高中数学分层练习（中档题）05：函数与导数（30题）（含解析）

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函数与导数
一、单选题
1．已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．6 B．12 C．24 D．12或24
2．定义在上的函数满足，若在区间上单调递增，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是定义在R上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2024 B． C．2025 D．
5．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知曲线与曲线只有一个公共点，则（ ）
A． B．1 C．e D．
8．已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．碳14具有放射性.活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期约为5730年，即生物死亡年后，碳14含量，其中为活体生物组织内碳14的含量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2025年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0.92，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（ ）
A．宋（公元年） B．元（公元年）
C．明（公元年） D．清（公元年）
10．是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（ ）.
A． B．
C． D．
二、多选题
11．设函数则下列说法正确的有（ ）
A．函数仅有1个零点
B．是的极小值点
C．函数的对称中心为
D．过可以作三条直线与的图象相切
12．已知函数，为的导函数，则（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．在区间上单调递增
C．在区间上有极小值
D．在区间上有两个零点
13．设函数，则（ ）
A．是的极大值点
B．
C．的解集为
D．当时，
14．湖南矮寨特大悬索桥，创造了4个世界第一，堪称世界建桥史上的经典之作.它的两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”，通过适当建立坐标系，悬链线可以为双曲余弦函数的图象，相应的双曲正弦函数为.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．函数的值域为，
D．当直线与和共有3个交点时，
15．若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
16．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线与有公共点
B．曲线关于直线对称的曲线是
C．曲线关于直线对称的曲线是
D．直线与曲线、的交点分别是A、B，则的最小值为
17．已知是定义在上的奇函数，且满足，若当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．图象关于点中心对称
B．8为的周期
C．
D．方程在上共有1526个不同的实数解
18．下列说法中正确的有（ ）
A．已知在上是增函数，若，则
B．“”是“”的必要条件
C．若命题“”是真命题，则的取值范围为
D．函数的减区间是
19．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．
D．
20．已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递减
C．的图像关于点对称
D．函数有2个零点
三、填空题
21．已知函数，若，则的取值范围是 .
22．已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为 ．
23．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ．
24．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
25．定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为 ．
26．已知函数，函数，其中，若函数恰有3个零点，则m的取值范围是 ．
27．已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ．
28．若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ．
29．已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 .
30．已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则 .
《函数与导数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C B B C B B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 ACD BC ABD AC ABC BCD AC AC ACD ABD
1．C
【分析】根据在处取得极值0可得，解出即可.
【解析】由题意知，，又在处取得极值0，
则，解得或，
当时，，
函数在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，
令或，，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，符合题意，
所以，，
则.
故选：C.
2．D
【分析】依题意可得，再根据对数函数的性质得到，结合函数的单调性判断即可.
【解析】因为在上的函数满足，所以.
因为，又，，所以.
因为在上单调递增，所以，即，即.
故选：D.
3．B
【分析】构造函数，根据条件判断的单调性，奇偶性进而解不等式即可.
【解析】设，则，
又上，，则，
即函数在上单调递减，
又是定义在R上的奇函数，则函数为R上的奇函数，
故在R上单调递减，又，
即，可得，解得．
故选：B.
4．D
【分析】由，令，可得，的图象关于直线对称，又由的图象关于点对称可得8是函数的一个周期，据此可得答案.
【解析】因为对任意，都有，
令，得，解得，则，
即，所以函数的图象关于直线对称．
又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，
即函数为奇函数，所以，
所以，所以8是函数的一个周期，
所以．
故选：D
5．C
【分析】应用奇偶性定义判断的奇偶性，结合对应函数值符号及排除法，即可得答案.
【解析】由题意，函数定义域为R，且，
所以为偶函数，排除A、B；
当，则恒成立，排除D.
故选：C
6．B
【分析】先应用奇函数定义及单调性判断，再转化恒成立问题为最值问题，最后应用基本不等式求最小值，计算一元二次不等式即可.
【解析】因为函数，为减函数；
又因为所以为奇函数，
若，不等式恒成立，
则不等式，因为为奇函数，所以，
因为为减函数，所以恒成立，
所以恒成立，所以，
，
当且仅当时取最小值3，所以，
所以，所以实数m的取值范围是.
故选：B.
7．B
【分析】方法一：把两曲线与有一个公共点，转化为方程只有一个实数解，通过分离常数求出值；
方法二：把两曲线与有一个公共点，转化成两曲线只有一个公切点，再利用几何意义求解；
方法三：利用原函数和反函数图像关于对称，且两函数图像都与相切于点，巧妙求出值.
【解析】方法一：由已知曲线与曲线只有一个公共点，
方程只有一个实数解，而，则只考虑，
即，令，则，
而在单调递增，且，
所以时，单调递减，
时，单调递增，
而时，；时，，
所以．
方法二：由已知曲线与曲线只有一个公共点，
则曲线与曲线只有一个公切点，设其坐标为，
根据函数的图像与函数的图像之间的关系，
所以有，
即，所以，
设，则在单调递减，而，
所以，所以．
方法三：由于函数的反函数为，两函数关于对称，
由于，令，则，即函数与函数相切于点，
同理，，令，即函数． 与函数也相切于点，
于是函数与函数相切于点，由选项可知，．
故选：B.
