【培优练】人教版数学八年级下学期 18.2.1 矩形
一、选择题
1．（2024八下·环江期中）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（ ）
A．甲量得窗框的一组邻边相等
B．乙量得窗框两组对边分别相等
C．丙量得窗框的对角线长相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
2．（2024八下·忠县期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·新会期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边相等 D．对角相等
4．（2024八下·余杭月考）已知矩形的周长为56，对角线交点到短边的距离比到长边的距离大4，则该矩形的面积为（ ）
A．45 B．90 C．140 D．180
5．（2024八下·来宾期末）如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·贵港期末）如右图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024八下·珠海期末）如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为( )
A． B． C． D．
8．（2024八下·黄埔期末）如图， 对折矩形纸片 ， 使 与 重合， 得到折痕 ， 把纸片展平， 再一次折叠纸片， 使点 落在 上， 并使折痕经过点 ， 得到折痕 ， 同时得到线段 . 若 与 交点为 ， 则
A．1 B．2 C． D．
9．（2024八下·侯马期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（ ）
A．13 B．26 C． D．
10．（2024八下·荆州期末）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024八下·拜城期中） 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为 ．
12．（2024八下·睢宁期末）如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是 ．
13．（2023八下·前郭尔罗斯期末）如图，在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，，，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若，则三角形MCD的面积为 ．
14．（2024八下·北京市期中）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
15．（2023八下·新田期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为 ，的最小值为 ．
三、解答题
16．如图， 在矩形 中， 对角线 相交于点 ， 点 分别在边 上， 且 ， 连结 ． 求证： ．
17．（2024八下·娄星期末）如图，在中，，平分，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若是边长为的等边三角形，，相交于点，在上截取，连接，求四边形的面积．
18．（2024八下·天河期末）如图是以 为对角线的矩形 和矩形 ， 且 平分 .
（1） 连接 ， 求证 ；
（2） 尺规作图：作 的平分线 交 于点 ， 连接 .
①求证 ；
②若 ， 求 和 的长.
19．（2024八下·大石桥期中）如图，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．
20．（2024八下·衢州期末） 如图1，点O为矩形ABCD对角线AC的中点，AB=4，BC=8，点E为BC边上一点，连结EO并延长，交AD于点F．四边形ABEF与四边形A1B1EF关于EF所在直线成轴对称，线段FA1交边BC于点H，连结OH．
（1）求证： 。
（2）若 ， 求 的长。
（3） 如图 2， 连结 ， 若 ， 求 的长。
21．（2024八下·大余期末）【课本再现】
思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
（1）【定理证明】
为了证明该定理，小明同学画出了图形如图并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程：
已知：在 中，对角线，相交于点，且，求证： 是矩形，
（2）【知识应用】
如图在 中对角线和相交于点，．
求证： 是矩形；
若，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A，只是一组邻边相等的四边形不能判断是矩形，故甲的判断不准确；
B，两组对边分别相等可以是平行四边形，菱形，矩形，正方形；故乙的判断不准确；
C，对角线长相等可以是等腰梯形，矩形，正方形；故丙的判断不准确；
D，两组对边分别相等是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，正方形；故丁的判断最有说服力；
故答案为：D
【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴当时，变成“矩形”，
故答案为：A
【分析】根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）结合题意即可求解.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而矩形的对角线互相平分且相等.
故答案为：A.
【分析】对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形.
4．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作，交于，交于，作，交于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理四边形、四边形，四边形都是矩形，
，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
设，则，
∵矩形周长是56，
，
解得：，
∴矩形的各边长是．
则该矩形的面积，
故答案为：D．
【分析】过作交于，交于，作交于，交于，即可得到四边形、四边形、四边形、四边形是矩形，设，则，利用矩形周长列方程求出x值即可解题．
5．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵矩形中，；
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B
【分析】先根据矩形的性质结合题意得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据角平分线的定义得到，再结合题意即可得到，从而即可求出∠BAE得到度数，再根据三角形内角和定理即可求解.
6．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
以AB为对角线的格点矩形有3个，
以AB为边的格点矩形有1个，
∴以A，B为顶点的格点矩形共可以画出4个，
故答案为：D．
【分析】画出以A，B为顶点的格点矩形，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=20，
∵E，F分别是AD，CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴，
∵G，H分别是BE，BF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴.
故答案为：B.
【分析】连接AC、EF，由矩形的对角线相等得出AC的长，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得求出EF的长，同理可求出GH的长.
