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【综合题强化训练·50道必刷题】人教版八年级下册期中数学卷
1．如图，平行四边形的对角线、交于点O，E为中点，过点O作交的延长线于H，连接与．
（1）求证：；
（2）当四边形是怎样的特殊四边形时，四边形为菱形？请说明理由．
2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．
（1）在图①中，画一个正方形，使它的边长为；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（3）在图③中，画一个三角形，使它的三边长分别为，，5，并直接写出该三角形最长边上的高的长度．
3．如图，已知在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点B，交一次函数的图象与点C，连接．
（1）观察图象，直接写出不等式的解集；
（2）求这两个函数解析式；
（3）求的面积．
4．如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求和的长．
5．如图，菱形中，对角线交于点O．
（1）若，则 ，是 三角形（按边分类）；
（2）如图，点E是上一点，则与有怎样的数量关系？并证明．
6．如图，在中，，cm，cm，动点从点出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求边的长；
（2）当为直角三角形时，求t的值．
7．已知一次函数的图象与y轴交于点，且过点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直线与x轴的交点为C点，点P在该函数图象上，且的面积为4，直接写出P点的坐标 .
8．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：DF=FE；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长．
9．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
10．如图，点D在中，，，，．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
11．我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
（1）求出空地的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？
12．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
13．在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：如果且（k为正整数），那么称点P为点M关于坐标轴的“k倍距”．
（1）①在点，，中，点为原点O关于坐标轴的“1倍距”；
②如果点P在函数的图象上，且为原点O关于坐标轴的“2倍距”，求b的取值范围．
（2）如果直线上存在点是点关于坐标轴的“2倍距”，直接写出m的取值范围．
14．定义：若点P为四边形内一点，且满足，则称点P为四边形的一个“互补点”．
（1）如图1，点P为四边形的一个“互补点”，若，则 ；
（2）如图2，点P是菱形对角线上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形的一个“互补点”．
15．如图，在四边形 中， ， .
（1）求证：四边形 为平行四边形.
（2）若 ， ， ，求 的长.
16．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）若a=b=5，求c；
（2）若a=5，∠A=30°，求b，c．
17．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点
（1）判断 的形状，并说明理由．
（2）求BC边上的高．
18．为了迎接“十 一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋价格 甲 乙
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm.点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s.连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t（0＜t＜5）.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
20．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：6，7，7，9，9，10；
小亮：5，8，7，8，10，10.
平均数（环） 中位数（环） 方差（环2）
小华 a 8 2
小亮 8 b 3
（1）表格中，a= ；b= ；
（2）根据以上表格中的信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，求小亮这8次射击成绩的方差.
21．如图，是的中线，，且，连接，.
（1）求证：；
（2）当满足条件 时，四边形是矩形，并说明理由.
22．狗头枣产于陕西省延安市一带，久负盛名，其性味甘平，有润心肺、止咳、补五脏、治虚损的功效，已成为革命圣地延安最为著名的特产．某经销商购进了一批狗头枣，根据以往的销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：当单价为38元/千克时，每天可以销售50千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，若设单价下调了x元/千克，销售量为y千克．
（1）y与x之间的关系式为 ；
（2）当售价为28元/千克，这天的销售量是多少？
（3）如果这批狗头枣的进价是20元/千克，某天的售价定为30元/千克，则这天的销售利润是多少元？
23．如图，在直角△中，点D，E，F分别是边，， 的中点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求出矩形的周长．
24．已知正比例函数的图象经过点M（-1，5）
（1）求这个函数的表达式；
（2）若将这个函数的图象向上平移5个单位后，写出图象与 轴的交点坐标.
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF
（1）若a=4 ，求CE的长
（2）求 的值
26．龙华区某学校组织400名师生春游，计划租用7辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表．
甲种客车 乙种客车
载客量（座/辆） 70 45
租金（元/辆） 600 480
（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；（不要求写出x的取值范围）
（2）如何租车能保证所有的师生可以参加春游且租车费用最少，最少费用是多少元？
27．如图，已知一次函数ykxb的图象经过A(2，2)，B（1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△DOB的面积．
28．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，且AE＝2
（1）若直线l经过点E，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点F，用无刻度的直尺画出点F；
（2）连接AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由.
