高中数学分层练习（中档题）07：数列（30题）（含解析）

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数列
一、单选题
1．设为数列的前项和，若，则（ ）
A．520 B．521 C．1033 D．1034
2．已知等差数列的项数为，若该数列前3项的和为3，最后三项的和为63，所有项的和为110，则n的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．已知正项数列满足，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，设，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
6．设等差数列的前n项和为，若，，，则m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知等比数列的公比q大于0，前n项和为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设数列的前项之积为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．如果等比数列的各项均为正数，其前n项和为，且，设，那么（ ）
A． B． C． D．
10．大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．中最大的是
12．设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（ ）
A．时，取最大值 B．
C．若， D．若时，
13．设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知等差数列的前项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．当时，的最大值为18
15．已知数列是等差数列，且满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．最小 C． D．
16．已知等差数列前n项和为，公差为，是和的等比中项，则（ ）
A． B．数列是递增数列
C． D．有最大值为
17．1202年，斐波那契从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ）
A． B．为奇数
C． D．
18．记数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前项和为 D．数列的前2025项的和为-2024
19．已知定义在上的函数满足，其中表示不超过x的最大整数，如[，．当时，，设为从小到大的第n个极小值点，则（ ）
A． B．
C．数列是等差数列 D．
20．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，依此类推．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
21．将正整数n分解成两个正整数，的积，即，当，的两数差的绝对值最小时，称为正整数n的最优分解，如为20的最优分解．当为n的最优分解时，定义，则数列的前2025项和为 ．
22．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为 .
23．若数列是等比数列，且其前n项和为，则实数
24．已知公比不为的等比数列中，存在，满足，则的最小值为 ．
25．已知数列满足若为最大项，则 .
26．数列中，满足，，则 ．
27．已知数列满足，则 .
28．已知数列满足，则 ．
29．已知数列解前项和为，若，则 ， .
30．已知等比数列的公比大于2，存在，使恰是中的某一项，则q的值为 ．
《数列》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D D B D C C A
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 BD BC BC AB ACD AC ACD AC BC BCD
1．C
【分析】根据给定条件，利用求出，进而求出即可得解.
【解析】数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，
则，即，于是，所以．
故选：C
2．A
【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解.
【解析】设这个数列有n项，则，，
因此，即，
则，解得
故选：A
3．A
【分析】首先对已知等式进行变形，得到数列的性质，判断出它是等差数列，然后根据等差数列的通项公式以及已知的来逐步求出的值.
【解析】已知，等式两边同时除以（因为是正项数列，），
可得.这表明数列是公差为的等差数列.
已知，那么.
对于等差数列，其通项公式为（为公差），这里.
当时，.
把代入上式，可得，解得.
故选：A.
4．D
【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质及前和公式求解.
【解析】在等差数列中，设，
依题意，，解得，
而，，
所以.
故选：D
5．D
【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解.
【解析】因为①，
当时，②，
由①②得到，得到，
又时，，满足，所以，则，
所以，
则数列的前项和为，
故选：D.
6．B
【分析】先利用与的关系求出和，进而得到公差，再结合求出，最后根据通项公式求出.
【解析】根据与的关系，（）.
已知，，那么.
又因为，，所以.
所以公差.
已知，将其代入前项和公式，因为，所以.
又已知，那么.
已知，，，代入通项公式可得：
, 得.
故选：B.
7．D
【分析】根据数列的单调性判断两命题之间的逻辑推理关系，即得答案.
【解析】若取，，那么，则数列为单调递增数列，
此时，则数列为单调递减数列，
所以“数列为单调递增数列”不能推出“数列为单调递增数列”，
若取，，则，
显然数列是单调递增数列，
此时，数列是单调递减数列，
所以“数列为单调递增数列”不能推出“数列为单调递增数列”，
综上“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D
8．C
【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值．
【解析】由，得，即，解得，
当时，，显然，则，
因此数列是首项为，公差为2的等差数列，，
则，所以.
