【基础练】人教版数学八年级下学期 18.2.1 矩形
一、选择题
1．如图， 在矩形 中， 对角线 相交于点 ， 下列说法中， 错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA=OB，
∴A、B、C正确，
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质逐个判断即可得出答案.
2．（2024八下·苍梧期末）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：添加∠A=∠B，
∵ 四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴ 四边形 是矩形.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质首先得出，再根据∠A=∠B，得出∠A=∠B=90°，进而即可得出四边形 是矩形.
3．（2024八下·汕头期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴OA=OB，
∴∠BAC=∠DBA=35°，
∴∠BOC=∠BAC+∠DBA=70°.
故答案为：B.
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得OA=OB，由等边对等角得∠BAC=∠DBA=35°，进而根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可算出∠BOC的度数.
4．在数学活动课上， 老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形． 下面是某合作学习小组的 4 名同学拟定的方法： ①测量对角线是否互相平分， ②测量两组对边是否分别相等， ③测量一组对角是否都为直角， ④测量其中三个角是否都为直角． 其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：①对角线是否互相平分，能判定平行四边形，但不能判定矩形，故选项A不符合题意；
②两组对边是否分别相等，能判定平行四边形但不能判定矩形，故选项B不符合题意；
③测量一组对角是否都为直角，不能判定四边形为矩形；
④其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故答案为：.
【分析】矩形的判定方法：对角线互相平分的平行四边形是矩形，据此可判断选项①；四个角都是直角的四边形是矩形，据此可判断③④；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，据此可判断选项②.
5．（2024八下·香洲期中）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝OB＝5，则AC＝（ ）
A．10 B．5 C．5 D．8
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=OB=5，
∴BD=2OB=2×5=10，
∴AC=BD=10，
故答案为：A
【分析】首先根据OB的长求得BD的长，然后根据矩形的对角线相等求得AC的长即可．
6．（2023八下·丛台月考）如图，矩形的边在数轴上，点A表示数0，点表示数4，．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：C．
【分析】根据矩形性质可得，再根据勾股定理可得AC，再根据两点间距离即可求出答案.
7．（2024八下·邯郸冀南新期末）在中，，利用尺规作矩形．甲、乙两位同学的作法如图所示，关于两人的作法判断正确的是（ ）
甲：作的垂直平分线交于点O；连接，在射线上截取（A，C不重合），连接，，四边形即为所求． 乙：以B为圆心，长为半径画圆弧；以D为圆心，长为半径画圆弧；两弧在上方交于点C，连接，，四边形即为所求．
A．只有甲的可以 B．只有乙的可以
C．甲、乙的都可以 D．甲、乙的都不可以
【答案】C
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由甲的作法可知：，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠DAB=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故甲的作法正确；
由乙的做法可知：，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵，
∴四边形ABCD是矩形，故乙的作法正确.
故答案为：C.
【分析】甲的作法可得OB=OD，OA=OC，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，进而根据有一个为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形；由乙的作法知：BC=AD，DC=AB，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，进而根据有一个为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形.
8．（2024八下·花溪月考）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则AB的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接CE，如图：
∵ 点E是AD的中点，且AE＝1，
∴AD=2AE=2，DE=AE=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=2，AB=CD，
∵MN垂直平分BE，
∴EC=BC=2，
在Rt△CDE中：
CD=，
∴AB=CD=
故答案为：C
【分析】首先根据中点的定义得出AD=2AE=2，DE=AE=1，再根据矩形的性质得出BC=AD=2，AB=CD，然后根据垂直平分线的性质得出EC的长度，再根据勾股定理求得CD的长度，即可得出AB的长。
9．（2024八下·乳源期中）如图，把矩形沿着折叠，使得点B落在D上，A的对应点为，若，，则为（ ）
A．4 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
根据折叠的性质得，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用折叠的性质可得，，，设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，从而可得DE的长.
10．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）.
