高中数学分层练习（中档题）04：不等式与不等关系（20题）（含解析）

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不等式与不等关系
一、单选题
1．已知，.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知正数x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．若、都有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，且关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．命题“，”为假命题
D．若的解集为M，则
二、填空题
11．已知公比不为的等比数列中，存在，满足，则的最小值为 ．
12．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ．
13．已知函数的值域为，且，则的取值范围是 .
14．已知正实数满足，则的最小值为 ．
15．已知动直线恒过点，且到动直线的最大距离为3，则的最小值为 ．
16．已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为 ．
17．已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ．
18．若关于的不等式的解集为，则的最小值为 .
19．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 .
20．设奇函数在上是单调函数，且．若函数对所有的都成立，则当时，的取值范围是 ．
《不等式与不等关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A A C A B B C
1．D
【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答案.
【解析】由题意可得，，
因为，，所以两边取对数整理可得，，所以
又，，，
且，即，
所以，，所以.
故选：D.
2．C
【分析】对A，利用基本不等式即可判断；对B，利用“1”的代换，结合基本不等式即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，表达为的函数，取当 接近 时，表达式趋近于 ，可否的D.
【解析】对于A：因为，则，
当且仅当，即，时取等号，故A错误；
对于B：，
当且仅当，即，时取等号，故B错误；
对于C：因为，则，
当且仅当，即，时取等号，故C正确；
对于D：代入 ，得 ，
当 接近 时，表达式趋近于 ，超过 ，因此D错误.
故选：C.
3．B
【分析】由已知得，代入后利用基本不等式可得答案.
【解析】因为，，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故选：B.
4．A
【分析】推导出，，将代入各选项中的代数式，利用基本不等式逐项判断即可.
【解析】显然不满足等式，所以，，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错；
，
当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错.
故选：A.
5．A
【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围.
【解析】因为，所以恒成立等价于恒成立，
又，当且仅当时取等号，故.
故选：A
6．C
【分析】利用基本不等式求最值.
【解析】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立，
，解得，即，故A不正确；
对于B：由，得，当且仅当时，等号成立，
即，解得，或（舍去），故B错误；
对于C：，
令，，即，故C正确；
对于D，，令，，即，故D不正确，
故选：C．
7．A
【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可.
【解析】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故选：A．
8．B
【分析】根据条件，得到，又，利用基本不等式，即可求解.
【解析】因为，则，又恒成立，
即恒成立，
又，
当且仅当，即时取等号，所以，
故选：B.
9．B
【分析】先应用奇函数定义及单调性判断，再转化恒成立问题为最值问题，最后应用基本不等式求最小值，计算一元二次不等式即可.
【解析】因为函数，为减函数；
又因为所以为奇函数，
若，不等式恒成立，
则不等式，因为为奇函数，所以，
因为为减函数，所以恒成立，
所以恒成立，所以，
，
当且仅当时取最小值3，所以，
所以，所以实数m的取值范围是.
故选：B.
10．C
【分析】根据一元二次不等式与方程的关系可得，，可判断选项A；利用二次函数对称轴可判断选项B；根据关系化简不等式可判断选项C；利用两不等式的关系可判断选项D.
【解析】因为，且关于x的不等式的解集为，
所以，且的根为和2，所以，得，，
对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，，所以，，
因为，，所以，故B错误；
对于C，即为，即，无解，
故命题“，”为假命题，故C正确；
对于D，因为是由向上平移一个单位，所以 ，故D错误.
故选：C．
11．
【分析】根据等比数列的性质可得，再根据基本不等式结合对勾函数性质求解即可.
【解析】设的公比为，因为，则，故，.
则，
当且仅当，即时等号成立，此时，但.
结合对勾函数的性质，当时，；
当时，，
因为，故的最小值为，此时.
故答案为：
12．
【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可.
【解析】因为“，使得”为假命题，
所以“，使得”为真命题，
即在内有解，即，
因为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：.
13．
【分析】根据的值域为，得到，且，根据得到，再由和基本不等式求解.
【解析】因为的值域为，
所以，解得，且，
又，即，
所以，
又，当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围是，
故答案为：
14．
【分析】根据不等式可得，即可利用对勾函数的单调性求解。
【解析】因为正实数a，b满足，故，当且仅当时等号成立，，
由于函数在单调递减，故，
故答案为：
15．
【分析】先由题意求出，利用基本不等式“1”的妙用，求出的最小值.
【解析】因为动直线恒过点，
所以，又到动直线的最大距离为3，
由图知当且仅当时，点到动直线的距离最大，
此时，解得，所以．
，
当且仅当时取等号．
故答案为：.
16．
【分析】利用已知得到真命题，结合二次函数的单调性求解即可；
【解析】由题意可得命题“，使得”为真命题，
即在上有解，
令，，则，
在为减函数，所以，
所以，即实数a的范围为.
故答案为：.
17．
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性可得，即可利用二次不等式的解法得解.
【解析】由和在上都是单调递增，知在上单调递增，
又，则为奇函数．
由，得，即，即有，解得．
故答案为：
18．
【分析】由题意可得，进而代入可得，进而由基本不等式可得.
【解析】关于的不等式的解集为，
所以，，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
19．8
【分析】分别分析一次函数与二次函数的图象与性质，由可得是方程的根，则，进而，结合基本不等式计算即可求解.
【解析】设，
由已知在上单调递增，
当时，；当时，.
由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根，
即函数在上有且仅有一个零点；
由题意，则当时，；当时，，
所以是方程的根，
则，即，且，
所以（当且仅当时取等号）.
故答案为：8
20．
【分析】求出函数在上的值域，可得出当时，恒成立，令，其中，结合题意可得出，解此不等式组即可得出实数的取值范围.
【解析】为奇函数，，，
又在上是单调函数，，
当时，恒成立，即恒成立．
令，其中，
所以，，解得或或．
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
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