故选：C
9．C
【分析】设等比数列的公比为，由已知可得，求解可得的通项公式，进而求得，进而利用裂项相消法求得.
【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，
所以，解得或，
又等比数列的各项均为正数，所以，
所以等比数列的通项公式为，所以，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
10．A
【分析】通过令时，得到，当时得到，两式联立得到，从而得到奇数项，再由递推公式得到偶数项，进而逐项判断即可；
【解析】因为，，
令且，
当时，①；
当时，②，
由①②联立得．
所以，
累加可得．
令(且为奇数)，得，
当时满足上式，
所以当为奇数时，．
当为奇数时，，
所以，其中为偶数．
所以，故C正确．
所以，故A错误．
当为偶数时，，即，
当为奇数时，，即，
综上可得，故B正确．
因为
，故D正确．
故选：A．
11．BD
【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解.
【解析】对于AC：因为，
且，
所以，，又因为，
所以，解得；
所以等差数列是递减数列，故AC错误；
对于B：因为，所以，故C正确；
对于D：因为等差数列是递减数列，
且，，则，，
所以，，故D正确.
故选：BD.
12．BC
【分析】首先根据得到，再依次判断选项即可得到答案.
【解析】等差数列中，
∵，∴，解得，
对选项A，因为，
所以，
因为无法确定的正负性，所以无法确定是否有最大值，故A错误，
对选项B，，故B正确，
对选项C，因为，所以，故C正确，
对选项D，，，
∵，∴、，，故D错误，
故选：BC.
13．BC
【分析】由可求得，结合可排除，知B正确；由等比数列通项公式知A错误；利用作差法可知C正确；根据等比数列求和公式可判断D错误.
【解析】对于B，当时，，，又，，
或；
当时，，，与矛盾，，B正确；
对于A，，A错误；
对于C，，，，，即，C正确；
对于D，，又，，D错误.
故选：BC.
14．AB
【分析】对于A：根据等差数列定义分析判断；对于B：根据等差数列的函数特征分析判断；对于C：根据前项和的定义分析判断；对于D：根据等差数列的求和公式结合的符号性分析判断.
【解析】对于选项A：因为数列为等差数列，且，
可得，即，故A正确；
对于选项B：因为，可知等差数列的公差，
所以等差数列为递减数列，即，故B正确；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：当时，；当时，；
即，
当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，
所以当时，的最小值为18，故D错误；
故选：AB.
15．ACD
【分析】设等差数列公差为d，由题可得，据此结合等差数列性质可判断各选项正误.
【解析】对于D，设等差数列公差为d，由题意，知，则，即，故D正确；
对于A，，故A正确；
对于B ，因，则，
故，
当，又离最近整数为4或5，则或最大，由题无法确定符号，故B错误；
对于C，由D分析，，则由等差数列性质可得，
则，故C正确.
故选：ACD
16．AC
【分析】利用等差数列通项以及等比中项定义计算可得，可得A正确；由于不明确公差的符号，所以BD错误，由等差数列前n项和公式可得C正确.
【解析】设等差数列的公差为，
由是和的等比中项可得，
可得，即，即A正确；
对于B， 由A可知，因为不知道的正负，因此公差的符号不确定，
所以数列的单调性不确定，即B错误；
对于C，易知，所以C正确，
对于D，根据B选项可知数列的单调性不确定，因此不一定有最大值，可得D错误.
故选：AC
17．ACD
【分析】列出数列前几项，可计算得选项A正确，再观察数列数字的特点可得B；由递推公式计算判断选项C，选项D.
【解析】解：对于A，记该数列为，由题意知，，，，，，，，
，，，故A正确;
对于B，因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，
此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，而，
故为偶数，故B错误;
对于C，由题意知，所以，
，故C正确;
对于D，，，，，
，
将这些等式左右两边分别相加得：
，
所以，D选项正确.
