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专题02 勾股定理的应用
考点类型
考点一遍过
考点1：勾股定理应用——梯子问题
典例1：（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，一个梯子长2米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】由题意可知，米，米，米，根据勾股定理可分别求出、的长，再求出的长即梯子顶端下落的距离．
【详解】解：由题意可知，，米，米，米，
（米），
在中，（米），
在中，（米），
（米），
即梯子顶端下落了米．
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题关键是注意梯子的长度不变，利用勾股定理求出、的长．
【变式1】（2023下·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ）
A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm
【答案】A
【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．
【详解】解：依题意，，
在中，，
∵ ，，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2022上·江苏苏州·八年级常熟市第一中学校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
【答案】C
【分析】如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案．
【详解】解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，
∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+0.72＝6.25，
∴BD2＝5.76，
∵BD＞0，
∴BD＝2.4米，
∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式3】（2023上·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）
A．2m B． C． D．
【答案】D
【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长．
【详解】解：在中，
，
∴，
在中，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
考点2：勾股定理应用——树枝折断问题
典例2：（2023上·天津和平·九年级天津市第五十五中学校考阶段练习）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺(丈尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由竹子的原长及折断处离地面的高度，可得出折断处到竹梢触地面处的长度为尺，再利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵竹子原高丈(丈尺)，且折断处离地面的高度为尺，
∴折断处到竹梢触地面处的长度为尺．
根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
【变式1】（2022上·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，永折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺） （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢的长度是尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．
【详解】解∶设折断处离地面的高度是x尺，则折断处离竹梢的长度是尺，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：
故折断处离地面的高度是4.2尺．
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．
【变式2】（2022下·河北衡水·八年级校联考期中）如图，已知树（垂直于地面）上的点处（米）有两只松鼠，为抢到处（点，在同一水平地面上，米）的坚果，一只松鼠沿到达点处，另一只松鼠沿到达点处．若两只松鼠经过的路程相等，则树的高为（ ）
A．6.5米 B．7.0米 C．7.5米 D．8米
【答案】C
【分析】设BF为xm，根据两只松鼠所经过的路程相等，则AF=(15-x)m，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题．
【详解】解：设BF为xm，则EF=（5+x）m，
由题意知：BE+AE=15m，
∵两只松鼠所经过的路程相等，
∴BF+AF=15m，
∴AF=（15-x）m，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
102+（x+5）2=（15-x）2，
解得x=2.5，
∴EF=5+2.5=7.5（m）．
答：这棵树高7.5米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，读懂题意，得出BF+AF=BE+AE是解题的关键．
【变式3】（2023上·山西晋中·八年级统考期中）如图1，大树移植后常用木头支撑．将其中一根木头的支撑情况抽象为数学图形（图2），如果木头的长为1.8米，木头底端A到树底端C的距离长为1米，则的长度在（ ）
A．1.2米到1.3米之间 B．1.3米到1.4米之间
C．1.4米到1.5米之间 D．1.5米到1.6米之间
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用，无理数的估算，先由勾股定理求出的长度，再用“夹逼法”估算即可求解．
【详解】解：由勾股定理，得
(米)
∵，，
∴
∴的长度在1.4米到1.5米之间
故选：C．
考点3：勾股定理应用——旗杆问题
典例3：（2022上·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．m B．m C．6m D．m
【答案】A
【分析】设，则，然后根据勾股定理得到方程，解方程即得答案.
【详解】解：设，则，，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
即绳索的长是m；
故选：A.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、得出是解题的关键.
【变式1】（2022下·浙江温州·八年级统考期末）如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为( )
A．(2+2)m B．(4+2)m C．(5+2)m D．7m
【答案】B
【分析】先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求.
【详解】解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，4BD2+BD2=100，BD=2，则AD=2BD=4，
AE=AD+DE=4+2 .
故答案为B
【点睛】本题考查了勾股定理，灵活应用勾股定理求线段长是解题的关键.