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵对折至，折痕为，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质得到，由折叠得直线是线段的垂直平分线，进而根据垂直平分线的性质得到，再根据平行线的判定与性质得到，再根据折叠得到，从而根据等腰三角形的判定（等角对等边）即可求解。
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴的面积为．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可得AC=13，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
H为AB中点，连接OH、OD，DH、
∵∠MON=90°，AB=4，
∴OH=AB=×4=2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠BAD=90°，
∵点H是AB的中点，
∴AH=AB=×4=2，
在Rt△DAH中，DH===2，
在△ODH中，根据三角形三边关系可知DH+OH＞OD，
∴当O、H、D三点共线时，OD最大为DH+OH=2+2.
故答案为：A．
【分析】 取AB中点H，连接OH、DH、OD，求出OH和DH值，利用三角形三边关系分析出当O、H、D三点共线时，OD最大为OH+DH。
11．【答案】2.5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：设CE=x
∵EO垂直平分AC
∴AE=EC=x
∴DE=4-x
在长方形ABCD中， CD=AB=2，BC=AD=4
在Rt△CDE中，CE2-DE2=CD2 ∴x2-(4-x)2=4
解得x=2.5
故答案为：2.5.
【分析】根据矩形的性质得出 CD=AB=2，BC=AD=4，由EO垂直平分AC，得出AE=EC=x，最后在在Rt△CDE中，根据勾股定理，列出方程即可.
12．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接．
在中，∵
，
∵四边形为矩形，
，
当时，有最小值，
此时，
∴，解得，
，
，
∴的长能取到的所有整数值为5或6或7．
故答案为：．
【分析】连接．先利用勾股定理求出AB，再说明当时，有最小值，并利用三角形的面积的不同算法，得到关于CD的方程求解，再根据CD的范围，得出EF的范围，再求出整数解．
13．【答案】12
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点M作EM⊥DC于点E，如图所示：
∵，，M是AB的中点，
∴MC=5，DM=5，
∴MD=MC，
∵EM⊥DC，
∴EC=ED=3，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：12
【分析】过点M作EM⊥DC于点E，先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到MC=5，DM=5，再根据勾股定理结合三角形的面积即可求解。
14．【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1），
∵∠CED'＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形，
即∠CD'E＝90°，
∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°，
∴A、D'、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD'＝10 6＝4，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋16＝(8 x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，根据勾股定理求出x值即可．
15．【答案】；
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CB∥DA，∠A=∠B=90°，
∴∠PAO=∠OCQ，
∴AO=CO，
∵∠POA=∠COQ，
∴△APO=△CQO(ASA)，
∴PA=QC=2，OP=OQ，
过点P作PH⊥BC于点P，
∴四边形BHPA是矩形，
∴BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，
∴QH=2，
由勾股定理得，
∴PO=；
第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，如图所示：
∵DA⊥GO'，O为AC中点，
∴GA=3，
∴AP=2，OG=1，
∴GO'=3，GP=1，
由勾股定理得，
综上所述，的最大值为，的最小值为，
故答案为：；；
【分析】第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，先根据矩形的性质即可得到CB∥DA，∠A=∠B=90°，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到AO=CO，再运用对顶角的性质结合三角形全等的判定与性质证明△APO=△CQO(ASA)即可得到PA=QC=2，OP=OQ，过点P作PH⊥BC于点P，进而根据矩形的性质即可得到BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，再根据勾股定理即可求解；第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，根据题意结合已知条件即可得到GA=3，进而得到AP=2，OG=1，从而得到GO'=3，GP=1，最后运用勾股定理即可求解。
16．【答案】证明：如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，
∴OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ADC-∠ODC＝∠BCD-∠OCD，
即∠EDO＝∠FCO，
在△ODE与△OCF中，
，
∴△ODE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用矩形的性质，再证出△ODE≌△OCF即可得出结论．
17．【答案】（1）证明：且，
四边形是平行四边形，
，平分，
，
四边形是矩形；
（2）解：过作于，
是等边三角形，边长为，
，，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；多边形的面积
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，由等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ADCE是矩形；
（2）过O作OH⊥CE于H，由等边三角形的性质和平行线的性质可得∠DAC=∠BAC=30°=∠ACE，由矩形的对角线互相平分可得OC=OA，结合已知条件可得CF=OC，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=CF，然后根据四边形面积的构成S四边形AOFE=S△AEC-S△COF可求解.
