高中数学分层练习（中档题）06：三角函数与解三角形（30题）（含解析）

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三角函数与解三角形
一、单选题
1．若锐角满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则
A． B．
C． D．
3．函数的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B． C．5 D．
4．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A． B． C．1 D．0
5．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．关于点对称
C．在区间上的最大值为
D．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称
6．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ）
A．3 B．
C． D．3
8．已知函数的定义域为，且满足恒成立，若，则的值可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．已知，且，则（ ）
A． B．2 C． D．或2
10．已知，若满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．函数的最小正周期为，则（ ）
A．的值为2
B．是函数图象的一条对称轴
C．函数在单调递减
D．当时，方程存在两个根，则
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．图象的一个对称中心为
C．的单调递增区间是
D．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到函数的图象
13．在中，，，，的角平分线交于，则（ ）
A．是钝角三角形 B．
C． D．
14．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增
B．关于的方程在上有2个相异实根
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数
15．对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的最小正周期
B．图象可由图象向左平移个单位得到
C．与存在相同的零点
D．与的图象存在相同的对称轴
16．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．函数的图象可以关于点对称
C．函数的图象可以关于直线对称
D．若函数在区间上存在两个零点，则
17．如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．
C．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象
D．当时，
18．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
19．已知，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
20．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的周期为
C．是的一个对称中心 D．在区间上单调递减
三、填空题
21．已知函数关于点中心对称，则 ．
22．已知函数，有两个不同的零点，则m的最大值为 .
23．已知向量，则的最大值为 .
24．已知函数的部分图象如图所示，则正确的有 ．
①的最小正周期为
②当时，的值域为
③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
25．已知，.求 .
26．已知，则 .
27．已知 ，则 .
28．已知，且满足，则 ．
29．已知，则函数的最小值为 ．
30．已知函数的部分图象，如图所示，其中，若，则 .
《三角函数与解三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B D A C B B C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 AD ABC BC AB AB ABD AD AC BC ABD
1．A
【分析】应用同角三角函数关系结合二倍角正弦得出，再应用二倍角余弦公式得出，最后得出正切即可.
【解析】且平方得
，又
，
故选：A．
2．D
【分析】首先利用三角函数正切函数的和差公式计算判定BD，再运用正切函数性质，放缩判定AC.
【解析】，则，则，
整理得到.
因此.故B错误，D正确.
，则，.则.
且.解得.同理得，则，
因此得，则.故AC错误.
故选：D.
3．C
【分析】应用题意计算得，再结合正弦函数的性质判断即可.
【解析】求函数的图象与直线的交点，
可得，，
即得，
令,
根据正弦函数的性质得有1个解，有2个解，有2个解，
所以共有5个解，
函数的图象与直线的交点个数为5.
故选：C.
4．B
【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值.
【解析】由图知，则，
由，则，可得，
又，则，故，
由题意，故.
故选：B
5．D
【分析】A选项，利用辅助角公式化简，然后利用周期公式求；B选项，利用代入检验法判断；C选项，利用换元法求最值；D选项，根据图象的平移得到平移后的解析式，然后判断即可.
【解析】对A，，因为的最小正周期为，所以，解得，故A错；
对B，，所以不关于对称，故B错；
对C，，则，所以当时取得最大值，最大值为2，故C错；
对D，平移后的解析式为，关于轴对称，故D正确.
故选：D.
6．A
【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可；
【解析】由题意可得，解得，又，所以，所以，
，所以，
所以，
所以，即，
因为，，所以，
所以，所以.
故选：A.
7．C
【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可；
【解析】因，，且，
所以，化为.
所以，解得.
所以.
故选：C.
8．B
【分析】先使成立，那么满足及在处单调递减的函数即为可能的，先作出、及的图象观察，总结出在上的单调区间个数即为的值，的首个单调区间和最后一个单调区间均为单调递增区间，位于单调递减区间内，分别画出四个选项的图象，得到答案.