【变式2】（2023上·广东佛山·八年级校考期中）学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图）
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．
根据以上信息，则旗杆的高度为（ ）
A．10米 B．13米 C．15米 D．17米
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，然后表示出，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，
由题意得，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴旗杆的高度为13米，
故选B．
【变式3】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？设绳索长为x尺，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
设绳索长为x尺，则尺，根据题意得：
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
考点4：勾股定理应用——最短路径问题
典例4：（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考阶段练习）如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查两点间线段距离最短及勾股定理，解题的关键是先把图中展开，根据两点间线段距离最短，再根据勾股定理求出的长．
【详解】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为2，M是的中点，
∴，，，
由勾股定理得，
如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为2，M是的中点，
∴，，，
由勾股定理得，
如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为2，M是的中点，
∴，，，
由勾股定理得，
∵，
∴最短路程为：，
故选：C．
【变式1】（2023上·山西运城·八年级山西省运城中学校校考期中）如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，若该圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．5厘米
【答案】D
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理．将圆柱体的侧面展开，通过勾股定理求出的长即可．
【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示，连接，
∵圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米，
∴，
∴蚂蚁爬行的最短距离．
故选：D．
【变式2】（2023上·江苏·八年级专题练习）如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查两点之间线段最短、立体图形展开为平面图形求最小值问题、勾股定理等知识，根据展开成平面图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：
在中，
，,
∴，
∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是．
故选：C．
【变式3】（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．19米 B．米 C．15米 D．米
【答案】C
【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，
相当于是个正方形的宽，
长为米；宽为9米．
于是最短路径为：（米）．
故选C．
考点5：勾股定理应用——航海问题
典例5：（2023下·北京怀柔·八年级统考期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】D
【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理计算求解．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
又∵（海里），（海里），
在Rt中，（海里）
∴此时两舰的距离是海里．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出是解题关键．
【变式1】（2023上·广西崇左·九年级统考期末）如图，在一笔直的沿湖道路l上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】A
【分析】过点作于点，根据含度角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵设开往码头、的游船速度分别为、，回到、所用时间相等，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了方位角的计算，勾股定理解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，求得的长是解题的关键．
【变式2】（2023上·河北保定·八年级保定十三中校考期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，0.5小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若两岛相距17海里，则乙船的航速是（ ）
A．15海里/时 B．30海里/时 C．16海里/时 D．32海里/时
【答案】B
【分析】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理求直角三角形的线段长是解题的关键．
由题意知，，，，由勾股定理得，根据乙船的航速是，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，
由勾股定理得，
∴乙船的航速是（海里/时），
故选：B．
【变式3】（2022·山东济南·统考一模）如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（ ）
A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
【答案】D
【分析】过作于，解直角三角形求出和，即可解决问题．
【详解】解：过作于，如图所示：
在中，，海里，
∴（海里），（海里），
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
考点6：勾股定理应用——范围影响问题
典例6：（2022上·江西九江·八年级统考期中）如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（ ）
A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒
【答案】A
【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，
∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，，
∴，
∵，
∴A处受噪音影响的时间为：．
故选：A
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
【变式1】（2022上·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10 B．7 C．6 D．12
【答案】B
【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可．
【详解】解：由题意，作图如下：
设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE=40x千米，BB′=20x千米，
∵BC=500km，AB=300km，
∴AC=400km，
∴AE=400-40x，AB′=300-20x，
∴AE2+AB′2=EB′2，
即（400-40x）2+（300-20x）2=2002，
解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）．
故答案为：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．
