【培优练】人教版初中数学八年级下册 17.1 勾股定理
一、选择题
1．（2023八下·阳泉期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·花都期末）如图， 在 Rt 中， 。若 ， 则正方形 和正方形 的面积和为 ( )
A．80 B．100 C．200 D．无法确定
3．（2024八下·广州期中）已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（ ）cm．
A．5 B．6 C． D．
4．（2024八下·武鸣期中）小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2.2米 B．2.4米 C．2.6米 D．2.8米
5．（2024八下·苍梧期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
6．（2024八下·绵阳月考）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．5 D．
7．（2024八下·汉阴期中）如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（ ）
A．m B．m C．m D．m
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2024八下·龙华期末）如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（ ）
A． B．6 C． D．5
10．（2024八下·东莞期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八下·田阳期中）如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
二、填空题
12．（2024八下·江海期中） 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB=5，AE=4，则正方形EFGH的面积为 ．
13．（2024八下·湛江期中）如图，在中，，，点，在数轴上对应的数分别为，．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则与点对应的数是 ．
14．（2024八下·金平期中）在中，，．若点 P在边AC上移动，则线段BP的最小值是 ．
15．（2024八下·澄海期末）如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积S= ．
16．（2024八下·江门期中）如图1是小强在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景；图2是小强锻炼时上半身由位置运动到与地面垂直的位置时的示意图，已知米，，则M、N两点的距离是 米．
17．（2023八下·五华期中）如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．
三、解答题
18．（2020八下·福州期末）水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
19．（2024八下·廉江月考）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米.
（1）求公路CD、AD的长度；
（2）若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用．
20．（2024八下·隆回期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节．某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度如图，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
21．（2024八上·深圳期中）小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开.如图，点处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度，已知小聪的身高为1.8米，当他走到离门2.4米时（米），感应门自动打开，即，求感应器的离地高度为多少米？
22．（2024八下·荆州期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为，
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
23．（2024八下·岳池期末）如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝5km，BC＝12km，AB＝13km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为3km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？
24．（2024八下·渠县期中）等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD＝PC．
（1）如图1，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，DE．
①求证：BP∥DE；
②∠BAE＝ ▲ ；若BP⊥AC，求∠AED的度数；
（2）如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP＝1，求AD的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
B、由图形可得：，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
C、由图形可得：，
∴该选项不能证明勾股定理；
D、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用勾股定理证明求解即可。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴正方形和正方形的面积和为，
故答案为：B
【分析】根据正方形的面积结合勾股定理即可求解。
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解： 设两直角边为x和y，
根据题意可得：，．
∴xy=12，
∴（x+y）2=49，
∴x2+y2+2xy=49．
∴x2+y2=49-2xy=25．
∴斜边长=（cm）；
故答案为：A．
【分析】设两直角边为x和y，先求出，，再利用完全平方公式及变式可得x2+y2=49-2xy=25，最后利用勾股定理求出斜边长=（cm）即可.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作于，
，
由题意可得：，，，
，
，
，
，
适合小华的绳长为2.6米，
故选：C．
【分析】作于，由题意可得：，，，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，则，即适合小华的绳长为2.6米．
5．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∴，
故选：B．
【分析】
首先在给定的方格纸上确定点A、B、C的坐标，然后应用勾股定理计算AB、BC、AC三线段的平方长度，然后代入即可求解．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，
故答案为：B．
【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解∶ 在中，m，m，
根据勾股定理得， m
在中，m，m，
根据勾股定理得， m，
∴ m，
故答案为∶A．
【分析】根据勾股定理进行计算即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离AD=3．
故选A．
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解： 在中 ，∠ACB=90°，，，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵为等腰三角形，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴△CDE的周长为，
故答案为：D．
【分析】在Rt△ABC中，先根据勾股定理得到BC=3，然后根据三角形外角性质推出∠DEB＞90°，进而根据等腰三角形的性质得到DE=BE，然后根据等边对等角及等角的余角相等推出∠CDA=∠A，由等角对等边得CD=CA，然后根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可将△CDE的周长转化为CA+CB，从而代入计算可得答案.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AD=AB=2，
∴，
∴CD=；
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出DE的长，再利用线段的和差求出CD的长即可.
11．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，连接AC，AC'，木棒沿AC'放置，AC'的长度就是能放木棒的最大长度，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，
∴AC=cm，
在Rt△ACC'中，∠ACC'=90°，AC=cm，CC'=2cm，
∴AC'==7cm．
故答案为：B．
【分析】连接AC，AC'，木棒沿AC'放置，AC'的长度就是能放木棒的最大长度，根据长方体可得∠B=90°，∠ACC'=90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC，在Rt△ACC'中，利用勾股定理算出AC'即可.
