高中数学分层练习（中档题）03：平面向量（20题）（含解析）

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平面向量
一、单选题
1．已知向量，满足：，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．若，是两个单位向量，，则向量与向量的夹角的余弦值（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知直角梯形中，，，，点M在线段BC上，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ）
A．3 B．
C． D．3
6．已知，若表示向量的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为（ ）
A． B． C． D．
7．若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与圆相交于M、N两点，则的最大值为（ ）．
A． B． C．4 D．
9．已知在正方形中，与相交于点为的中点，与相交于点为的中点，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．在中，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 .
12．已知向量，则的最大值为 .
13．已知单位向量，，满足，则 .
14．已知与为单位向量，且满足，则与的夹角 .
15．已知正方形ABCD的边长为2，且，，则 ．
16．设，，若，则的最大值为 ．
17．在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则 .
18．已知向量的夹角为，且，，则 ．
19．如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则的最小值为 ．
20．已知锐角的内角的对边分别为．若向量，，且，，则角 ；的面积的取值范围为 ．
《平面向量》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A C D B B D C
1．D
【分析】根据题意结合数量积可得，再结合投影向量的定义运算求解.
【解析】由题意可知：，
因为，即，可得，
所以在上的投影向量为.
故选：D.
2．A
【分析】根据数量积的性质得到，然后整理得，最后求余弦值即可.
【解析】由题意得，即，
即，所以，.
故选：A.
3．D
【分析】利用已知可求得，，进而利用向量的夹角公式可求.
【解析】因为，两边平方得，所以，
，，
所以．
故选：D．
4．A
【分析】建立如图所示直角坐标系，设，利用向量共线求出点，再利用向量的数量积求解即可.
【解析】依题意，在坐标系中表示直角梯形，，，，，
，设，
因为，所以，即，
所以，所以，，
所以．
故选：A
5．C
【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可；
【解析】因，，且，
所以，化为.
所以，解得.
所以.
故选：C.
6．D
【分析】由题意有，结合已知向量坐标及线性运算的坐标表示求向量.
【解析】由题设，，
由向量的有向线段首尾相接能构成三角形，
所以，则.
故选：D
7．B
【分析】运用投影向量的公式，结合数量积运算即可.
【解析】在上投影向量，
，，
则，
由于，，
故选：B．
8．B
【分析】先求出直线所过的定点，
方法一：取中点B，易得，进而可得出答案.
方法二：设、夹角为，将平方，结合数量积的运算律及余弦定理化简即可得解.
【解析】由，得，
令，解得，
所以直线过定点，
由得圆心，半径
方法一：如图，取中点B，
，
当且仅当两点重合时取等号，
所以的最大值为.
方法二：（平方法）设、夹角为，
，
当与垂直时，最小，并且最小值为，
此时，即．
故选：B.
9．D
【分析】结合图形，由平面向量的加法法则求解即可；
【解析】如图所示，因为与相交于点，所以为的中点，
又因为为的中点，所以为的重心，所以，
又因为为的中点，所以，
所以
.
所以，所以.
故选：D.
10．C
【分析】由为的中点得到，再由，即可求解；
【解析】因为，所以为的中点，所以．
又，所以，所以，
所以，
所以，所以．
故选：C
11．
【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可.
【解析】，
由题可得：
，可得，
则在上的投影向量为.
故答案为：.
12．
【分析】首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示、三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得.
【解析】因为，
所以，
所以
，
所以当，即时取得最大值，且.
故答案为：
13．
【分析】由题意作图，根据平面向量线性运算的几何意义，结合数量积的定义式，可得答案.
【解析】由题意，作等腰，且，记的中点为，连接，如下图：
设，，
由图可知，
由为单位向量，则，
在等腰中，易知，
在中，，则，即，
所以.
故答案为：.
14．/
【分析】根据向量垂直，即可得，即可求解.
【解析】因为与为单位向量，则，，
又，
，
，则，
又，所以与的夹角为.
故答案为：.
15．/0.5
【分析】由平面向量的线性运算及数量积运算即可求解．
【解析】由题意，，则，
所以，，
所以
，
解得．
故答案为：．
16．
【分析】由已知，利用三角换元即可求得的最大值.
【解析】，，，
又，设，
则
，其中，
因为的最大值为1，
所以的最大值为．
故答案为：．
17．12
【分析】运用向量数量积的运算，结合向量三角形法则直接计算即可.
【解析】在中，因为D是边BC的中点，
所以，
又，所以，所以.
又因为，所以，
所以
.
故答案为：12.
18．
【分析】借助向量模长与数量积的关系以及向量的数量积公式计算即可得.
【解析】
.
故答案为：.
19．
【分析】结合图形由平面向量的基本定理可得，再利用基本不等式的乘“1”法可得答案.
【解析】由，得，即，
，E，F三点共线，
，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为
故答案为：.
20．
【分析】由坐标表示出向量平行的条件，利用正弦定理化角为边，交由余弦定理求得角，再由正弦定理把用表示，用三角形的面积公式求得面积，利用正切函数性质得范围．
【解析】由可知，，
由正弦定理得即，
∴，又，∴，
又由正弦定理，得
∴，是锐角三角形，∴，
∴，，，故的面积的取值范围为．

故答案为：；．
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