【变式2】（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式3】（2022下·八年级单元测试）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒．
【答案】B
【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.．
考点7：勾股定理应用——两地距离相等问题
典例7：（2022下·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【答案】B
【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可．
【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，
∴，
∴ ，
∴，
解得：x＝16，
则煤栈E应距A点16km．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键．
【变式1】（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点知道校车自点处沿轴向原点方向匀速驶来，去截汽车．若点的坐标为，点的坐标为，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，根据题意画出图形的能力．在点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为，设，在中，为斜边，已知，，即可求，且，根据的等量关系可以求得，即可求相遇点的坐标．找到并且根据其求点坐标是解题的关键．
【详解】解：如图，设在点小蓓与汽车相遇，且设，过点轴，
∴，，
∵的坐标为，点的坐标为，
∴，，，，
，在中，
∴，
解得：，
∴点坐标为．
故选：C．
【变式2】（2022上·山东泰安·八年级统考期末）如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是 ．
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】A
【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设km，则，
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
∴，
解得：．
所以，=．
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据题意构造方程，是本题的关键．
【变式3】（2022上·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
【答案】C
【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15km．
所以，E应建在距A点15km处．
故选：C．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
考点8：勾股定理应用——其他问题
典例8：（2023上·山东青岛·八年级统考期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺寸），则的长是（ ）
A．26寸 B．寸 C．52寸 D．101寸
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键，取的中点为点O，由题意可得，设寸，则寸，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，取的中点为O，则的中点也为O，
根据题意可知：寸，
寸，
设寸，则寸，
，寸，
，
解得：，
寸．
故选：D．
【变式1】（2023下·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过作于，如图所示：
由题意可知，，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得，
它要飞回巢中所需的时间至少是（），
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键．
【变式2】（2022上·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别1km和3km，且相距3km，则铺水管的最短长度是（ ）km
A．5 B．4 C．3 D．6
【答案】A
【分析】作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离．
过A作于G，过E作于F，
∵，
∴，
，
在中， ，
∴铺水管的最短长度是，
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式3】（2022下·新疆塔城·八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．6 B．5 C．13 D．12
【答案】C
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，芦苇与水池边的原距离为水池边的一半，即为尺，如图，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度为：（尺，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·八年级单元测试）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，则AC2＋BC2＋AB2的值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】在△ABC中,∠C＝90°,根据勾股定理可得:,由于AB＝2,可得:,继而可得AC2＋BC2＋AB2=4+4=8.
【详解】在△ABC中,∠C＝90°,
根据勾股定理可得:,
因为AB＝2,
所以:,
所以AC2＋BC2＋AB2=4+4=8.
故选D.
【点睛】本题主要考查勾股定理,解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理,并能利用勾股定理进行计算.
2．（2022下·河北承德·八年级统考期末）一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向北偏西30°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向北偏东60°方向航行，经过1.5小时后它位相距（ ）
A．6海里 B．25海里 C．30海里 D．42海里
【答案】C
【分析】根据方向角的概念画出图形，再利用勾股定理解答．
【详解】解：如图，
∵∠BAD=30°，∠DAC=60°，
∴∠BAC=90°，
∵设AB=16×1.5=24海里，AC=12×1.5=18海里，
根据勾股定理得，海里．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，方向角，熟悉方向角和勾股定理是解题的关键．
3．（2022下·山东菏泽·八年级校考期中）丽丽想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．12米
【答案】B
【分析】据题意设出旗杆的高，表示绳子的长，再利用勾股定理即可求得绳子的长，即旗杆的高
【详解】设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m．
根据题意得：
x2+62=（x+2）2，
解得x=8，
∴绳长为x+2=8+2=10．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用的知识，根据题意应用勾股定理构造方程是解答关键．
4．（2022上·陕西西安·八年级西安市铁一中学阶段练习）如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，则小动物爬行的最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：本题我们首先需要将立体图形转化为几何图形，然后利用勾股定理进行求解.
如图所示：EG=60cm，AE=60+20=80cm，则根据勾股定理可知：AG=100cm，即最短路线长为100cm.
点睛：本题主要考查的就是勾股定理在实际问题中的应用.在立体图形中求两点之间的最短距离的时候我们一般首先将几何图形进行展开，转化成直角三角形来进行求解.本题中一个在外面，另一个在里面，我们需要通过翻折将里面的转化成一个平面，然后进行求解.这种问题，在矩形的时候一定要特别注意展开图的不同方法，从而得出不同的直角三角形，然后得出最短距离.