29．为了解某种车的耗油量，我们对这种车做了试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间t（h） 0 1 2 3 ……
剩余油量Q（L） 50 44 38 32 ……
（1）根据上表的数据，请写出Q与t的函数关系式．
（2）汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？
（3）若汽车油箱中剩余油量为14L，则汽车行驶了多少小时？
（4）贮满50L汽油的汽车，最多行驶几小时？
30．在平面直角坐标系xOy中，对于点 和点 ，给出如下定义：若 ，则称点 为点 的“调控变点”．例如：点（2，1）的“调控变点”为（2，1）．
（1）点（ ，4）的“调控变点”为 ；
（2）若点N（m，3）是函数 上点M的“调控变点”，求点M的坐标；
（3）点P为直线 上的动点，当 时，它的“调控变点”Q所形成的图象如图所示（端点部分为实心点）．请补全当 时，点P的“调控变点” 所形成的图象．
31．为了打赢湖北保卫战、武汉保卫战，4万多名医护人员逆行出征，约4万名建设者从八方赶来，并肩奋战，抢建火神山和雷神山医院．他们日夜鏖战，与病毒竞速，创造了10天左右时间建成两座传染病医院的“中国速度”！他们不畏风险，同困难斗争，充分展现团结起来打硬仗的“中国力量”，在建设过程中，有一位木工遇到了这样一道数学题：
有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积？
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为 ，宽为 的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
32．某社区活动中心为中老年舞蹈队统一队服和道具，准备购买 10 套某种品牌的舞蹈鞋，每双舞蹈鞋配 x（x≥2）个舞蹈扇，供舞蹈队队员使用．该社区附近 A，B 两家超市都有这种品牌的舞蹈鞋和舞蹈扇出售，且每双舞蹈鞋的标价均为 30 元，每个舞蹈扇的标价为 3 元，目前两家超市同时在做促销活动：
A 超市：所有商品均打九折（按标价的 90%）销售；
B 超市：买一双舞蹈鞋送 2 个舞蹈扇．
设在 A 超市购买舞蹈鞋和舞蹈扇的费用为 （元），在 B 超市购买舞蹈鞋和舞蹈扇的费用为 （元）．请解答下列问题：
（1）分别写出
， 与 x 之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
33．如图，在 中， ， 和 的角平分线交于D点，E、F、G、H分别是线段 、 、 、 的中点．
（1）求 的度数
（2）证明：四边形 为平行四边形
34．已知 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
35．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”.为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机抽样调查了321名初中学生.根据调查结果将学生每天在校体育活动时间t（小时）分成 ， ， ， 四组，并绘制了统计图（部分）.
组： 组： 组： 组：
请根据上述信息解答下列问题：
（1） 组的人数是 ；
（2）本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该市约有12840名初中学生，请你估算其中达到国家规定体育活动时间的人数大约有多少.
36．如图所示，在平面直角坐标系中，把矩形OCBA绕点C顺时针旋转α角，得到矩形FCDE，设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（6，0）.
（1）当α=45°时，求H点的坐标.
（2）当α=60°时，ΔCBD是什么特殊的三角形 说明理由.
（3）当AH=HC时，求直线HC的解析式.
37．一次函数 ．
（1）若函数图象经过原点，求 的值；
（2）若函数图象平行于直线 ，求 的值；
（3）在（1）的条件下，将这个正比例函数的图象向右平移4个单位，求出平移后的直线解析式．
38．如图，已知一次函数y1=-x+b的图象交x轴于点A（3，0），与一次函数y2= x+1的图象交于点B.
（1）求一次函数y1=-x+b的表达式；
（2）当x取哪些值时，039．某电脑公司经销甲种型号电脑，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元.如果卖出相同数量的电脑，去年的销售额为10万元，那么今年的销售额只有8万元.
（1）今年三月份甲种型号电脑每台的售价为多少元
（2）为增加收入，电脑公司决定经销乙种型号电脑.已知甲种型号电脑每台的进价为3500元，乙种型号电脑每台的进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种型号的电脑共15台，则有几种进货方案
（3）如果乙种型号电脑每台的售价为3800元，为打开乙种型号电脑的销路，公司决定每售出一台乙种型号电脑，返还顾客现金a元，要使(2)中所有方案的获利相同，那么a的值应是多少？
40．在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE.
