4.5 一元二次方程根的判别式
学习目标
1.理解什么是一元二次方程根的判别式；
2.会熟练应用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
3.会运用根的判别式求一元二次方程中系数的范围。 教学设计
一.预习导学
学生自主预习教材P142-P145，完成下列各题.
1.一元二次方程的一般形式是 ，其中a、b、c分别叫作 .
2. 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),配方得 .
3.
设计意图：回顾旧知，激发学生的学习兴趣，为本节课学习根的判别式作铺垫.
二.探究展示
(一)合作探究
议一议：我们在运用公式法求解一元二次方程（ax2+bx+c=0（a≠0）时，总是要
求b2-4ac≥0，这是为什么？将方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方得到
（x+）2=
归纳：由此可见，代数式是考察一元二次方程根的情形的依据，因此我们把叫作一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，记作“△”，即△=
设计意图：由旧知引入，使学生更容易理解根的判别式的意义.
（二）展示提升
例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况.
（1） 3x2－x＋1 = 3x ；
（2） 5（x2＋1）= 7x ；
（3） x2－4x = －4 .
设计意图：方程（1）△=4＞0，因此方程有两个不相等的实数根； 方程（2）△＜0，因此方程没有实数根； 方程（3）△=0，因此方程有两个相等的实数根，通过此巩固训练，加强学生对根的判别式运用的熟练程度.
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么？”启发学生谈谈本节课的收获.
＞0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根
=0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；
＜0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
四.当堂检测
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 （ ）
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
2.方程x2-3x+1=0的根的情况是 （ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根
3.下列一元一次方程中，有实数根的是 （ ）
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
4. 在一元二次方程ax2+bx+c=0 中，若a与c异号,则（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
5.若方程 2x2-(k-1)x+8=0 有两个相等的实数根，求k的值.
6.(1).关于x的方程(a-5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
(2). 已知关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
评测练习
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 （ ）
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
2.方程x2-3x+1=0的根的情况是 （ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根
3.下列一元一次方程中，有实数根的是 （ ）
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
4. 在一元二次方程ax2+bx+c=0 中，若a与c异号,则（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
5.若方程 2x2-(k-1)x+8=0 有两个相等的实数根，求k的值.
6.(1).关于x的方程(a-5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
(2). 已知关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
课件19张PPT。4.5 一元二次方程根的判别式
1.理解什么是一元二次方程根的判别式；
2.会熟练应用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
3.会运用根的判别式求一元二次方程中系数的范围。
尝试与探索 我们在运用公式法解一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？我们知道,任何一个一元二次方程∵a≠0∴4a2>0∵a≠0 ∴4a2>0当 时，当 时，当 时，方程有两个不相等的实数根：方程有两个相等的实数根：方程没有实数根.1.3.2. 我们把 叫做一元二次方程
的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 .记住了，别搞错!1.当 时，方程有两个不相等的实数根，其根为： 一元二次方程： 的根的情况可由 来判断：2.当 时，方程有两个相等的实数根，其根为：3.当 时，方程有没有实数根.x1= ，x2= ；x1=x2= ； 例题讲解例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况.
（1） 3x2－x＋1 = 3x ；
（2） 5（x2＋1）= 7x ；
（3） x2－4x = －4 .方程要先化为一般形式，再求判别式 解：（1）原方程化为一般形式为：
3x2－4x＋1 = 0 . 因为 =（－4）2－4×3×1
=16－12=4>0，
所以，原方程有两个不相等的实数根. 解：（2）原方程化为一般形式为：
5x2－7x＋5 = 0 . 因为 =（－7）2－4×5×5
=49－100=－51<0，
所以，原方程没有实数根. 解：（3）原方程化为一般形式为：
x2－4x＋4 = 0 . 因为 =（－4）2－4×1×4
=16－16=0，
所以，原方程有两个相等的实数根. （1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。
（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（3）一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)（△=b2-4ac） 1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 （ ）
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
D2.方程x2-3x+1=0的根的情况是 （ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根A3.下列一元二次方程中，有实数根的是 （ ）
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0 D.x2+4=0C 4.在一元二次方程
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
（ ） 5.若方程 2x2-(k-1)x+8=0 有两个相等的实数根，求k的值.解：又∵方程有两个相等的实数根,6.(1).关于x的方程(a-5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
(2). 已知关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
课堂小结 本节课你掌握了什么方法？
本节课你收获了什么？还有什么疑问?
