高中数学分层练习（中档题）01：集合与常用逻辑（20题）（含解析）

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集合与常用逻辑用语
一、单选题
1．已知集合，．则（ ）
A． B．是的真子集
C． D．
2．满足 的集合A的个数为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．15
3．已知为的两个非空真子集，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．对于数集，，它们的Descartes积，则下列选项错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．集合表示轴所在直线
11．已知等比数列的公比为q，且，则的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
12．已知等比数列的公比q大于0，前n项和为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．若，“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．即不充分又不必要
14．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．已知p：，q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．设为等差数列的前n项和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．已知，则“为纯虚数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．“点在圆外”是“直线与圆O相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
《集合与常用逻辑用语》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B C B B C D A
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 D D A C A C C A C A
1．C
【分析】由集合相等的概念，说明，同时即可；
【解析】从中任取一个元素，一定是偶数，所以，
从中任取一个元素，，所以,
所以，
故选：C
2．B
【分析】由一元二次方程以及集合之间的包含关系，可得答案.
【解析】由，整理可得，解得或，
则 ，设，所以 ，可得.
故选：B.
3．B
【分析】由题意得到集合的关系，作出集合的图，由图对各个选项进行判断.
【解析】因为 ，所以 ，如图：
对于选项A，由题意知是的真子集，故，故A不正确；
对于选项B，由是的真子集且都不是空集知，，，故B正确；
对于选项C，由是的真子集知，，故C不正确．
对于选项D，由是的真子集，故，故D不正确．
故选：B
4．B
【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解.
【解析】由已知可得集合或,
由解得，，
所以，
因为，所以，则，且小于0，
由中恰有一个整数，所以，
即，也即，解得，
故选：B．
5．C
【分析】由对数函数的单调性以及一元二次不等式的求解，可得集合，根据补集与并集的运算，可得答案.
【解析】由题得或，
所以，所以，
又因为，所以.
故选：C.
6．B
【分析】先求出各个集合，再由集合的补集和交集的定义求解即可
【解析】解不等式，则其解为.
又因为，所以.
求解集合：解不等式，则，得，所以. 那么或.
所以.
故选：B.
7．B
【分析】由两集合元素特点，逐个判断即可；
【解析】由，
当，，当，，当，，当，，当，，
所以，所以中有3个元素，
故选：B.
8．C
【分析】先分别指数函数与对数函数的单调性来求解不等式,得到集合与集合，再求出集合在全集中的补集，最后求出.
【解析】已知，因为指数函数在上单调递增，所以由可得，即.
已知， .因为对数函数在上单调递增，
所以由可得，即.
因为，所以. 可得.
故选：C.
9．D
【分析】先求绝对值不等式，再根据交集概念计算即可.
【解析】，，．
故选：D．
10．A
【分析】根据集合的新定义及点坐标的性质，结合集合的交运算、包含关系判断各项的正误.
【解析】由表示数集中的数表示横坐标，数集中的数表示纵坐标，组成的点的全体，故，A错；
若，因为点集中来自集合的横坐标值一定在集合中，且纵坐标值都来自集合，则，B正确；
，
，
则，C正确；
集合表示横坐标为0的点集，即为轴所在直线，D正确.
故选：A
11．D
【分析】结合等比数列的性质求出满足成立的充要条件是，然后根据等比数列基本量运算及充分条件、必要条件的概念逐项判断即可.
【解析】根据题意，成立时，有，
结合，得，即.
①当时，可得，所以，即.
②当时，若为偶数，则，可得，所以；
若为奇数，则，可得，所以.
因此不存在满足成立.
综上所述，成立的充要条件是.
对于A，因为，所以，则，故是充要条件，A错误；
对于B，因为，所以，则或，
故“”是“”的必要不充分条件，B错误；
对于C，因为，即，所以，
显然“”是“”的必要不充分条件，C错误；
对于D，因为，由得，
显然“”是“”的充分不必要条件，所以D正确.
故选：D.
12．D
【分析】根据数列的单调性判断两命题之间的逻辑推理关系，即得答案.
【解析】若取，，那么，则数列为单调递增数列，
此时，则数列为单调递减数列，
所以“数列为单调递增数列”不能推出“数列为单调递增数列”，
若取，，则，
显然数列是单调递增数列，
此时，数列是单调递减数列，
所以“数列为单调递增数列”不能推出“数列为单调递增数列”，
综上“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D
13．A
【分析】根据正余弦函数的图像性质，结合充分，必要条件概念判定.
【解析】因，根据正弦函数图象性质，由，得，所以；
而由，由余弦函数性质，得或，此时或．
因此若，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
14．C
【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可结合充分不必要条件的定义求解.
【解析】直线与直线平行,则满足
，解得或，
因此“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，
故选：C
15．A
【分析】先分别求解出命题和命题中不等式的解集，再根据充分条件和必要条件的定义判断是的什么条件.
【解析】对于，解得，即命题对应的集合.
对于，解得或，即命题对应的集合或.
充分性：若，即，那么一定有，因为集合中的元素都满足集合的条件，所以由可以推出，充分性成立.
必要性：若，即或，当时，不满足，所以由不可以推出，必要性不成立.
因为能推出，但不能推出，所以是的充分不必要条件，
故选：A.
16．C
【分析】根据等差数列的性质及充分、必要性的定义判断条件间的关系.
【解析】由，则，即，故，充分性成立；
由，则，即，
若公差为，则，可得，
所以，则，必要性成立；
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C
17．C
【分析】由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【解析】当直线与直线平行时，，且，解得
当时，直线为，直线为，两直线平行.
因此“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故选：C.
18．A
【分析】根据充分不必要条件的定义及复数的相关概念可确定选项.
【解析】当为纯虚数时，设，则，
∴.
当时，可取，则为纯虚数不成立.
综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
19．C
【分析】找出两个命题成立的等价条件，即可得出结论.
【解析】若点在圆外，则，
若直线与圆O相交，则，可得，
所以，“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充要条件.
故选：C.
20．A
【分析】根据圆上恰有3个点到直线的距离为1得到圆心到直线的距离，然后列方程得到，最后判断充分性和必要性即可.
【解析】由圆上恰有3个点到直线的距离为1得到圆心到直线的距离为1，
则，解得，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的充分不必要条件.
故选：A.
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