12．【答案】1
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB=5，AE=4，由勾股定理得BE=3，∴ 每个直角三角形的面积为3×4÷2=6，
∴ 正方形EFGH的面积为5×5-6×4=25-24=1．
故答案为：1.
【分析】先根据勾股定理求出BE，再求出直角三角形的面积，最后求出正方形的面积即可.
13．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=BC=1
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，
∴，
∴点D表示的数是．
故答案为：．
【分析】
本题考查数轴与实数的对应关系和勾股定理，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解题的关键．
根据勾股定理：在Rt△ABC中，，再根据题意可知：，即点D到点A的距离是，因为点A对应的数是1，且点D在点A的左侧，所以点D表示的数是，由此即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵，，
∴BD=CD=3，AD=，
根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，
则由S△ABC=，可得，解得；
即线段BP的最小值是．
故答案为：．
【分析】
如图，作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD=3，在Rt△ABD在根据勾股定理可求出AD，根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，再利等积法求解即可．
15．【答案】50
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，∴，则，∴，在和中，∴，∴，同理可证得：，∴，又由勾股定理可得：，则，故，，则图中实线所围城的图形的面积是：
故答案为：50.
本题主要考查了三角全等的判定及性质，等量代换及图形，面积拆分的思想.根据已知条件可得：
，然后运用等量代换的思想求得：，进而求得，得到：，然后再运用同样的方法求得：，进而运用勾股定理求得，然后根据进行求解即可.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得：米，，过N作于E，
，，
，，
，
米，
米，
在中，米，
米；
故答案为：.
【分析】过N作于E，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得米，再利用线段的和差求出ME的长，再利用勾股定理求出MN的长即可.
17．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理，，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】作，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（ ）2=（x+1）2，
解得：x=12，
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
19．【答案】（1）解：千米，千米，
（千米），
千米，
千米，
（千米）；
（2）解：，
解得千米，
修建公路DH的费用为（万元）.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求解即可.
（）根据三角形的等面积方法，即可计算DH的长度，再根据长度和每千米的费用计算总费用即可．
20．【答案】（1）解：根据题意得：，，，，，，∴，，
∴，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴风筝的垂直高度为米；
（2）如图，在上取点，使，连接，
∴，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴他应该往回收线米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）在CD上取点M，使CM=9，根据勾股定理求出DM，再计算BC -BM即可；
21．【答案】解：如图，过点作于点，
由题意得，米，米，
设米，则米，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
所以米，
答：感应器的离地高度为2.5米.
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】过点作于点，设米，则米，利用勾股定理可得，再求出x的值即可.
22．【答案】（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∵，
∴台风中心经过从B点移到D点；
（2）解：在射线上取点E、F，使得，如图，
由题意得，
在中，，
∴，∴，
∴A市受到台风影响的时间持续.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算BD长度，再根据时间=路程÷速度计算即可.
（2）在射线上取点E、F，使得，利用勾股定理求出ED，进而得到EF，最后利用时间=路程÷速度计算即可.
23．【答案】解：如图，过B作 BD⊥公路于D，
∵52+122＝132
∴AC2+BC2＝AB2，
∵△ABC 是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠1＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
在 Rt△BCD 中，∵∠BCD＝60°
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BC＝×12＝6（km），
∵6÷3＝2（h），
∴2小时后这人距离B送奶站最近．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】过点B作 BD⊥公路于D，进而根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，且∠ACB＝90°，进而即可得到∠1的度数，再求出∠BCD的度数，从而根据含30°角的直角三角形的性质得到CD的长，再用路程除以速度即可求出时间。
24．【答案】（1）①证明：在与中，
∴，∴，∴．
∵是等边三角形，
∴，，∴，
又∵，∴，
∴，
∴．
分别延长，，交于点F，如图，
∵，且，
∴，∴．
∵，∴．
故答案为：90°；
（2）延长到点E，使，连接，．
由（1）②得，
又是等边三角形，，
∴，即，
由勾股定理得，．
∵，
∴，，∴．
又∵，∴，即，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）①证明，可得，从而可证．
②由等边三角形的性质及等腰三角形的性质可求出∠EAC=30°，利用即可求解；分别延长，，交于点F，由平行线的性质可推出，利用直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）延长到点E，使，连接，，由勾股定理求出，由①知，可得，，利用平行线的性质及垂直可推出，利用勾股定理即可求出AD的长.