5．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地而的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设木柱长为x尺，则绳长尺，
可列方程为，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
6．（2022·八年级课时练习）如图，已知圆柱的底面直径，高，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程的平方为（ ）
A．18 B．48 C．120 D．72
【答案】D
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，
点，的最短距离为线段的长.
∵已知圆柱的底面直径，
∴，
在中， ，，
∴，
∴从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程的平方为.
故选D.
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
7．（2022上·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方体的棱长为，
∴，，
在中，，
在中，，
∴；
故选A.
【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键，是将立体图像展开，根据两点之间线段最短，确定最短路径．
8．（2022下·黑龙江绥化·八年级校考期中）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是（ ）
A．3尺 B．4尺 C．5尺 D．6尺
【答案】B
【分析】杆子折断后刚好构成一直角三角形，设杆子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设杆子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（9﹣x）2
解得：x＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，根据题意设出未知数，表示出直角三角形三边的长度，列方程求解即可.
9．（2022上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，应建在距点处．
故选：．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
10．（2022上·云南文山·八年级校考期末）白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．―
【答案】A
【分析】作点A关于直线l的对称点，连接B交直线l于点P，此时AP＋PB最小，且的最小值为B的长度，然后求出EB和E，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时AP＋PB最小；
∵PA＝P，
∴AP＋PB＝P＋PB＝B，
过点B作BE⊥AC于点E，
∵AC⊥CD，
∴BECD，
又∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴CE＝BD＝2，
同理可得：EB＝CD＝3，
∵AC＝C＝3，
∴E＝2＋3＝5，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线间的距离处处相等，轴对称最短路径问题以及勾股定理，准确找到点P的位置是解此题的关键．
二、填空题
11．（2022上·广东清远·八年级校联考期中）如图，一个圆柱形工艺品高为16厘米，底面周长12厘米，现在需要从下底的处绕侧面一周，到上底（的正上方）处镶嵌一条金丝，则金丝至少 厘米．
【答案】20
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个矩形，然后利用两点之间线段最短可得的长即是金丝的最短路线长，然后由勾股定理求解即可．
【详解】解：解：沿AB剪开可得矩形，如图所示：
∵圆柱的高为16厘米，底面圆的周长为12厘米，
∴=AB=16厘米，=12厘米，
在中，，
即金丝的最短路线长是：20厘米．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
12．（2022下·八年级单元测试）如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2，△ABC的面积为7，则AB= ．
【答案】6
【分析】先根据AC﹣BC=2得出（AC﹣BC）2=8，再根据△ABC的面积等于7得出AC BC的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵AC﹣BC=2，
∴（AC﹣BC）2=8①．
∵S△ABC=AC BC=7，
∴AC BC=14②，
把②代入①得，AC2+BC2=36，
∴AB==6．
故答案为6．
【点睛】本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键．
13．（2022下·四川泸州·八年级统考期中）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方2cm处，则蚂蚊到达饼干的最短距离是 cm．
【答案】
【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：若蚂蚁从平面和平面经过，
蚂蚁到达饼干的最短距离，如图1
由题意可得：，，
，
若蚂蚁从平面和平面经过，
蚂蚁到达饼干的最短距离，如图2
由题意可得：，，
∵
最短距离为，
故答案为：
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，然后将长方体放到一个平面内，进行分类讨论，利用勾股定理进行求解．
14．（2023下·山东临沂·八年级统考期中）如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点爬到圆柱的外侧点处吃食物，那么它爬行最短路程是 厘米．
【答案】30
【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，
∴透明圆柱的底面周长为厘米≈36厘米，
作点A关于直线EF的对称点，连接A′B，则的长度即为它爬行最短路程，
∴厘米， 厘米，
∴，
故答案为：30．
【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．
15．（2022上·福建福州·八年级福州华伦中学校考期末）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是 cm．
【答案】45
【分析】设水深h厘米，则，，，利用勾股定理计算即可．
【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
设水深h厘米，由题意得：中，，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确审题，明确直角三角形各边的长是解题的关键．
16．（2023上·四川成都·八年级统考期末）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是
【答案】//
【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可．
【详解】如图所示：
由勾股定理知：，
，
即电梯内能放入这些木条的最大长度是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
三、问答题
17．（2022下·重庆武隆·八年级校考期中）小李想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂直到地面还多（如图①）．当他把绳子的底端拉开后，发现底端刚好接触地面（如图②）．求旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为米
