P是边CD上任意点时，
①求证：PA=PE；
②探究线段DE，DA和DP之间的数量关系．
22．（2024八下·柯桥期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若，连接OE；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：① 平行四边形的对角线互相平分，所以①不正确；② 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形， 所以②不正确；③ 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以③正确；④ 一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．所以④不正确。综上，只有1个正确说法。
故答案为：A。
【分析】根据平行四边形的性质和判定，分别进行识别，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：在其中一张纸条的转动过程中，总有AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD.
转动过程中平行四边形的边长会发生改变，故选项A不一定成立，不符合题意；
转动过程中可能有AD=CD，但不是总成立，故选项B不一定成立，不符合题意；
当以AB为底，AB，CD之间的距离作为高时，转动过程，AB的长会发生改变，故面积会发生改变，选项C不一定成立，不符合题意
故答案为：D.
【分析】判断四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质旋转产生的变化判断各选项即可.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：根据作法可以发现，，
则两组对边分别相等，那么，四边形为平行四边形，
故答案为：B．
【分析】根据尺规作图方法“ 以点B为圆心，长为半径画弧 ”可得，“ 以点D为圆心，长为半径画弧”，可得CD=AB，则判定四边形为平行四边形的依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，第四个顶点不可能在第三象限，
故选：C．
【分析】根据题意画出草图，可得符合条件的第四个顶点有三种可能，不可能在第三象限．
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠EAF＝45°，
∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝135°，
∴∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝45°，
则AE＝BE，AF＝DF，
设AE＝x，则AF＝3﹣x，
在Rt△ABE中，
根据勾股定理可得，AB＝x
同理可得AD＝（3﹣x）
则平行四边形ABCD的周长是2（AB+AD）＝2[x+（3﹣x）]＝6，
故答案为：D．
【分析】根据角之间的数量关系得到：AE＝BE，AF＝DF，设AE＝x，则AF＝3﹣x，然后利用勾股定理计算即可求解.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在平行四边形中，，
根据题意得：当和边垂直时，最小，过点A作于点N，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
当与对角线重合时，最大，过点D作交于点F，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，线段的长度取值范围为．
故答案为：C
【分析】由于平行四边形是中心对称图形，则过对称中心的任一条直线平分其面积，显然当线段MN垂直AD时最小，与BD重合时最大．
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设与交于点O，作于．
在中，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当P与重合时，的值最小，则的值最小，
∴的最小值．
故答案为：A．
【分析】先根据已知条件判断出 是等腰直角三角形，再根据平行四边形的性质和垂线段最短的性质确定出的最小值，最后由勾股定理计算得出结果.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中位线，，，
∴AD=BD=AB=3，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，AD=BD=AB，由平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得，然后由线段的构成EF=DE-DF即可求解．
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：在 中，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，OA=OC，
∵平分，
∴∠BAE=∠EAD=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴AE=BE=BC，
∴AE=CE=BE，故①正确；
∴∠EAC=∠ECA=30°，，故③错误；
∴∠BAC=90°，
∴，故②错误；
∵OA=OC，AE=EC，
∴OE⊥AC，故④正确；
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，OA=OC，利用角平分线的定义可推出△ABE为等边三角形，继而推出AE=BE=BC，即AE=CE=BE，可得，∠EAC=∠ECA=30°，据此判断①③；从而得出∠BAC=90°，可得，据判断②；根据等腰三角形三线合一的性质可推出OE⊥AC，据此判断④.
11．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
12．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴.
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴
故答案为：20°．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，可得PE＝PF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠EFP．
13．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，，，
∴∠CFE=∠MCF，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠FCE=∠MCF，
∴∠CFE=∠FCE，
∴FE=CE=2.5，
∴DF=ED+FE=1.5+2.5=4，
故答案为：4
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而根据三角形中位线定理得到，，，从而根据平行线的性质得到∠CFE=∠MCF，再根据角平分线的定义得到∠FCE=∠MCF，等量代换得到∠CFE=∠FCE，根据等腰三角形的判定（等角对等边）即可得到FE=CE=2.5，从而即可求解。
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点H，连接，
∴∠ADH=90°，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是中位线，
∴，
∴要求EF长度的最大值，只需求DN长度的最大值，
∵N为AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN取得最大值，此时EF最大，
∴EF的最大值为，
又∵∠ADH=90°，∠A=60°，
∴∠ADH=30°，
∵AD=2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长度的最大值为．
故答案为：.
【分析】过点D作于点H，连接，根据三角形中位线定理，可得，从而可知要求EF长度的最大值，只需求DN长度的最大值，进而得当点N与点B重合时，DN取得最大值，此时EF最大值为，接下来求出∠ADH=30°，由含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出DH，从而由勾股定理得BD的值，最后即可求出EF的最大值.
15．【答案】2或6
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，当点F在C的左侧时，
根据题意得：
AE=tcm，BF=2tcm，
∴CF=BC-BF=(6-2t)cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=6-2t，
解得：t=2；
②如图，当点F在C的右侧时，
根据题意得：
AE=tcm，BF=2tcm，
∴CF=BC-BF=(2t-6)cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-6，
解得：t=6；
综上所述：当t=2或6时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形.