8．C
【分析】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围.
【解析】由，得，因此有一个零点，
当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点，
函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象，
观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点，
当时，函数的图象与直线有1个交点，
所以m的取值范围是.
故选：C
9．B
【分析】根据碳14含量的计算公式列出方程，然后结合已知条件求解出生物死亡的时间，进而判断该生物死亡的朝代.
【解析】已知碳14含量公式，某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0，92，
即，代入公式可得，
因为，两边同时除以，得到，
对两边取以为底的对数，可得，
则，
因为，，即，
所以，
将代入，可得（年），
已知是在2025年发现该生物遗体，那么该生物死亡的时间约为（年），
因为，所以该生物死亡的朝代为元（公元年）.
故选：B
10．B
【分析】证明得到是以为周期的函数，排除C、D.再研究的函数性质，借助导数即可.
【解析】，，
可以得到是以为周期的函数，所以的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D.
由于A、B项均关于对称，所以仅研究，此时，令
，，令，则，
解得(负数根舍去)，则 在单调递减，单调递增，即在单调递增，在有且仅有一个极值点，所以不会一直增大，B正确.
（注：本题在A、B当中选择亦可使用特殊值法，，选B）
故选：B
11．ACD
【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数的单调性得出极值进而得出零点判断A，B；应用对称性定义计算判断C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D.
【解析】对AB，，，
当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以，，又，
所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A正确，B错误；
对C，由，得，
所以函数的图象关于对称，故C正确；
对D，设切点为，则，故切线方程为，
又过点，所以，整理得，
即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确．
故选：ACD．
12．BC
【分析】求出函数，再利用导数的几何意义求解判断A；结合单调性、极小值意义判断BC；求出零点个数判断D.
【解析】依题意，，
对于A，，，所求切线方程为，A错误；
对于B，当时，，在区间上单调递增，B正确；
对于C，在上都单调递增，则函数在上单调递增，
，，则存在唯一，使得，
当时，；当时，，因此在处取得极小值，C正确；
对于D，由选项C知，在上有唯一零点，又，
当时，，即，，
因此在区间上有1零点，D错误.
故选：BC
13．ABD
【分析】先由导数求出函数的单调区间，再结合函数的单调性逐一判断即可．
【解析】对于选项A：因为的定义域为，
且，
当时，，当或时，，
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，故A正确
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：对于不等式，因为，
即为不等式的解，但，
所以不等式的解集不为，故C错误
对于选项D：因为，则，且，
可得，
因为函数在上单调递增，所以，故D正确；
故选：ABD
14．AC
【分析】利用指数运算即可判断A选项；利用函数的奇偶性即可判断B选项；利用指数函数的值域即可判断C选项；利用导数求出双曲余弦函数的单调区间，结合函数的单调性即可判断D选项.
【解析】A选项，，故A正确；
B选项，由于双曲余弦函数为偶函数，
双曲正弦函数为奇函数，
则为奇函数，故B错误；
C选项，由，
又，所以，
则，故C正确；
D选项，，令得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以在处取得最小值1.
在上单调递增，且当，；
当，.
所以，当直线与和共有3个交点时，，故D错误.
故选：AC
15．ABC
【分析】求出函数的零点为，根据题中定义可得出函数的零点为，令，可知，直线与函数在上的图象有公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围.
【解析】易证是上的增函数，且，则.
因为与互为“零点相邻函数”，所以，即，解得.
因为，所以，所以在上有解，
即在上有解.设，则.
由，得，由，得，则在上单调递减，
在上单调递增.因为当时，，且，如下图，
所以，即，解得.
故选：ABC
16．BCD
【分析】对于A，设，利用导数判断的零点是否存在；对于B，求函数的反函数即可判断；对于C，设曲线关于直线对称的曲线是，设是曲线上任意一点，则关于直线的对称点在曲线上，代入可求解析式；利用A选项的结论可得D选项的结果.
【解析】已知，，
对于A，设，函数定义域为，，
解得，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，
恒成立，无解，
所以曲线与没有公共点，A选项错误；
对于B，函数的反函数为，
所以关于直线对称的曲线是，B选项正确；
对于C，设曲线关于直线对称的曲线是，
设是曲线上任意一点，则关于直线的对称点为，
代入中，得，即，
所以曲线关于直线对称的曲线是，C选项正确；
对于D，由A选项可知，当时，的最小值为，D选项正确.
故选：BCD.
17．AC
【分析】利用奇函数和中心对称性可得A正确；由可得B错误；由可得C正确；设，由周期性可得D错误.