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
根据勾股定理可得：，
解得，．
答：旗杆的高度为米．
【点睛】此题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长．
18．（2022·八年级单元测试）如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
(1)若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
(2)在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最 值（填“大”或“小”）为 （两个空直接写出答案不需要解答过程）．
【答案】(1)下移的距离为7m
(2)大，
【分析】（1）设=x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可；
（2）以为底，以C到直线的距离为高，在竹竿下滑过程中，高为的中线时，的面积最大，由三角形的面积公式求出最大值．
【详解】（1）解：设＝＝xm，
由题意得：m，
则＝（12﹣x）m，＝（5＋x）m，
由勾股定理得：，
即，
解得：x＝7，即＝7m．
答：下移的距离为7m；
（2）解：如图，以为底，过C作的垂线CD，D为垂足，
设Rt△斜边上的中线为CP，则CP＝m，CD≤CP，
在竹竿下滑过程中，当CD为的中线时，的面积最大，
最大值＝×13×＝（）．
故答案为：大， ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线以及垂线段最短的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
19．（2022上·江苏扬州·八年级扬州市竹西中学校考期末）从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．
（1）求杯子的高度；
（2）若吸管伸出杯口的长度至少为0.5cm时，才方便喝饮料，则吸管至少应设计为多长？
【答案】（1） （2）13.5
【详解】试题分析：（1）设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，根据勾股定理可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）结合（1）的结论，在吸管的原长度上加上0.5cm即可得出结论．
试题解析：（1）设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，
根据题意得：（x+1）2=52+x2，
整理得：2x-24=0，
解得：x=12．
答：杯子的高度为12cm．
（2）12+1+0.5=13.5cm．
答：吸管至少应设计为13.5cm．
20．（2022下·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图1所示，一架梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为6米，梯子底部向右滑动后停在DE的位置上（如图2所示），测得DB的长为2米，求梯子顶端A下落了多少米．
【答案】梯子顶端A下落了2米
【分析】在中，根据勾股定理求得的长，在中，根据勾股定理求得米，即可求解．
【详解】解：在中，，根据勾股定理，得（米），
∵（米），
∴在中，米，
∴（米），
即梯子顶端A下落了2米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
21．（2022下·安徽芜湖·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？
【答案】乙船的航速是12海里/时．
【分析】根据甲船和乙船航行的角度，可知∠CAB＝90°，用勾股定理即可求出AB的长度，最后求出乙船的速度即可．
【详解】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，
∴∠CAB＝90°，
在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，
∵AC＝16×3＝48，BC＝60，
∴AB36，
∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时，
答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握“在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边大的平方”是解题的关键．
22．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，东西公路和南北公路在点M处交会，在的平分线上的N处是一所小学，且，假设拖拉机行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？（）
【答案】会受到影响，有9秒的时间影响学校．
【分析】过N作于P，求得，与比较大小，判断是否受影响；构造以为腰的等腰三角形，其底边长为受影响的距离，运用路程除以速度计算时间．
【详解】会受到影响，有9秒的时间影响学校．理由如下：
解：过N作于P，
∵东西公路和南北公路在点M处交会，
∴，
∵N在的平分线上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴学校一定会受到影响．设，
∵，∴，
在中，，
∴，
∴，
∵拖拉机的速度为，
∴拖拉机的速度为，
∴受影响时间为秒，故有9秒的时间影响学校．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角的平分线，熟练掌握等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
23．（2022下·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．
(1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
(2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？
【答案】(1)25cm
(2)cm
【分析】(1)把盒子展开，通过两点之间线段最短，画出草图，根据勾股定理可求得，根据盒子展开的方式不同，分类讨论；
(2)连接DP、PD，放入木棒的最大长度即为长方体的顶角的连线的最长长度，此时计算出DB或AP的长度即为可能放入木棒的最大长度．
【详解】（1）长方体的各边长度如图所示，
第一种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
此时的最短路径为CD，在Rt△ACD中，，
C为AB中点，即AC=15，
即，
此时最短路径为CD=25cm，
第二种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
此时的最短路径为CD，在Rt△ACD中，，
C为AB中点，即AC=15，
即，
此时最短路径为CD=25cm；
第三种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
此时的最短路径为CD，在Rt△ACD中，，
C为AB中点，即AC=15，
即，
此时最短路径为CD=cm，
∵＞25，
∴最短路径的长度为25cm；
答：最短路径为25cm．
（2）连接DB、PD，如图：
则有，
（cm），
故放入木棒的最大长度是cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理：两个直角边的积等于斜边与斜边高的积.本题还涉及到两点之间线段最短的知识点．
24．（2022下·重庆·八年级校联考阶段练习）小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为多少？
【答案】