（1）求∠B的度数；
（2）求线段DE的长.
41．计算：
（1）已知 ，求代数式 的值；
（2）已知 ， ，求代数式 的值.
42．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值．
43．某快餐店共有10名员工，所有员工工资的情况如下表：
人员 店长 厨师甲 厨师乙 会计 服务员甲 服务员乙 勤杂工
人数 1 1 1 1 1 3 2
工资额 20000 7000 4000 2500 2200 1800 1200
请解答下列问题：
（1）餐厅所有员工的平均工资是 ；所有员工工资的中位数是 ．
（2）用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？
（3）去掉店长和厨师甲的工资后，其他员工的平均工资是多少？它是否也能反映该快餐店员工工资的一般水平？
44．我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费．该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元．
（1）若0＜x≤6，请写出y与x的函数关系式．
（2）若x＞6，请写出y与x的函数关系式．
（3）如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？
45．如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
（1）作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD= ；
（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
46．某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元。每天工作8小时，一个月工作25天。月工资底薪800元，另加计件工资。加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元。在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时.(工人月工资底薪+计件工资)
（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时
（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”。设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元。请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺
47．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，点O是EF中点，连结BO井延长到G，且GO＝BO，连接EG，FG
（1）试求四边形EBFG的形状，说明理由；
（2）求证：BD⊥BG
（3）当AB＝BE＝1时，求EF的长，
48．正方形中，点E为边上的任意一点（点E不与B，C重合），点P为线段上一动点，过点P作直线．
（1）如图1，当直线l经过点D时，直线l交边于点F，求证：；
（2）如图2，当直线l分别交边，边于点M，点N时，如果，求的长．
49．已知：如图，在平行四边形中，G、H分别是、的中点，，，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，当四边形是矩形时的长为 ．
50．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：
（1）A，B两城相距 千米；甲车的速度为 ，乙车的速度为 ；
（2）乙车出发 小时后追上甲车；
（3）当甲、乙两车相距50千米时，t= ．
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【综合题强化训练·50道必刷题】人教版八年级下册期中数学卷
1．如图，平行四边形的对角线、交于点O，E为中点，过点O作交的延长线于H，连接与．
（1）求证：；
（2）当四边形是怎样的特殊四边形时，四边形为菱形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：当四边形是矩形时，四边形为菱形，理由如下：
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而根据题意得到，再运用三角形全等的判定即可求解；
（2）先运用三角形全等的性质即可得到，进而结合题意运用平行四边形的判定与性质即可得到，，再运用矩形的性质得到，，，然后运用平行四边形的判定和菱形的判定结合题意即可求解。
2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．
（1）在图①中，画一个正方形，使它的边长为；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（3）在图③中，画一个三角形，使它的三边长分别为，，5，并直接写出该三角形最长边上的高的长度．
【答案】（1）解：如图①，正方形即为所求，
；
（2）解：如图②，即为所求，
；
（3）如图③，即为所求，
，
2
【解析】【解答】（3）解：∵AB=，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，
三角形最长边上的高的长度为：
【分析】（1）根据勾股定理得出正方形的边长，即可得到图形；
（2）构造边长为3，4，5的直角三角形即可；
（3）根据勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积计算公式进行计算即可得到答案．
3．如图，已知在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点B，交一次函数的图象与点C，连接．
（1）观察图象，直接写出不等式的解集；
（2）求这两个函数解析式；
（3）求的面积．
【答案】（1）不等式的解集为
（2）解：将点A的坐标代入正比例函数得：
，
解得：，
则正比例函数的解析式为：，
将点A的坐标代入得：
，
解得：，
故一次函数的解析式为：；
（3）解：点，则点、点，
则，
的面积．
【解析】【分析】（1）由图像可知，当x＞4时，正比例函数的图像在一次函数图象的上方可得答案；
（2）利用待定系数法求解；
（3）△OBC中，BC是底，则OP为高，分别求出点B、C的坐标，即可得到BC的长度，再根据三角形的面积公式即可求出。
4．如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求和的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，解得：．
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得 ，由矩形的性质得AB∥CD，进而得出∠BAP=∠PQD，∠BPA=∠DPQ，根据等量代换可得∠PQD=∠DPQ，故而可证。
（2）根据勾股定理即可求解。
5．如图，菱形中，对角线交于点O．
（1）若，则 ，是 三角形（按边分类）；
（2）如图，点E是上一点，则与有怎样的数量关系？并证明．
【答案】（1）；等边
（2）解：，理由如下，
∵四边形是菱形，
∴是的垂直平分线，
∵点E是上一点，
∴.