18．【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴
（2）证明：①尺规作图如下：
由（1）已证：，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，即，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴．
②设，
则，
解得，
∴，
∵，
∴，
如图，延长，交于点，
∵，，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，点是的中点，
则在中，，
∵，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）连接，，根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，，再进行角的运算得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到即可求解；
（2）①由（1）已证：，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据矩形的性质得到，结合题意等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，从而结合等腰直角三角形的判定与性质即可求解；
②设，运用勾股定理即可其表示AG，从而结合题意即可得到CF，延长，交于点，根据等腰三角形的判定与性质（等角对等边）即可得到，从而根据垂直结合题意即可得到，点是的中点，再根据三角形的面积结合题意即可求解。
19．【答案】（1）证明：，，
，，，
又，四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
由（1）得，四边形为平行四边形，，，
，，，
四边形是平行四边形，
，，，四边形是矩形．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和已知条件推导出∠BDE=∠A=∠DEF，从而得出AD和EF平行，证得 四边形ADEF为平行四边形。
(2)先证明AF和EG平行且相等，得出四边形AEGF是平行四边形，再证明AG和EF相等，可推导出结论。
20．【答案】（1）证明：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵点O为矩形ABCD对角线AC的中点，
∴AO=CO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OE=OF，
∴O为EF的中点，
∵四边形ABEF与四边形A1B1EF关于EF所在直线成轴对称，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴EH=FH，
又∵O为EF的中点，
∴OH⊥EF.
（2）解：过点F作 FG垂直BC，如图：
∵∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=∠C=90°，
∴则四边形FGCD为矩形.
∴CG=FD，FG=CD=AB=4.
由（1）得△AOF≌△COE，
∴AF=CE=BC-BE=8-1=7，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∴FD=BE=1，
设EH=x，则FH=x，HC=7-x，
∴CG=FD=1，
∴HG=6-x.
∴在Rt△FHG中，FH2=HG2+FG2，
即x2=（6-x）2+42，
解得： ，
∴.
（3）解：连结AE，如图：
由对称得OA=OB1，
∵点O为矩形ABCD对角线AC的中点，
∴AO=CO，
若OH=OB1，则OB1=AO=CO=OH，
当点C，H，A1重合满足条件，
∵∠B=∠EB1C=90°，AB=B1C，BE=B1E，
∴△ABE≌△CB1E（SAS），
∴∠AEB=∠CEB1，AE=EC，
∵BE与EC共线，
∴点A、点E和点B1三点共线，
∵∠D=∠EB1C=90°，B1C=AB=DC，AC=AC，
∴Rt△ADC≌Rt△AB1C（HL），
∴AD=AB1，
设BE=y，则AE=8-y，
∴在Rt△ABE中．AE2=AB2+BE2，
即 （8-y）2=42+y2，
解得y=3，
即BE=3.
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行可得AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等得出∠1=∠2，由已知条件得出AO=CO，由对顶角相等得出∠AOF=∠COE，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等得△AOF≌△COE，全等三角形的对应边相等可得OE=OF，根据轴对称的性质得出∠1=∠3，等量代换可得出∠2=∠3，由等角对等边得EH=FH，再根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合即可得出结论；
（2）过点F作 FG垂直BC，根据矩形的性质和判定可得四边形FGCD为矩形，可得FG=CD=AB=4，CG=FD.根据全等三角形的对应边相等可得AF=CE=7，根据矩形的对边相等可得AD=BC，推得FD=BE=1，设EH=x，则FH=x，HC=7-x，根据矩形的对边相等可得CG=FD=1，再求出HG=6-x，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；
（3）连结AE，由对称得OA=OB1，根据题意得AO=CO，若OH=OB1，则OB1=AO=CO=OH，当点C，H，A1重合满足条件，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，对应边相等可得∠AEB=∠CEB1，AE=EC，推得A、E和B1三点共线，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等可得AD=AB1，设BE=y，则AE=8-y，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
是矩形；
解：证明：在 中对角线和相交于点，
，，
，
，
，
是矩形；
（2）解：证明：在 中对角线和相交于点，
，，
，
，
，
是矩形；
解：如图，连接，
过点分别作和的垂线，垂足为，，
，
四边形是矩形，，，
，，
，，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质结合AC=BD得≌，得∠ABC=90°，即可得ABCD为矩形；
(2)①由平行四边形的性质得AC=BD即可证ABCD为矩形；
②连接PO，利用等面积法，可得PE+PF的值.