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减少
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图下图所示，连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大；故选C．
【分析】连接CP，先判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．
二、填空题
11．如图， 在矩形 中， 是 边上的一点， 且 ， 则 度．
【答案】25
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∵∠ABE＝40°，
∴∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝∠AEB＝50°，
∵BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE＝（180°-50°）＝65°，
∴∠ECD＝∠BCD-∠ECB＝90°-65°＝25°．
故答案为：25．
【分析】先根据矩形的性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD∥BC，再利用已知条件和平行线的性质求出∠EBC＝∠AEB，再根据等腰三角形的判定和性质即可得出答案．
12．（2024八下·德清期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到，使，连结EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是 .(只要写出一个条件即可)
【答案】或或等
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴BC=DE，
∴四边形BCED是平行四边形，
①若添加CD=BE，
∴平行四边形BCED是矩形；
②若添加∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED是矩形；
③若添加CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴平行四边形BCED是矩形；
∴要使四边形DBCE成为矩形，可添加的一个条件可以是CD=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE.
故答案为：CD=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE.
【分析】由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BCED是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加CD=BE；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可添加∠ADB=90°；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可添加CE⊥DE（答案不唯一）.
13．（2024八下·云梦期末）如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接EC，
因为ABCD为矩形，故CD=AB=4，由勾股定理得EC=
O为AC的中点，且EO⊥AC，故EA=EC=5，S△AEC=，S△AOE=S△AEC=5
答案：5.
【分析】连接EC由勾股定理得EC的长，由中点+垂直可得等腰△AEC得AE的长，即可得△AEC的面积即可得△AOE的面积.
14．（2024八下·紫金期中）如图，四边形的对角线，顺次连接其各边中点得到四边，若，，那么四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P、Q是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用中点四边形的性质证出四边形是矩形，再利用矩形的面积公式列出算式求解即可.
15．（2024九上·黑山期中）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
三、解答题
16．（2024八下·惠城期中）如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
（2）解：如图所示，
∵，
∴．
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合BC=DE，即可证出四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理可得，再结合，利用勾股定理求出即可．
17．（2024八下·中山期中）如图，等腰中，，，E点是的中点，分别过D，E作，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴点D是的中点．
∵E点是的中点，
∴是的中位线．
∴
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形.
（2）解：∵交于D点，E点是的中点，
∴，
由（1）知，四边形为矩形．
在直角中，，
由勾股定理得：．
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形为矩形；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用勾股定理求出，最后利用线段的和差求出即可．
18．（2024八下·河池期中） 如图，四边形中，对角线相交于点，，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？
【答案】（1）证明：
四边形是平行四边形
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）得：，四边形是矩形，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，即可证明平行四边形是矩形；
（2）根据题意得到，根据三角形内角和得到，即可知，得到，进而即可得到答案.
19．（2024八下·宣化期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，，．
（1）求证：；
（2）若，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，∴OA=OC，
又∵AE=CF，∴OE=OF，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）解：四边形ABCD是矩形，
证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，
又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=2OA=2OC，又∵AC=2OD，∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，
∴四边形ABCD为矩形．
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）通过平行线性质得∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，再运用“角角边”证得两个三角形全等.
（2）本题考查矩形的判定方式；由（1）两个三角形全等得OD=OB，推导得四边形ABCD为平行四边形，在后面的关系中得AC=BD，对角线相等的平行四边形为矩形.
20．（2024八下·惠阳期中）如图，已知等腰，，点D是边的中点，是外角的平分线，过点C作，垂足为E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若矩形的周长是28，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，点D是边的中点，∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵点D是边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的周长是28，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠BAD=∠CAD。同时，由于AE是外角的平分线，可得∠FAE=∠CAE。由于∠BAD+∠CAD+∠FAE+∠CAE=180°，结合前面的等式，可以得出∠CAD+∠CAE=90°，即∠DAE=90°。又因为CE⊥AE，所以∠ADC=∠AEC=∠DAE=90°。因此，四边形ADCE是矩形；
（2）根据矩形ADCE的性质，可得DE=AC=10，AE//BD，AE=CD。因为点D是边BC的中点，所以BD=CD。由于AE=CD，进而可得AE=BD。因此，四边形ABDE是平行四边形。已知矩形ADCE的周长是28，即2(AD+CD)=28。因此，AD+CD=14。然后由勾股定理得，得，即可解决问题．
21．（2024八下·从江期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且AE∥CF，连接AF，CE.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠EAO+∠CFD=180°，求证：四边形AECF是矩形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO.