1 / 1【培优练】人教版初中数学八年级下册 17.1 勾股定理
一、选择题
1．（2023八下·阳泉期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
B、由图形可得：，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
C、由图形可得：，
∴该选项不能证明勾股定理；
D、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用勾股定理证明求解即可。
2．（2024八下·花都期末）如图， 在 Rt 中， 。若 ， 则正方形 和正方形 的面积和为 ( )
A．80 B．100 C．200 D．无法确定
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴正方形和正方形的面积和为，
故答案为：B
【分析】根据正方形的面积结合勾股定理即可求解。
3．（2024八下·广州期中）已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（ ）cm．
A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解： 设两直角边为x和y，
根据题意可得：，．
∴xy=12，
∴（x+y）2=49，
∴x2+y2+2xy=49．
∴x2+y2=49-2xy=25．
∴斜边长=（cm）；
故答案为：A．
【分析】设两直角边为x和y，先求出，，再利用完全平方公式及变式可得x2+y2=49-2xy=25，最后利用勾股定理求出斜边长=（cm）即可.
4．（2024八下·武鸣期中）小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2.2米 B．2.4米 C．2.6米 D．2.8米
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作于，
，
由题意可得：，，，
，
，
，
，
适合小华的绳长为2.6米，
故选：C．
【分析】作于，由题意可得：，，，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，则，即适合小华的绳长为2.6米．
5．（2024八下·苍梧期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∴，
故选：B．
【分析】
首先在给定的方格纸上确定点A、B、C的坐标，然后应用勾股定理计算AB、BC、AC三线段的平方长度，然后代入即可求解．
6．（2024八下·绵阳月考）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，
故答案为：B．
【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求出答案.
7．（2024八下·汉阴期中）如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（ ）
A．m B．m C．m D．m
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解∶ 在中，m，m，
根据勾股定理得， m
在中，m，m，
根据勾股定理得， m，
∴ m，
故答案为∶A．
【分析】根据勾股定理进行计算即可求出答案.
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离AD=3．
故选A．
9．（2024八下·龙华期末）如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（ ）
A． B．6 C． D．5
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解： 在中 ，∠ACB=90°，，，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵为等腰三角形，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴△CDE的周长为，
故答案为：D．
【分析】在Rt△ABC中，先根据勾股定理得到BC=3，然后根据三角形外角性质推出∠DEB＞90°，进而根据等腰三角形的性质得到DE=BE，然后根据等边对等角及等角的余角相等推出∠CDA=∠A，由等角对等边得CD=CA，然后根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可将△CDE的周长转化为CA+CB，从而代入计算可得答案.
10．（2024八下·东莞期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AD=AB=2，
∴，
∴CD=；
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出DE的长，再利用线段的和差求出CD的长即可.
11．（2024八下·田阳期中）如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，连接AC，AC'，木棒沿AC'放置，AC'的长度就是能放木棒的最大长度，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，
∴AC=cm，
在Rt△ACC'中，∠ACC'=90°，AC=cm，CC'=2cm，
∴AC'==7cm．
故答案为：B．
【分析】连接AC，AC'，木棒沿AC'放置，AC'的长度就是能放木棒的最大长度，根据长方体可得∠B=90°，∠ACC'=90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC，在Rt△ACC'中，利用勾股定理算出AC'即可.
二、填空题
12．（2024八下·江海期中） 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB=5，AE=4，则正方形EFGH的面积为 ．
【答案】1
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB=5，AE=4，由勾股定理得BE=3，∴ 每个直角三角形的面积为3×4÷2=6，
∴ 正方形EFGH的面积为5×5-6×4=25-24=1．
故答案为：1.
【分析】先根据勾股定理求出BE，再求出直角三角形的面积，最后求出正方形的面积即可.
13．（2024八下·湛江期中）如图，在中，，，点，在数轴上对应的数分别为，．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则与点对应的数是 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=BC=1
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，
∴，
∴点D表示的数是．
故答案为：．
【分析】
本题考查数轴与实数的对应关系和勾股定理，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解题的关键．
根据勾股定理：在Rt△ABC中，，再根据题意可知：，即点D到点A的距离是，因为点A对应的数是1，且点D在点A的左侧，所以点D表示的数是，由此即可得出答案．
14．（2024八下·金平期中）在中，，．若点 P在边AC上移动，则线段BP的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵，，
∴BD=CD=3，AD=，
根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，
则由S△ABC=，可得，解得；
即线段BP的最小值是．
故答案为：．
【分析】
如图，作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD=3，在Rt△ABD在根据勾股定理可求出AD，根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，再利等积法求解即可．
15．（2024八下·澄海期末）如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积S= ．
【答案】50
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，∴，则，∴，在和中，∴，∴，同理可证得：，∴，又由勾股定理可得：，则，故，，则图中实线所围城的图形的面积是：
故答案为：50.