1 / 1【培优练】人教版数学八年级下学期 18.2.1 矩形
一、选择题
1．（2024八下·环江期中）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（ ）
A．甲量得窗框的一组邻边相等
B．乙量得窗框两组对边分别相等
C．丙量得窗框的对角线长相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A，只是一组邻边相等的四边形不能判断是矩形，故甲的判断不准确；
B，两组对边分别相等可以是平行四边形，菱形，矩形，正方形；故乙的判断不准确；
C，对角线长相等可以是等腰梯形，矩形，正方形；故丙的判断不准确；
D，两组对边分别相等是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，正方形；故丁的判断最有说服力；
故答案为：D
【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八下·忠县期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴当时，变成“矩形”，
故答案为：A
【分析】根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）结合题意即可求解.
3．（2024八下·新会期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边相等 D．对角相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而矩形的对角线互相平分且相等.
故答案为：A.
【分析】对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形.
4．（2024八下·余杭月考）已知矩形的周长为56，对角线交点到短边的距离比到长边的距离大4，则该矩形的面积为（ ）
A．45 B．90 C．140 D．180
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作，交于，交于，作，交于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理四边形、四边形，四边形都是矩形，
，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
设，则，
∵矩形周长是56，
，
解得：，
∴矩形的各边长是．
则该矩形的面积，
故答案为：D．
【分析】过作交于，交于，作交于，交于，即可得到四边形、四边形、四边形、四边形是矩形，设，则，利用矩形周长列方程求出x值即可解题．
5．（2024八下·来宾期末）如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵矩形中，；
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B
【分析】先根据矩形的性质结合题意得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据角平分线的定义得到，再结合题意即可得到，从而即可求出∠BAE得到度数，再根据三角形内角和定理即可求解.
6．（2024八下·贵港期末）如右图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
以AB为对角线的格点矩形有3个，
以AB为边的格点矩形有1个，
∴以A，B为顶点的格点矩形共可以画出4个，
故答案为：D．
【分析】画出以A，B为顶点的格点矩形，即可求解.
7．（2024八下·珠海期末）如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=20，
∵E，F分别是AD，CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴，
∵G，H分别是BE，BF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴.
故答案为：B.
【分析】连接AC、EF，由矩形的对角线相等得出AC的长，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得求出EF的长，同理可求出GH的长.
8．（2024八下·黄埔期末）如图， 对折矩形纸片 ， 使 与 重合， 得到折痕 ， 把纸片展平， 再一次折叠纸片， 使点 落在 上， 并使折痕经过点 ， 得到折痕 ， 同时得到线段 . 若 与 交点为 ， 则
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵对折至，折痕为，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质得到，由折叠得直线是线段的垂直平分线，进而根据垂直平分线的性质得到，再根据平行线的判定与性质得到，再根据折叠得到，从而根据等腰三角形的判定（等角对等边）即可求解。
9．（2024八下·侯马期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（ ）
A．13 B．26 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴的面积为．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可得AC=13，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
10．（2024八下·荆州期末）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
H为AB中点，连接OH、OD，DH、
∵∠MON=90°，AB=4，
∴OH=AB=×4=2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠BAD=90°，
∵点H是AB的中点，
∴AH=AB=×4=2，
在Rt△DAH中，DH===2，
在△ODH中，根据三角形三边关系可知DH+OH＞OD，
∴当O、H、D三点共线时，OD最大为DH+OH=2+2.
故答案为：A．
【分析】 取AB中点H，连接OH、DH、OD，求出OH和DH值，利用三角形三边关系分析出当O、H、D三点共线时，OD最大为OH+DH。
二、填空题
11．（2024八下·拜城期中） 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为 ．
【答案】2.5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：设CE=x
∵EO垂直平分AC
∴AE=EC=x
∴DE=4-x
在长方形ABCD中， CD=AB=2，BC=AD=4
在Rt△CDE中，CE2-DE2=CD2 ∴x2-(4-x)2=4
解得x=2.5
故答案为：2.5.
【分析】根据矩形的性质得出 CD=AB=2，BC=AD=4，由EO垂直平分AC，得出AE=EC=x，最后在在Rt△CDE中，根据勾股定理，列出方程即可.