【解析】为便于讨论，我们先使成立，那么满足及
在处单调递减的函数即为可能的，
可以先作出、及的图象观察，
其中和无法满足所有条件，满足条件．
进一步的，可以发现，在上的单调区间个数即为的值，
相邻单调区间的单调性相反，且满足的首个单调区间和
最后一个单调区间均为单调递增区间，位于单调递减区间内．
故时，图象如下：
显然不满足，
时，图象如下：
满足要求，
时，图象如下：
显然，不满足要求，
时，如图如下：
显然不满足要求，
故选：B
9．B
【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数的平方关系和的范围，分别求出和，再由商数关系得到.
【解析】由二倍角公式得，
由两角差的正弦公式得，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
联立得或，
因为，所以，所以，所以.
故选：B.
10．C
【分析】先确定和的零点，使两者的零点重合，通过比较系数，可令，进而可求得的值，然后再验证即可.
【解析】令，解得，
令，解得，
为了使，的零点应该与零点重合，
所以，
令，可得，
因为，所以可取或，
当时，，
因为，
所以明显在同区间内，除零点外两者同号，舍去；
当时，，
因为，
所以明显在同区间内，除零点外两者异号，符合题意.
所以.
故选：C
11．AD
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，根据最小正周期为可得选项A 正确；根据可得选项B错误；令，分析函数的单调性可得选项C错误；把问题转化为直线与函数图象交点个数问题可得选项D正确.
【解析】A.由题意得，，
由得，，A正确；
B.由A得，，故，
∴不是函数图象的一条对称轴，B错误；
C.令，当时，，
根据函数在上不是单调递减函数，可得C错误.
D.令，由得，，
由得，，问题转化为直线与函数的图象在区间上有两个交点，
结合图象可得，故，即，D正确.
故选：AD.
12．ABC
【分析】利用正弦函数的周期公式判断A；求出对称中心判断B；求出单调递增区间判断C；利用三角函数图象的变换规则判断D.
【解析】对于A：因为，所以周期，故A正确；
对于B：令，得，
时可得该函数图象的一个对称中心为，故B正确；
对于C：由，解得，的单调递增区间为，故C正确；
对于D：把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到，故D错误，
故选：ABC．
13．BC
【分析】根据三角形内角和为可求出角，即可判断选项A，根据正弦定理可判断B和D，根据三角形的角度可到选项C.
【解析】对于A，因为，，
所以，
三个角度都小于，所以是锐角三角形，选项A错误；
对于B，根据正弦定理，
因为，，，
得，选项B正确；
对于C，因为的角平分线交于，，所以，
由选项A可得，则，
因为，所以，选项C正确；
对于D，在中，根据正弦定理可得，
因为，，，，
所以，故选项D错误.
故选：BC.
14．AB
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【解析】由的图象得，，解得，
所以，又，所以，
解得，又，所以，所以，
由，解得，
即的单调递增区间为，
令得，又，
所以在上单调递增，故A正确；
当，则，
令，即，所以在上单调递增，
且，所以；
令，即，所以在上单调递减，且；
所以当时，在上有两个不相等的实根，故B正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故C错误；
将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
显然为奇函数，故D错误．
故选：AB
15．AB
【分析】对于，分别求解与的最小正周期即可判断；对于，将图象向左平移个单位得到函数解析式即可判断；对于，求解的零点代入即可判断；对于，求出的对称轴方程代入即可判断.
【解析】对于，的最小正周期为，的最小正周期为，
所以与有相同的最小正周期，故正确；
对于，图象向左平移个单位，
可得，故正确；
对于，令，，则，，
所以的零点为，，
，故错误；
对于，的对称轴方程为，，所以，，
所以，故错误.
故选：.
16．ABD
【分析】对A，根据辅助角公式化简判断即可；对B，根据对称点公式求解即可；对C，根据对称轴公式求解即可；对D，令，可得，再结合区间求解即可.
