2025届高一下学期数学期中综合模拟试题（人教A ）（一）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025届高一下学期数学期中综合模拟试题（人教A ）（一）
一、单选题
1．已知复数，则其共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C．6 D．
3．已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量、满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵.阳马和鳖臑的体积分别为，则下列等式正确的是（ ）

A． B．
C． D．
7．已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（ ）
A． B． C．6 D．
二、多选题
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
10．若复数满足，则（ ）
A．为纯虚数 B．
C． D．
11．中，内角的对边分别为，为的外心，，，的面积满足.若.则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为 ．
13．如图．已知矩形中，，，分别是，的中点，则 ．

14．在四面体ABCD中，，，，，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为 ，四面体ABCD的体积为 .
四、解答题
15．已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)若向量与平行，求实数的值．
16．知复数，复数在复平面内对应的点为
(1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值：
(2)若复数满足，求复数的共轭复数.
17．在中，内角，，的对边分别为，，，满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最小值．
18．某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14.

(1)求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；
(2)为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）
19．如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角．
(1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径；
(2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：；
(3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：．
参考答案
1．C
由复数乘法法则计算出后可得其共轭复数．
，所以．
故选：C．
2．D
根据共线向量的坐标公式求解即可．
由，得，解得，
故选：．
3．B
根据圆柱侧面积和球表面积公式列方程，解方程即可.
设圆柱的母线长为，则，解得.
故选：B.
4．B
利用正弦定理求出，即可求出．
由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以，
则，
故选：B．
5．C
设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算性质可得出，再利用投影向量的定义可求得结果.
设向量、的夹角为，因为，可得，
所以，在上的投影向量为.
故选：C.
6．C
根据题设得，，再分析阳马与鳖臑的体积数量关系，即可判断各项正误.
由题意可知：，，
如下图，连接，将阳马一分为二，

因为，
可得，，
则，故，
所以ABD错，C正确.
故选：C.
7．C
根据数量积的运算律及平面向量夹角公式计算即可．
由，得，
由，得，整理得，
所以，则，
设向量的夹角为，则．
故选：．
8．B
先由体积公式与已知数据待定圆台母线与高，再利用侧面展开图中距离求解最短路径长即可.
由圆台轴截面为等腰梯形，故对边不是母线，分别是下、上底面圆的直径.
故由，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，
设圆台的高为，由圆台的体积为，
得，解得.
在梯形中，则，即母线长为.
如图，由圆台性质，延长交于点，
由与相似，得，解得.
设该圆台的侧面展开图的圆心角为，
则，所以，
连结，则从点到的最短路径为线段，
又在中，，，
由余弦定理得
所以.
验证知，由，得，，
此时，恰与扇形弧所在圆相切，满足题意.
故选：B.
9．BD
利用向量的有关知识即可得出．
．若，则方向不一定相同，即两向量不一定相等，故不正确；
．，则，正确；
C.，则与不能比较大小；
．，则，因此正确．
故选：．
10．BC
设，由，得到，再逐项判断.
解：设，由，得，解得，
A. ，当时，不为纯虚数，故错误；
B. 因为，，所以，故正确；
C. 由，得，则，故正确；
D. 因为，如，两者不等，所以，故错误；
故选：BC
11．ACD
由余弦定理、面积公式、辅助角公式化简条件可判断A；
利用面积公式计算可判断B；
分别取的中点可得，求出、，再计算可判断C；
对两边分别乘以可判断D．
对于A，由，得，
由余弦定理得
，即，
得，又，故，
∴，即，所以A正确；
对于B，，所以B错误；
对于C，如图，分别取的中点，连接，
，
所以，
，
，所以C正确；
对于D，，
由，可知，
得，解得：，，故，所以D正确．
故选：ACD.
12．8
根据斜二测画法的规则即可求解．
根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4，
故原来的平行四边形的面积为，
故答案为：8．
13．
用、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律计算可得.
依题意，
，
所以
.
故答案为：
14． 1
勾股定理判断出、为直角三角形，取BD的中点O，O为四面体ABCD的外接球的球心，可求得四面体ABCD的外接球的表面积；将四面体ABCD补成直三棱柱，根据求出体积.
在四面体ABCD中，
，，，，，
因为，所以为直角三角形，
因为，所以为直角三角形，取BD的中点O，
则，所以O为四面体ABCD的外接球的球心，
则BD为四面体ABCD的外接球的直径，
所以四面体ABCD的外接球的表面积为；
将四面体ABCD补成直三棱柱，如图，
， ，，，
所以，，
所以，即，
故四面体ABCD的体积为
.
故答案为：；1.
方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
15．(1)
(2)
（1）利用平方的方法来求得正确答案.
（2）根据向量平行列方程来求得.
（1），
所以.
（2）由于向量与平行，
所以存在实数，使得，
所以，解得.
16．(1)20
(2)
（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可；
（2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.
（1）由题意得，
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
，
，
解得，所以.
（2），
.
17．(1)
(2)
（1）由已知结合余弦定理即可求解；
（2）由已知结合余弦定理可得，然后利用基本不等式即可求解的最小值，即可求解.
（1）因为，所以，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）因为，所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以周长的最小值为.
18．(1)
(2)4升
（1）由台体体积公式求正四棱台的体积，再求所挖去的圆柱的体积，相减可得几何体的体积；
（2）计算该几何体的表面积，由此计算所需购买保护液的体积.
（1）由已知正四棱台的上底面积，下底面积，高，
所以正四棱台的体积；
由已知圆柱的底面半径，高，
所以圆柱的体积；
故该预制件的体积
故浇制一个这样的预制件大约需要混凝土.
（2）作该几何体的截面，过点作，垂足为，如下：

由已知，，
该正四棱台侧面梯形的高为：，
故该预制件的表面积，
∴，
，
所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升.
19．(1)
(2)证明见详解
(3)证明见详解
（1）根据题意可知：，利用正弦定理求外接圆半径；
（2）先根据表示出三角形得面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证；
（3）根据（2）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证.
（1）由题意可知：，
所以的外接圆的半径.
（2）若，
则
,
所以，
在中，
分别由余弦定理得：，
，，
三式相加整理得，
因为，所以.
（3）由（2）得，
所以,
由，
所以，
又由余弦定理可得，
所以，
所以，所以，
由正弦定理可得.
关键点点睛：根据表示出三角形的面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)