12．（2024八下·睢宁期末）如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接．
在中，∵
，
∵四边形为矩形，
，
当时，有最小值，
此时，
∴，解得，
，
，
∴的长能取到的所有整数值为5或6或7．
故答案为：．
【分析】连接．先利用勾股定理求出AB，再说明当时，有最小值，并利用三角形的面积的不同算法，得到关于CD的方程求解，再根据CD的范围，得出EF的范围，再求出整数解．
13．（2023八下·前郭尔罗斯期末）如图，在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，，，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若，则三角形MCD的面积为 ．
【答案】12
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点M作EM⊥DC于点E，如图所示：
∵，，M是AB的中点，
∴MC=5，DM=5，
∴MD=MC，
∵EM⊥DC，
∴EC=ED=3，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：12
【分析】过点M作EM⊥DC于点E，先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到MC=5，DM=5，再根据勾股定理结合三角形的面积即可求解。
14．（2024八下·北京市期中）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1），
∵∠CED'＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形，
即∠CD'E＝90°，
∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°，
∴A、D'、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD'＝10 6＝4，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋16＝(8 x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，根据勾股定理求出x值即可．
15．（2023八下·新田期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CB∥DA，∠A=∠B=90°，
∴∠PAO=∠OCQ，
∴AO=CO，
∵∠POA=∠COQ，
∴△APO=△CQO(ASA)，
∴PA=QC=2，OP=OQ，
过点P作PH⊥BC于点P，
∴四边形BHPA是矩形，
∴BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，
∴QH=2，
由勾股定理得，
∴PO=；
第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，如图所示：
∵DA⊥GO'，O为AC中点，
∴GA=3，
∴AP=2，OG=1，
∴GO'=3，GP=1，
由勾股定理得，
综上所述，的最大值为，的最小值为，
故答案为：；；
【分析】第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，先根据矩形的性质即可得到CB∥DA，∠A=∠B=90°，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到AO=CO，再运用对顶角的性质结合三角形全等的判定与性质证明△APO=△CQO(ASA)即可得到PA=QC=2，OP=OQ，过点P作PH⊥BC于点P，进而根据矩形的性质即可得到BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，再根据勾股定理即可求解；第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，根据题意结合已知条件即可得到GA=3，进而得到AP=2，OG=1，从而得到GO'=3，GP=1，最后运用勾股定理即可求解。
三、解答题
16．如图， 在矩形 中， 对角线 相交于点 ， 点 分别在边 上， 且 ， 连结 ． 求证： ．
【答案】证明：如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，
∴OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ADC-∠ODC＝∠BCD-∠OCD，
即∠EDO＝∠FCO，
在△ODE与△OCF中，
，
∴△ODE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用矩形的性质，再证出△ODE≌△OCF即可得出结论．
17．（2024八下·娄星期末）如图，在中，，平分，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若是边长为的等边三角形，，相交于点，在上截取，连接，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：且，
四边形是平行四边形，
，平分，
，
四边形是矩形；
（2）解：过作于，
是等边三角形，边长为，
，，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；多边形的面积
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，由等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ADCE是矩形；
（2）过O作OH⊥CE于H，由等边三角形的性质和平行线的性质可得∠DAC=∠BAC=30°=∠ACE，由矩形的对角线互相平分可得OC=OA，结合已知条件可得CF=OC，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=CF，然后根据四边形面积的构成S四边形AOFE=S△AEC-S△COF可求解.
18．（2024八下·天河期末）如图是以 为对角线的矩形 和矩形 ， 且 平分 .
（1） 连接 ， 求证 ；
（2） 尺规作图：作 的平分线 交 于点 ， 连接 .
①求证 ；
②若 ， 求 和 的长.