故选：
【点睛】关键点点睛：根据“斐波那契数列”的递推关系列出数列前几项，观察数列数字的特点，再由递推公式即可求得结果.
18．AC
【分析】根据求出，再结合等差数列性质公式，利用裂项相消法和分组求和计算判定即可.
【解析】数列的前项和，当时，，
而满足上式，因此.
对于A，，A正确；
对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误；
对于C，，数列的前项和为，C正确；
对于D，，
则数列的前2025项的和为，D错误.
故选：AC.
19．BC
【分析】应用已知计算判断A，化简计算判断B，应用极值点定义结合等差数列定义判断C，应用递推公式得出等比数列计算判断D.
【解析】因为，故A选项错误；
当时，，等式两边同时加，得，
故，，故B选项正确；
当时，设，则极小值点为，
所以当时，，此时，的极小值点为，
即，所以，数列是等差数列，故C选项正确；
所以设，则，，，
为首项是，公比为2的等比数列，
所以，当时，，故D选项错误．
综上所述，应选BC．
故选：BC.
20．BCD
【分析】由题意及等差数列前n项和公式得，进而求出前几项及判断A、B、C；应用裂项相消法求和判断D.
【解析】由题意知，，，，，，
故，
所以， ，，故A错误;
故，故B正确；
因为，故C正确；
因为，所以，
所以，故D正确．
故选：BCD
21．/
【分析】利用最优分解的思想，结合分类讨论，就可得到数列通项，从而求和即可.
【解析】当，时，，所以；
当，时，，所以；
所以数列的前2025项和为：
.
故答案为：.
22．32
【分析】设丢失的数据为，根据题意求平均数、中位数、众数，分、和三种情况，结合等差中项运算求解.
【解析】设丢失的数据为，
则平均数为，众数是8，
若，则中位数为8，此时，解得舍去）；
若，则中位数为，此时，解得；
若，则中位数为10，此时，解得；
所有可能的值为9，23，其和为32.
故答案为：32.
23．
【分析】由等比数列前项和的特点即可求解；
【解析】 ∵，且为等比数列，
由等比数列前项和的特点，
可得：，即．
故答案为：
24．
【分析】根据等比数列的性质可得，再根据基本不等式结合对勾函数性质求解即可.
【解析】设的公比为，因为，则，故，.
则，
当且仅当，即时等号成立，此时，但.
结合对勾函数的性质，当时，；
当时，，
因为，故的最小值为，此时.
故答案为：
25．5或6
【分析】先由递推公式构造数列，得到等比数列，求出通项公式，借助指数函数性质，得到最大项时的项数.
【解析】由得，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
从而可得到，
所以最大项是第5项或第6项，故或
故答案为：或
26．/
【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和.
【解析】因为，所以.
所以，，，…，（）.
各式相乘，可得：，
显然满足上式，则，
所以数列的前项和为，
所以.
故答案为：.
27．；
【分析】由题意可得，可得，两式相减可求通项公式.
【解析】由，可得，
所以，
两式相减得，
所以，
当时，，所以，适合上式，
所以.
故答案为：.
28．
【分析】由题意整理数列的通项公式，利用列举法与观察可得通项，可得答案.
【解析】由，则，
所以，
可得，即，经检验，符合题意，
故.
故答案为：.
29． 78
【分析】由，当时解得，当时解得即可求出；当时由即可得，即得数列为等比数列即可求解.
【解析】当时，，解得，
当时，，解得，则.
当时，由得，
两式相减整理得，
即，因为，所以数列是首项为9，公比为9的等比数列，则，即.
故答案为：78；
30．
【分析】假设，且，列出等式，再对分情况讨论，即可求得结果.
【解析】假设，且，
即，
，
从而，
当时，（舍去）；
当时，，
；
当时，记，
则．证明如下：
，
，
．
综上，．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据题干得到，列出等式，再对分情况讨论.
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