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）证明：∵∠EAO+∠CFD=180°，
∠CFO+∠CFD=180°，
∴∠EAO=∠CFO.
∵∠EAO=∠FCO，
∴∠FCO=∠CFO，
∴OC=OF，
由(1)可知四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，
∴AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得OA=OC，根据直线平行性质可得∠EAO=∠FCO，再根据全等三角形判定定理可得△AEO≌△CFO(ASA)，则OE=OF，由平行四边形判定定理即可求出答案；
（2）进行角之间的转化可得∠FCO=∠CFO，则OC=OF，再根据平行四边形性质可得OA=OC，OE=OF，则AC=EF，再根据矩形判定定理即可求出答案.
22．（2024八下·会昌期中） 在矩形中，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
解： ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
【答案】（1）四边形是平行四边形
（2）解：如图1，连接，
图1
∵G，H分别是，中点，
∴，，
∴，
∵，
∵在矩形中，，，
∴四边形是矩形，
∴，
①如图1，当四边形是矩形时，
，
∵，
∴，
，
，
；
②如图2，当四边形是矩形时，
图2
同理，
，
；
综上所述，四边形为矩形时，或．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：(1)四边形EGFH为平行四边形，证明如下
∵ABCD为矩形
∴AD=BC，AD||BC
∴∠GAE=∠HCF
∵G、H为AD、BC的中点
∴AG=CH，
∵E、F同时运动
∴AE=CF
∴△AEG≌△CFH
∴EG=HF
同理得EH=GF
∴EGHF为平行四边形
【分析】(1)证明△AEG≌△CFH即可得EGFH为平行四边形；
(2)在(1)的条件下得EF=GH=6，而EF的长度要分点E、F相遇之前和E、F相遇之后进行讨论，即可求出t=2；或8.
1 / 1【基础练】人教版数学八年级下学期 18.2.1 矩形
一、选择题
1．如图， 在矩形 中， 对角线 相交于点 ， 下列说法中， 错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·苍梧期末）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·汕头期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
4．在数学活动课上， 老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形． 下面是某合作学习小组的 4 名同学拟定的方法： ①测量对角线是否互相平分， ②测量两组对边是否分别相等， ③测量一组对角是否都为直角， ④测量其中三个角是否都为直角． 其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2024八下·香洲期中）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝OB＝5，则AC＝（ ）
A．10 B．5 C．5 D．8
6．（2023八下·丛台月考）如图，矩形的边在数轴上，点A表示数0，点表示数4，．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·邯郸冀南新期末）在中，，利用尺规作矩形．甲、乙两位同学的作法如图所示，关于两人的作法判断正确的是（ ）
甲：作的垂直平分线交于点O；连接，在射线上截取（A，C不重合），连接，，四边形即为所求． 乙：以B为圆心，长为半径画圆弧；以D为圆心，长为半径画圆弧；两弧在上方交于点C，连接，，四边形即为所求．
A．只有甲的可以 B．只有乙的可以
C．甲、乙的都可以 D．甲、乙的都不可以
8．（2024八下·花溪月考）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则AB的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（2024八下·乳源期中）如图，把矩形沿着折叠，使得点B落在D上，A的对应点为，若，，则为（ ）
A．4 B． C． D．3
10．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）.
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减少
二、填空题
11．如图， 在矩形 中， 是 边上的一点， 且 ， 则 度．
12．（2024八下·德清期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到，使，连结EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是 .(只要写出一个条件即可)
13．（2024八下·云梦期末）如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ．
14．（2024八下·紫金期中）如图，四边形的对角线，顺次连接其各边中点得到四边，若，，那么四边形的面积为 ．
15．（2024九上·黑山期中）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ．
三、解答题
16．（2024八下·惠城期中）如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
17．（2024八下·中山期中）如图，等腰中，，，E点是的中点，分别过D，E作，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，求的长．
18．（2024八下·河池期中） 如图，四边形中，对角线相交于点，，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？
19．（2024八下·宣化期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，，．
（1）求证：；
（2）若，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
20．（2024八下·惠阳期中）如图，已知等腰，，点D是边的中点，是外角的平分线，过点C作，垂足为E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若矩形的周长是28，，求四边形的面积．
21．（2024八下·从江期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且AE∥CF，连接AF，CE.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠EAO+∠CFD=180°，求证：四边形AECF是矩形.