【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴
（2）证明：①尺规作图如下：
由（1）已证：，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，即，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴．
②设，
则，
解得，
∴，
∵，
∴，
如图，延长，交于点，
∵，，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，点是的中点，
则在中，，
∵，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）连接，，根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，，再进行角的运算得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到即可求解；
（2）①由（1）已证：，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据矩形的性质得到，结合题意等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，从而结合等腰直角三角形的判定与性质即可求解；
②设，运用勾股定理即可其表示AG，从而结合题意即可得到CF，延长，交于点，根据等腰三角形的判定与性质（等角对等边）即可得到，从而根据垂直结合题意即可得到，点是的中点，再根据三角形的面积结合题意即可求解。
19．（2024八下·大石桥期中）如图，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：，，
，，，
又，四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
由（1）得，四边形为平行四边形，，，
，，，
四边形是平行四边形，
，，，四边形是矩形．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和已知条件推导出∠BDE=∠A=∠DEF，从而得出AD和EF平行，证得 四边形ADEF为平行四边形。
(2)先证明AF和EG平行且相等，得出四边形AEGF是平行四边形，再证明AG和EF相等，可推导出结论。
20．（2024八下·衢州期末） 如图1，点O为矩形ABCD对角线AC的中点，AB=4，BC=8，点E为BC边上一点，连结EO并延长，交AD于点F．四边形ABEF与四边形A1B1EF关于EF所在直线成轴对称，线段FA1交边BC于点H，连结OH．
（1）求证： 。
（2）若 ， 求 的长。
（3） 如图 2， 连结 ， 若 ， 求 的长。
【答案】（1）证明：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵点O为矩形ABCD对角线AC的中点，
∴AO=CO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OE=OF，
∴O为EF的中点，
∵四边形ABEF与四边形A1B1EF关于EF所在直线成轴对称，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴EH=FH，
又∵O为EF的中点，
∴OH⊥EF.
（2）解：过点F作 FG垂直BC，如图：
∵∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=∠C=90°，
∴则四边形FGCD为矩形.
∴CG=FD，FG=CD=AB=4.
由（1）得△AOF≌△COE，
∴AF=CE=BC-BE=8-1=7，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∴FD=BE=1，
设EH=x，则FH=x，HC=7-x，
∴CG=FD=1，
∴HG=6-x.
∴在Rt△FHG中，FH2=HG2+FG2，
即x2=（6-x）2+42，
解得： ，
∴.
（3）解：连结AE，如图：
由对称得OA=OB1，
∵点O为矩形ABCD对角线AC的中点，
∴AO=CO，
若OH=OB1，则OB1=AO=CO=OH，
当点C，H，A1重合满足条件，
∵∠B=∠EB1C=90°，AB=B1C，BE=B1E，
∴△ABE≌△CB1E（SAS），
∴∠AEB=∠CEB1，AE=EC，
∵BE与EC共线，
∴点A、点E和点B1三点共线，
∵∠D=∠EB1C=90°，B1C=AB=DC，AC=AC，
∴Rt△ADC≌Rt△AB1C（HL），
∴AD=AB1，
设BE=y，则AE=8-y，
∴在Rt△ABE中．AE2=AB2+BE2，
即 （8-y）2=42+y2，
解得y=3，
即BE=3.
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行可得AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等得出∠1=∠2，由已知条件得出AO=CO，由对顶角相等得出∠AOF=∠COE，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等得△AOF≌△COE，全等三角形的对应边相等可得OE=OF，根据轴对称的性质得出∠1=∠3，等量代换可得出∠2=∠3，由等角对等边得EH=FH，再根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合即可得出结论；
（2）过点F作 FG垂直BC，根据矩形的性质和判定可得四边形FGCD为矩形，可得FG=CD=AB=4，CG=FD.根据全等三角形的对应边相等可得AF=CE=7，根据矩形的对边相等可得AD=BC，推得FD=BE=1，设EH=x，则FH=x，HC=7-x，根据矩形的对边相等可得CG=FD=1，再求出HG=6-x，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；
（3）连结AE，由对称得OA=OB1，根据题意得AO=CO，若OH=OB1，则OB1=AO=CO=OH，当点C，H，A1重合满足条件，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，对应边相等可得∠AEB=∠CEB1，AE=EC，推得A、E和B1三点共线，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等可得AD=AB1，设BE=y，则AE=8-y，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
21．（2024八下·大余期末）【课本再现】
思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
（1）【定理证明】
为了证明该定理，小明同学画出了图形如图并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程：
已知：在 中，对角线，相交于点，且，求证： 是矩形，
（2）【知识应用】
如图在 中对角线和相交于点，．
求证： 是矩形；
若，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
是矩形；
解：证明：在 中对角线和相交于点，
，，
，
，
，
是矩形；
（2）解：证明：在 中对角线和相交于点，
，，
，
，
，
是矩形；
解：如图，连接，
过点分别作和的垂线，垂足为，，
，
四边形是矩形，，，
，，
，，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质结合AC=BD得≌，得∠ABC=90°，即可得ABCD为矩形；
(2)①由平行四边形的性质得AC=BD即可证ABCD为矩形；
②连接PO，利用等面积法，可得PE+PF的值.
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