【分析】根据题意设旗杆的高为，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高．
【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长为，
在中，
∴
解得，
∴，
∴旗杆的高．
【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得的长．
25．（2022上·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【答案】(1)海里
(2)救助船先到达，计算过程见解析
【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作于，
∴，
由题意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，
∴海里，海里，
答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；
（2）解：∵海里，海里，救助船分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，
∴救助船所用的时间为(小时)，
救助船所用的时间为(小时)，
∵，
∴救助船先到达．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
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专题02 勾股定理的应用
考点类型
考点一遍过
考点1：勾股定理应用——梯子问题
典例1：（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，一个梯子长2米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【变式1】（2023下·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ）
A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm
【变式2】（2022上·江苏苏州·八年级常熟市第一中学校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
【变式3】（2023上·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）
A．2m B． C． D．
考点2：勾股定理应用——树枝折断问题
典例2：（2023上·天津和平·九年级天津市第五十五中学校考阶段练习）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺(丈尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
【变式1】（2022上·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，永折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺） （ ）
A．3 B． C． D．
【变式2】（2022下·河北衡水·八年级校联考期中）如图，已知树（垂直于地面）上的点处（米）有两只松鼠，为抢到处（点，在同一水平地面上，米）的坚果，一只松鼠沿到达点处，另一只松鼠沿到达点处．若两只松鼠经过的路程相等，则树的高为（ ）
A．6.5米 B．7.0米 C．7.5米 D．8米
【变式3】（2023上·山西晋中·八年级统考期中）如图1，大树移植后常用木头支撑．将其中一根木头的支撑情况抽象为数学图形（图2），如果木头的长为1.8米，木头底端A到树底端C的距离长为1米，则的长度在（ ）
A．1.2米到1.3米之间 B．1.3米到1.4米之间
C．1.4米到1.5米之间 D．1.5米到1.6米之间
考点3：勾股定理应用——旗杆问题
典例3：（2022上·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．m B．m C．6m D．m
【变式1】（2022下·浙江温州·八年级统考期末）如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为( )
A．(2+2)m B．(4+2)m C．(5+2)m D．7m
【变式2】（2023上·广东佛山·八年级校考期中）学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图）
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．
根据以上信息，则旗杆的高度为（ ）
A．10米 B．13米 C．15米 D．17米
【变式3】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？设绳索长为x尺，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点4：勾股定理应用——最短路径问题
典例4：（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考阶段练习）如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·山西运城·八年级山西省运城中学校校考期中）如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，若该圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．5厘米
【变式2】（2023上·江苏·八年级专题练习）如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．19米 B．米 C．15米 D．米
考点5：勾股定理应用——航海问题
典例5：（2023下·北京怀柔·八年级统考期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【变式1】（2023上·广西崇左·九年级统考期末）如图，在一笔直的沿湖道路l上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则（ ）
A． B． C．4 D．6
【变式2】（2023上·河北保定·八年级保定十三中校考期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，0.5小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若两岛相距17海里，则乙船的航速是（ ）
A．15海里/时 B．30海里/时 C．16海里/时 D．32海里/时
【变式3】（2022·山东济南·统考一模）如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（ ）
A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
考点6：勾股定理应用——范围影响问题
典例6：（2022上·江西九江·八年级统考期中）如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（ ）
A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒
【变式1】（2022上·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10 B．7 C．6 D．12
【变式2】（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3】（2022下·八年级单元测试）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒．
考点7：勾股定理应用——两地距离相等问题