22．（2024八下·会昌期中） 在矩形中，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
解： ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA=OB，
∴A、B、C正确，
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质逐个判断即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：添加∠A=∠B，
∵ 四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴ 四边形 是矩形.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质首先得出，再根据∠A=∠B，得出∠A=∠B=90°，进而即可得出四边形 是矩形.
3．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴OA=OB，
∴∠BAC=∠DBA=35°，
∴∠BOC=∠BAC+∠DBA=70°.
故答案为：B.
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得OA=OB，由等边对等角得∠BAC=∠DBA=35°，进而根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可算出∠BOC的度数.
4．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：①对角线是否互相平分，能判定平行四边形，但不能判定矩形，故选项A不符合题意；
②两组对边是否分别相等，能判定平行四边形但不能判定矩形，故选项B不符合题意；
③测量一组对角是否都为直角，不能判定四边形为矩形；
④其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故答案为：.
【分析】矩形的判定方法：对角线互相平分的平行四边形是矩形，据此可判断选项①；四个角都是直角的四边形是矩形，据此可判断③④；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，据此可判断选项②.
5．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=OB=5，
∴BD=2OB=2×5=10，
∴AC=BD=10，
故答案为：A
【分析】首先根据OB的长求得BD的长，然后根据矩形的对角线相等求得AC的长即可．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：C．
【分析】根据矩形性质可得，再根据勾股定理可得AC，再根据两点间距离即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由甲的作法可知：，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠DAB=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故甲的作法正确；
由乙的做法可知：，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵，
∴四边形ABCD是矩形，故乙的作法正确.
故答案为：C.
【分析】甲的作法可得OB=OD，OA=OC，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，进而根据有一个为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形；由乙的作法知：BC=AD，DC=AB，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，进而根据有一个为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接CE，如图：
∵ 点E是AD的中点，且AE＝1，
∴AD=2AE=2，DE=AE=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=2，AB=CD，
∵MN垂直平分BE，
∴EC=BC=2，
在Rt△CDE中：
CD=，
∴AB=CD=
故答案为：C
【分析】首先根据中点的定义得出AD=2AE=2，DE=AE=1，再根据矩形的性质得出BC=AD=2，AB=CD，然后根据垂直平分线的性质得出EC的长度，再根据勾股定理求得CD的长度，即可得出AB的长。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
根据折叠的性质得，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用折叠的性质可得，，，设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，从而可得DE的长.
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图下图所示，连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大；故选C．
【分析】连接CP，先判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．
11．【答案】25
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∵∠ABE＝40°，
∴∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝∠AEB＝50°，
∵BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE＝（180°-50°）＝65°，
∴∠ECD＝∠BCD-∠ECB＝90°-65°＝25°．
故答案为：25．
【分析】先根据矩形的性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD∥BC，再利用已知条件和平行线的性质求出∠EBC＝∠AEB，再根据等腰三角形的判定和性质即可得出答案．
12．【答案】或或等
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴BC=DE，
∴四边形BCED是平行四边形，
①若添加CD=BE，
∴平行四边形BCED是矩形；
②若添加∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED是矩形；
③若添加CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴平行四边形BCED是矩形；
∴要使四边形DBCE成为矩形，可添加的一个条件可以是CD=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE.
故答案为：CD=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE.
【分析】由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BCED是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加CD=BE；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可添加∠ADB=90°；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可添加CE⊥DE（答案不唯一）.
13．【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接EC，
因为ABCD为矩形，故CD=AB=4，由勾股定理得EC=
O为AC的中点，且EO⊥AC，故EA=EC=5，S△AEC=，S△AOE=S△AEC=5
答案：5.