本题主要考查了三角全等的判定及性质，等量代换及图形，面积拆分的思想.根据已知条件可得：
，然后运用等量代换的思想求得：，进而求得，得到：，然后再运用同样的方法求得：，进而运用勾股定理求得，然后根据进行求解即可.
16．（2024八下·江门期中）如图1是小强在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景；图2是小强锻炼时上半身由位置运动到与地面垂直的位置时的示意图，已知米，，则M、N两点的距离是 米．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得：米，，过N作于E，
，，
，，
，
米，
米，
在中，米，
米；
故答案为：.
【分析】过N作于E，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得米，再利用线段的和差求出ME的长，再利用勾股定理求出MN的长即可.
17．（2023八下·五华期中）如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理，，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】作，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答题
18．（2020八下·福州期末）水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
【答案】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（ ）2=（x+1）2，
解得：x=12，
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
19．（2024八下·廉江月考）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米.
（1）求公路CD、AD的长度；
（2）若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用．
【答案】（1）解：千米，千米，
（千米），
千米，
千米，
（千米）；
（2）解：，
解得千米，
修建公路DH的费用为（万元）.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求解即可.
（）根据三角形的等面积方法，即可计算DH的长度，再根据长度和每千米的费用计算总费用即可．
20．（2024八下·隆回期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节．某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度如图，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：根据题意得：，，，，，，∴，，
∴，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴风筝的垂直高度为米；
（2）如图，在上取点，使，连接，
∴，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴他应该往回收线米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）在CD上取点M，使CM=9，根据勾股定理求出DM，再计算BC -BM即可；
21．（2024八上·深圳期中）小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开.如图，点处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度，已知小聪的身高为1.8米，当他走到离门2.4米时（米），感应门自动打开，即，求感应器的离地高度为多少米？
【答案】解：如图，过点作于点，
由题意得，米，米，
设米，则米，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
所以米，
答：感应器的离地高度为2.5米.
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】过点作于点，设米，则米，利用勾股定理可得，再求出x的值即可.
22．（2024八下·荆州期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为，
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
【答案】（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∵，
∴台风中心经过从B点移到D点；
（2）解：在射线上取点E、F，使得，如图，
由题意得，
在中，，
∴，∴，
∴A市受到台风影响的时间持续.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算BD长度，再根据时间=路程÷速度计算即可.
（2）在射线上取点E、F，使得，利用勾股定理求出ED，进而得到EF，最后利用时间=路程÷速度计算即可.
23．（2024八下·岳池期末）如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝5km，BC＝12km，AB＝13km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为3km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？
【答案】解：如图，过B作 BD⊥公路于D，
∵52+122＝132
∴AC2+BC2＝AB2，
∵△ABC 是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠1＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
在 Rt△BCD 中，∵∠BCD＝60°
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BC＝×12＝6（km），
∵6÷3＝2（h），
∴2小时后这人距离B送奶站最近．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】过点B作 BD⊥公路于D，进而根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，且∠ACB＝90°，进而即可得到∠1的度数，再求出∠BCD的度数，从而根据含30°角的直角三角形的性质得到CD的长，再用路程除以速度即可求出时间。
24．（2024八下·渠县期中）等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD＝PC．
（1）如图1，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，DE．
①求证：BP∥DE；
②∠BAE＝ ▲ ；若BP⊥AC，求∠AED的度数；
（2）如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP＝1，求AD的长．
【答案】（1）①证明：在与中，
∴，∴，∴．
∵是等边三角形，
∴，，∴，
又∵，∴，
∴，
∴．
分别延长，，交于点F，如图，
∵，且，
∴，∴．
∵，∴．
故答案为：90°；
（2）延长到点E，使，连接，．
由（1）②得，
又是等边三角形，，
∴，即，
由勾股定理得，．
∵，
∴，，∴．
又∵，∴，即，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）①证明，可得，从而可证．
②由等边三角形的性质及等腰三角形的性质可求出∠EAC=30°，利用即可求解；分别延长，，交于点F，由平行线的性质可推出，利用直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）延长到点E，使，连接，，由勾股定理求出，由①知，可得，，利用平行线的性质及垂直可推出，利用勾股定理即可求出AD的长.
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