典例7：（2022下·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【变式1】（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点知道校车自点处沿轴向原点方向匀速驶来，去截汽车．若点的坐标为，点的坐标为，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022上·山东泰安·八年级统考期末）如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是 ．
A．4 B．5 C．6 D．
【变式3】（2022上·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
考点8：勾股定理应用——其他问题
典例8：（2023上·山东青岛·八年级统考期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺寸），则的长是（ ）
A．26寸 B．寸 C．52寸 D．101寸
【变式1】（2023下·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
【变式2】（2022上·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别1km和3km，且相距3km，则铺水管的最短长度是（ ）km
A．5 B．4 C．3 D．6
【变式3】（2022下·新疆塔城·八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．6 B．5 C．13 D．12
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·八年级单元测试）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，则AC2＋BC2＋AB2的值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2022下·河北承德·八年级统考期末）一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向北偏西30°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向北偏东60°方向航行，经过1.5小时后它位相距（ ）
A．6海里 B．25海里 C．30海里 D．42海里
3．（2022下·山东菏泽·八年级校考期中）丽丽想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．12米
4．（2022上·陕西西安·八年级西安市铁一中学阶段练习）如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，则小动物爬行的最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地而的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·八年级课时练习）如图，已知圆柱的底面直径，高，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程的平方为（ ）
A．18 B．48 C．120 D．72
7．（2022上·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022下·黑龙江绥化·八年级校考期中）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是（ ）
A．3尺 B．4尺 C．5尺 D．6尺
9．（2022上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2022上·云南文山·八年级校考期末）白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．―
二、填空题
11．（2022上·广东清远·八年级校联考期中）如图，一个圆柱形工艺品高为16厘米，底面周长12厘米，现在需要从下底的处绕侧面一周，到上底（的正上方）处镶嵌一条金丝，则金丝至少 厘米．
12．（2022下·八年级单元测试）如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2，△ABC的面积为7，则AB= ．
13．（2022下·四川泸州·八年级统考期中）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方2cm处，则蚂蚊到达饼干的最短距离是 cm．
14．（2023下·山东临沂·八年级统考期中）如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点爬到圆柱的外侧点处吃食物，那么它爬行最短路程是 厘米．
15．（2022上·福建福州·八年级福州华伦中学校考期末）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是 cm．
16．（2023上·四川成都·八年级统考期末）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是
三、问答题
17．（2022下·重庆武隆·八年级校考期中）小李想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂直到地面还多（如图①）．当他把绳子的底端拉开后，发现底端刚好接触地面（如图②）．求旗杆的高度．
18．（2022·八年级单元测试）如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
(1)若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
(2)在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最 值（填“大”或“小”）为 （两个空直接写出答案不需要解答过程）．
19．（2022上·江苏扬州·八年级扬州市竹西中学校考期末）从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．
（1）求杯子的高度；
（2）若吸管伸出杯口的长度至少为0.5cm时，才方便喝饮料，则吸管至少应设计为多长？
20．（2022下·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图1所示，一架梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为6米，梯子底部向右滑动后停在DE的位置上（如图2所示），测得DB的长为2米，求梯子顶端A下落了多少米．
21．（2022下·安徽芜湖·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？
22．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，东西公路和南北公路在点M处交会，在的平分线上的N处是一所小学，且，假设拖拉机行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？（）
23．（2022下·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．
(1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
(2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？
24．（2022下·重庆·八年级校联考阶段练习）小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为多少？
25．（2022上·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
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