【分析】连接EC由勾股定理得EC的长，由中点+垂直可得等腰△AEC得AE的长，即可得△AEC的面积即可得△AOE的面积.
14．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P、Q是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用中点四边形的性质证出四边形是矩形，再利用矩形的面积公式列出算式求解即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
16．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
（2）解：如图所示，
∵，
∴．
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合BC=DE，即可证出四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理可得，再结合，利用勾股定理求出即可．
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴点D是的中点．
∵E点是的中点，
∴是的中位线．
∴
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形.
（2）解：∵交于D点，E点是的中点，
∴，
由（1）知，四边形为矩形．
在直角中，，
由勾股定理得：．
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形为矩形；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用勾股定理求出，最后利用线段的和差求出即可．
18．【答案】（1）证明：
四边形是平行四边形
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）得：，四边形是矩形，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，即可证明平行四边形是矩形；
（2）根据题意得到，根据三角形内角和得到，即可知，得到，进而即可得到答案.
19．【答案】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，∴OA=OC，
又∵AE=CF，∴OE=OF，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）解：四边形ABCD是矩形，
证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，
又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=2OA=2OC，又∵AC=2OD，∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，
∴四边形ABCD为矩形．
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）通过平行线性质得∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，再运用“角角边”证得两个三角形全等.
（2）本题考查矩形的判定方式；由（1）两个三角形全等得OD=OB，推导得四边形ABCD为平行四边形，在后面的关系中得AC=BD，对角线相等的平行四边形为矩形.
20．【答案】（1）证明：∵，点D是边的中点，∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵点D是边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的周长是28，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠BAD=∠CAD。同时，由于AE是外角的平分线，可得∠FAE=∠CAE。由于∠BAD+∠CAD+∠FAE+∠CAE=180°，结合前面的等式，可以得出∠CAD+∠CAE=90°，即∠DAE=90°。又因为CE⊥AE，所以∠ADC=∠AEC=∠DAE=90°。因此，四边形ADCE是矩形；
（2）根据矩形ADCE的性质，可得DE=AC=10，AE//BD，AE=CD。因为点D是边BC的中点，所以BD=CD。由于AE=CD，进而可得AE=BD。因此，四边形ABDE是平行四边形。已知矩形ADCE的周长是28，即2(AD+CD)=28。因此，AD+CD=14。然后由勾股定理得，得，即可解决问题．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO.
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）证明：∵∠EAO+∠CFD=180°，
∠CFO+∠CFD=180°，
∴∠EAO=∠CFO.
∵∠EAO=∠FCO，
∴∠FCO=∠CFO，
∴OC=OF，
由(1)可知四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，
∴AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得OA=OC，根据直线平行性质可得∠EAO=∠FCO，再根据全等三角形判定定理可得△AEO≌△CFO(ASA)，则OE=OF，由平行四边形判定定理即可求出答案；
（2）进行角之间的转化可得∠FCO=∠CFO，则OC=OF，再根据平行四边形性质可得OA=OC，OE=OF，则AC=EF，再根据矩形判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）四边形是平行四边形
（2）解：如图1，连接，
图1
∵G，H分别是，中点，
∴，，
∴，
∵，
∵在矩形中，，，
∴四边形是矩形，
∴，
①如图1，当四边形是矩形时，
，
∵，
∴，
，
，
；
②如图2，当四边形是矩形时，
图2
同理，
，
；
综上所述，四边形为矩形时，或．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：(1)四边形EGFH为平行四边形，证明如下
∵ABCD为矩形
∴AD=BC，AD||BC
∴∠GAE=∠HCF
∵G、H为AD、BC的中点
∴AG=CH，
∵E、F同时运动
∴AE=CF
∴△AEG≌△CFH
∴EG=HF
同理得EH=GF
∴EGHF为平行四边形
【分析】(1)证明△AEG≌△CFH即可得EGFH为平行四边形；
(2)在(1)的条件下得EF=GH=6，而EF的长度要分点E、F相遇之前和E、F相遇之后进行讨论，即可求出t=2；或8.
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