【解析】对于A，因为，所以，
又是定义在上的奇函数，所以，即，所以图象关于点中心对称，故A正确；
对于B，，所以，
所以，
又是定义在上的奇函数，所以，所以，
所以，所以8不为的周期，故B错误；
对于C，因为，所以，
又当时，，所以，所以，故C正确；
对于D，因为，
设，则
所以4为的周期，
又是定义在上的奇函数，所以，
所以方程等价于在上共有507个不同的实数解.
故选：AC.
18．AC
【解析】结合全称命题真假求参数、充分必要条件，函数单调性问题等逐项判断即可.
【分析】对于A，由，得，由在R上是增函数，
得，因此，A正确；
对于B，不能推出，例如，但；
也不能推出，例如，而；
因此“”是“”的既不充分也不必要条件，B错误；
对于C，，因此，即的取值范围为，C正确；
对于D，解不等式，得，函数的定义域为，
开口向下，对称轴为，则函数的减区间是，D错误.
故选：AC
19．ACD
【分析】根据函数的奇偶性结合“赋值法”可求，判断A的真假，根据奇函数的性质，可判断B的真假；根据函数满足的条件，递推可判断C的真假，再结合奇函数的性质，可判断D的真假.
【解析】对A：因为为奇函数，所以，
令，则，A正确．
对B：由，得，则，即的图象关于点对称，B错误．
对C：当时，，则，，，故C正确；
对D：根据C选项，递推可得：，因为，所以，则，得，故D正确．
故选：ACD
20．ABD
【分析】A选项，根据对称性得到，再结合得到，即可得到的周期，然后利用周期求函数值即可；B选项，利用对称性求解析式，然后判断单调性；C选项，根据得到对称中心；D选项，将函数的零点个数转化为与图象的交点个数，然后结合图象求零点个数.
【解析】因为的图象关于对称，所以，
又，所以，
则，所以，所以，
所以的周期为8，
所以，故A正确；
当时，，所以，
所以，
当时，，所以，
所以，所以在上单调递减，故B正确；
由得的图象关于点对称，故C错；
函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，
由题意得与的图象如下：
由此可得与的图象有2个交点，
所以有2个零点，故D正确.
故选：ABD.
21．
【分析】画出草图，借助对数性质，得到范围.
【解析】根据题意画出图象，得到，
，则，
即，则，则，则.
故答案为：.
22．
【分析】由单调递增得出所满足的不等式组，求解即可.
【解析】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数，
且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值.
所以，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
23．
【分析】根据奇偶性得到，进而推导出是周期为4的函数，利用周期性求函数值即可.
【解析】由为偶函数，，即，
由为奇函数，，即，
所以，即，即，
所以，即是周期为4的函数，
所以，又，
所以.
故答案为：
24．或
【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【解析】令，
则，
由当时，，所以，
即在上是增函数，
由题意是定义在上的偶函数，所以，
所以，
所以是偶函数，在递减，
所以，，
即不等式等价为，
所以，解得或．
故答案为：或
25．
【分析】构造，求导得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可．
【解析】解：令
则，，
当时，，
所以当时，，
，故在上为减函数，
令，
则，
所以，
故不等式的解集为
故答案为：
26．
【分析】要使函数恰有3个零点，即与的图象有3个交点，画出图像，用数形结合即可求得结果.
【解析】令，得，
若，则，；
若，则．
所以
画出其图象如图所示，当时，．
由图可知，要使函数恰有3个零点，即与的图象有3个交点，
则m的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：关键在于得出分段函数的解析式，运用数形结合的思想，求得参数的范围，
27．
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性可得，即可利用二次不等式的解法得解.
【解析】由和在上都是单调递增，知在上单调递增，
又，则为奇函数．
由，得，即，即有，解得．
故答案为：
28．
【分析】设出切点，写出切线方程，依题转化成有两个不同得实数根.设，求得的单调区间和最大值即可得解.
【解析】设切点为，由题得：，故切线的斜率为，切线方程为：，
因切线经过点，则，故有两个不同的实数根.
不妨设，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
故，则，即，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
29．.
【分析】根据分段函数自变量不同取值范围上的函数解析式，分别构造函数，由函数与方程的关系，等价转化为函数求零点与一元二次方程求解问题，可得答案.
【解析】当时，则，令，
求导可得，令，解得，可得下表：
单调递增 极大值 单调递减
由函数的极大值为，则存在唯一零点，
所以函数与函数在上有且仅有一个交点；
当时，，令，
求导可得，显然上，
则函数在上单调递减，
当时，，当时，，
由，则函数在上存在唯一零点，
所以函数与函数在上有且仅有一个交点；
由题意可得函数与函数在上有且仅有一个交点，
当时，，令，
令，整理可得，
当方程有两个相等的实数解时，，解得，
此时，符合题意，
当方程在有一个实数根时，可得，解得，
综上可得.
故答案为：.
30．
【分析】根据导数的几何意义有，即可求参数a的值.
【解析】因为，根据题意有，解得.
故答案为：
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