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC。
∴∠ADC+∠BAD=180°。
∵∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD。
又∵∠BAD=60°，
∴△BAD是等边三角形。
故填：120°；等边。
【分析】（1）根据菱形的性质即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得。
6．如图，在中，，cm，cm，动点从点出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求边的长；
（2）当为直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）解：在中，，，
由勾股定理得；
（2）解：由题意知．
①当时，如图，点P与点C重合，，
∴；
②当时，如图2，，．
在中，，
在中，，
因此，
解得．
综上所述，当为直角三角形时，t的值为或．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理运算即可求解；
（2）由题意知．分类讨论：①当时，如图，点P与点C重合，，进而即可求出t；②当时，如图2，，．进而根据勾股定理即可得到t；最后总结即可。
7．已知一次函数的图象与y轴交于点，且过点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直线与x轴的交点为C点，点P在该函数图象上，且的面积为4，直接写出P点的坐标 .
【答案】（1）解：∵一次函数的图像分别与x轴，y轴相交于点和点．
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为；
（2）或
【解析】【解答】 解：（2）当 时， ，解得 ，
即 ，
如图，
∴ ，
设 ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
【分析】（1）运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）先根据一次函数的性质即可得到C的坐标，进而得到OC，设 ，根据三角形的面积即可求解。
8．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：DF=FE；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长．
【答案】（1）证明：延长DC交BE于点M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四边形ABMC是平行四边形，
∴CM=AB=DC，C为DM的中点，BE∥AC，
则CF为△DME的中位线，
DF=FE；
（2）解：由（1）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF，
又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，
∴AC=ME，
∴BE=2BM=2ME=2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC= ，
∴BE= ．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定方法先求出 四边形ABMC是平行四边形， 再根据三角形的中位线求解即可；
（2）根据题意先求出 ME=2CF， 再求出 AC=ME， 最后利用勾股定理计算求解即可。
9．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
【答案】（1）解： 是直角三角形．
理由： ， ， ，
，
，
，
是直角三角形．
（2）解： ，
，
．
答：修建的公路 的长是 ．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理先求出∠ACB=90°，再判断求解即可；
（2）根据CD⊥AB，利用三角形的面积公式计算求解即可。
10．如图，点D在中，，，，．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵ ， ， ，
，
（2）解：∵ ， ，
，
是直角三角形， ，
．
故图中阴影部分的面积为 ．
【解析】【分析】（1）结合所给的图形，利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用勾股定理先求出△ACB 是直角三角形， ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
11．我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
（1）求出空地的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？
【答案】（1）解：连接AC
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
；
即空地 的面积为 ．
（2）解： 元，
即总共需投入50400元．
【解析】【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC=10cm，再根据勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，根据
， 利用三角形的面积公式计算即可；
（2）利用空地 的面积乘以每平方米草皮的价格即得结论.
12．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
当 ， 时，
原式
；
（2）解：
当 ， 时，
原式
．
【解析】【分析】（1）将原式变形为，然后代入计算即可；
（2）利用分式的加减将原式化为，再代入计算即可.