【解析】对于A，，所以的最大值为2，故A正确．
对于B，若的图象关于点对称，则，得，当时，，符合，故B正确．
对于C，若的图象关于直线对称，则，得，
易知当时，，当时，，与不符，则C错误．
对于D，令，则由，得，由，
得，由，得，
所以，解得，又，所以，故D正确．
故选：ABD
17．AD
【分析】对A，根据过判断即可；对B，由相邻可得，，再根据求解；对C，由的函数解析式与平移变化分析即可；对D，根据正弦函数的值域判断即可.
【解析】对A，由过可得，即，由图结合可得，故A正确；
对B，由可得，即或，
由相邻可得，，
故，又，则，可得，故B错误；
对C，由AB可得，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，故C错误；
对D，当时，，故，
则，故D正确.
故选：AD
18．AC
【分析】由已知可得，进而利用三角恒等变换可得，分，两种情况讨论，结合三角形的面积公式即可求解．
【解析】，且，
，
即，
又，
，
即．
当时，可得，
；
当时，，
由正弦定理可知，
为等腰三角形，
又．
．
综上可知，的面积为或．
故选：AC.
19．BC
【分析】根据正弦函数单调性判断A，根据余弦函数单调性判断B，根据诱导公式及同角三角函数关系判断C，根据诱导公式判断D.
【解析】因为在上不单调，所以，则不成立，故A错误；
因为在上单调递减，所以，则成立，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，，
所以或，即或，故D错误.
故选：BC
20．ABD
【分析】先用倍角公式合并，再作出图象，利用图象性质进行判断.
【解析】，画出函数图象，如图所示：

根据图象，过最值点和零点的垂线都是对称轴，，
所以的图象关于直线对称，故A正确；
函数周期，故B正确；
，则是的一个对称轴，无对称中心，故C错误；
当时，，此时，且单调递减，故D正确.
故选：ABD.
21．
【分析】由对称中心求得，再通过诱导公式可求的值.
【解析】令，可得：，结合，
令，可得，得，解得，
所以，
所以
.
故答案为：.
22．
【分析】令，化简，由求出，分别求出和在上的前两个根，作出图像，结合图像即可得出答案.
【解析】令，因为，所以，
所以，所以，
所以，
令，解得：或，如图所示，

因为在上的前两个根分别为，
在上的前两个根分别为，
因为函数在有两个不同的零点，
所以，所以m的最大值为.
故答案为：.
23．
【分析】首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示、三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得.
【解析】因为，
所以，
所以
，
所以当，即时取得最大值，且.
故答案为：
24．①④
【分析】由图象及三角函数的性质可得函数的解析式，进而判断出所给命题的真假．
【解析】对于①：由图可知：，故①正确；
由，知，
因为，所以，所以，即，，
又因为，所以，
所以函数为；
对于②：当时，，所以，故②错误；
对于③，由题意得到的图象，故③错误；
对于④：由题意得到的图象，
因为当时，，可得到的图象关于点对称，故④正确．
故选：①④．
25．
【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求出即可得解.
【解析】令，则的定义域为，
因为，
所以为奇函数，
从而，即，
因为，所以.
答案：.
26．
【分析】利用正弦函数的和角公式以及辅助角公式，整理化简等式，再利用诱导公式以及余弦的二倍角公式，可得答案.
【解析】因为，即，
所以.
故答案为：
27．/
【分析】利用诱导公式，即可求出答案.
【解析】因为，
所以
.
故答案为：.
28．
【分析】应用同角三角函数关系结合两角差的余弦化简，应用角的范围或应用三角恒等变换结合角的范围得出，最后应用二倍角余弦公式计算.
【解析】法一：由，则，
因此，
又因为，
所以，所以，
则．
法二：由，则，
结合则，
则．
故答案为：.
29．
【分析】令，利用二次函数的性质求出 的最小值，此时当时，最小.
【解析】令，
则
因为，所以当时， 函数取得最小值 ，此时，
当时，，所以，
故答案为：
30．
【分析】利用图象并结合正弦函数性质判断，的位置，再结合建立方程，求解参数即可.
【解析】由图象并结合正弦函数性质可得是离原点最近且使图象上升的零点，
是图中离最近且使图象下降的零点，则，，
得到，，则两式相除得，
因为，所以，解得.
故答案为：
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