故答案为：2或6.
【分析】分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，由AG∥BC，得AE=CF时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，用t表示出AE和CF，从而可得方程，解方程即可求得答案.
16．【答案】9
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 延长CD至M，使DM=CD，连接BM，CF，并延长CF交BM于N，连接AN，在BE上截取BH=BN，连接CH，
∵CD=DM，∠BDC=∠BDM=90°，BD=BD，
∴△BDM≌△BDC（SAS），
∴∠CBD=∠MBD，
∵CD=DM，O为BC中点，
∴OD∥BM，
∴F为CN中点，
∴BN=2OF=4，CF=FN，
∵AF=EF，∠AFN=∠CFE，
∴△AFN≌△EFC（SAS），
∴AN=CE=5，∠FAN=∠CEF，
∴AN∥CE，
∴∠NAC+∠ACE=180°，
∴∠BAC-∠BAN+∠ACB+∠BCH+∠HCE=180°，
∵∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BCH+∠HCE-∠BAN=60°，
∵∠ABD=∠DBE，∠MBD=∠CBD，
∴∠ABD-∠MBD=∠DBE-∠CBD，
即∠CBE=∠ABM，
∵AB=BC，BH=BN，
∴△ABN≌△CBH（SAS），
∴AN=CH，∠BAN=∠BCH，
∵CE=AN，
∴CH=CE，
∵∠BCH+∠HCE-∠BAN=60°，
∴∠HCE=60°，
∴△HCE为等边三角形，
∴EH=EC=5，
∴BE=BH+EH=9．
故答案为：9．
【分析】 延长CD至M，使DM=CD，连接BM，CF，并延长CF交BM于N，连接AN，在BE上截取BH=BN，连接CH，证明△AFN≌△EFC（SAS），△ABN≌△CBH（SAS），即可求解。
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，BC=AD，
∴∠E=∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFE和△DFC中，
∴△AFE≌△DFC(AAS)，
∴CD=AE，
∴AB=AE；
（2）解：由(1)可得AF=DF，BC=AD，
∴BC=2AF
∵BC=2AE，
∴AE=AF，
∵∠E=34°，
∴∠AFE=∠E=34°
∴∠DAB=2∠E=68°.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AB=CD，AB//CD，由二直线平行，内错角相等，得∠E=∠DCF，从而用AAS可判断出△AFE≌△DFC，由全等三角形的对应边相等得CD=AE，根据等量代换即可得出AB=AE；
（2）由中点定理及平行四边形的对边相等得BC=2AF，结合BC=2AE，可得AE=AF，由等边对等角得∠AFE=∠E=34°，最后根据三角形外角性质即可求出∠DAB的度数.
18．【答案】（1）证明：∵点D、E分别为AB，AC的中点
，，
∵点G、F分别为BH，CH的中点，
，
，
∴四边形DEFG为平行四边形
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可得：，，，，等量代换得，，再由平行四边形的判定：一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形，可知：四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质：对边相等可知：，再由勾股定理在Rt△BDG中 ，求出的长，最后结合中点的定义可知：，即可得到答案．
19．【答案】（1）解：点D即为所作；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵D，E是，的中点，
∴，，
∴DF=BE，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）作出AC的垂直平分线，交点就是所求作的点；
（2）通过证明四边形BEDF有一组对边平行且相等，来证明四边形BEDF是平行四边形．
（1）解：点D即为所作；
（2）证明：∵，
∴，，
又∵D，E是，的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
（2）解：，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分得到，由垂直得到，利用AAS得到，即可得到结论；
（2）利用勾股定理求出的长再利用平行四边形的性质解题即可；
（3）先根据勾股定理求出长，再利用平行四边形的面积公式解答即可．
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
点是边的中点，
，
，
，
，
；
（2）①证明：作交于，令、交于点，
，
由（1）得：△BDC是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②解：作交于，令、交于点，
，
由①可得，是等腰直角三角形，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，利用等量代换可证明△BDC是等腰直角三角形，进而可证明，从而得到，再根据垂直结合题意等量代换即可求解；
（2）①作交于，令、交于点，由（1）得：△BDC是等腰直角三角形，证明△DPF是等腰直角三角形，可得，从而结合题意等量代换得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到；
②作交于，令、交于点，由①可得，是等腰直角三角形，进而根据勾股定理结合题意得到，，从而即可求解。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB AC＝4×4＝16；……(4分)
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，再由角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAD＝60°，根据等边三角形的判定即可得出结论；
（2） ① 根据已知条件求得AE＝CE，再利用等边三角形的性质求得∠BAC＝90°，最后根据平行四边ABCD的面积＝2S△ABC，利用三角形的面积公式代入数据计算即可求解；
② 由平行四边形的性质得到S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，再由等边三角形的性质得到BE＝AB＝mBC，设BC边上的高为h，BC的长为b，利用三角形的面积公式求得并结合＝k， 得到2﹣m＝k，从而求解.
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