13．在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：如果且（k为正整数），那么称点P为点M关于坐标轴的“k倍距”．
（1）①在点，，中，点为原点O关于坐标轴的“1倍距”；
②如果点P在函数的图象上，且为原点O关于坐标轴的“2倍距”，求b的取值范围．
（2）如果直线上存在点是点关于坐标轴的“2倍距”，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：①∵ ，
∴ 是原点O关于坐标轴的“1倍距”；
∵ ，
∴ 是原点O关于坐标轴的“1倍距”；
∵ ，
∴ 是原点O关于坐标轴的“1倍距”；
综上所述，点 是原点O关于坐标轴的“1倍距”；
故答案为： ；
②设 ，
∵点P原点O关于坐标轴的“2倍距”，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）
【解析】【解答】（2）设P（t，），
点P是关于坐标轴的“2倍距”，
，
，
，
，
，
。
【分析】（1） ①根据题目所给定义进行求解即可；②设 ，根据定义可得 ，解之可得 ， ，进而求解即可；
（2）设P（t，），根据题意可得 ， 进而求解即可。
14．定义：若点P为四边形内一点，且满足，则称点P为四边形的一个“互补点”．
（1）如图1，点P为四边形的一个“互补点”，若，则 ；
（2）如图2，点P是菱形对角线上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形的一个“互补点”．
【答案】（1）120°
（2）证明：如图，连接 ，
∵菱形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即
∴点P为菱形 的一个“互补点”．
【解析】【解答】（1）∵ 点P为四边形的一个“互补点”， ，
∴ ，
【分析】（1）根据“互补点”的定义求解即可；
（2） 连接 ， 根据菱形的性质证明 ， 可得 ， ，根据圆周角的定义证明 ，即 ，则点P为菱形 的一个“互补点”。
15．如图，在四边形 中， ， .
（1）求证：四边形 为平行四边形.
（2）若 ， ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：
又
四边形 是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=EC=2，BE=DE，AB=CD=5，
∵ ，
由勾股定理得： BC= ；
BE= ；
.
【解析】【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ABCD是平行四边形；（2）由勾股定理可求出BC的长，再由勾股定理求出BE的长，根据平行四边形的性质即可求解.
16．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）若a=b=5，求c；
（2）若a=5，∠A=30°，求b，c．
【答案】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，a=b=5，
∴ ；
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，a=5，∠A=30°，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）利用含30度角的直角三角形的性质求得c，再根据勾股定理即可求得b的长．
17．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点
（1）判断 的形状，并说明理由．
（2）求BC边上的高．
【答案】（1）结论： 是直角三角形．
理由： ， ， ，
，
是直角三角形．
（2）设BC边上的高为h则有 ，
， ， ，
．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可解问题．（2）利用面积法求高即可．
18．为了迎接“十 一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋价格 甲 乙
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）解：依题意得， ，
去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100.
经检验，m=100是原分式方程的解.
∴m=100.
（2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得， ，
解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，
∴不等式组的解集是95≤x≤105.
∵x是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案.
（3）解：设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双.
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样.
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双.
【解析】【分析】 （1）利用总价除以单价=数量结合“3000元购进甲种运动鞋的数量=用2400元购进乙种运动鞋的数量”，列出方程求解即可；
（2）根据“ 购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元”列不等式组求解，得出x的范围，即可得出方案数；
（3） 设总利润为W， 根据题意求出关于W和x的函数关系式，由于是一次函数，根据一次函数的性质讨论即可.
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm.点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s.连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t（0＜t＜5）.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠PAO＝∠QCO.
又∵∠AOP＝∠COQ，
∴△APO≌△CQO，
∴AP＝CQ＝t.
∵BC＝5，
∴BQ＝5－t.
∵AP∥BQ，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t＝5－t，∴t＝ ，
∴当t＝ 时，四边形ABQP是平行四边形
（2）解：如图
过A作AH⊥BC于点H，过O作OG⊥BC于点G.
在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，
∴CO＝ AC＝2，
S△ABC＝ AB·AC＝ BC·AH，
∴3×4＝5AH，
∴AH＝ .
∵AH∥OG，OA＝OC，
∴GH＝CG，
∴OG＝ AH＝ ，
∴y＝S△OCD＋S△OCQ＝ OC·CD＋ CQ·OG，
∴y＝ ×2×3＋ ×t× ＝ t＋3；
（3）解：存在.
∵OE是AP的垂直平分线，如图
∴AE＝ AP＝ ，∠AEO＝90°，
由（2）知：AO＝2，OE＝ ，
由勾股定理得：AE2＋OE2＝AO2，
∴（ t）2＋（ ）2＝22，
∴t＝ 或－ （舍去），
∴当t＝ 时，点O在线段AP的垂直平分线上.
故答案为（1）当t＝ 时，四边形ABQP是平行四边形（2）y＝ t＋3（3）存在，当t＝ 时，点O在线段AP的垂直平分线上.
【解析】【分析】（1）根据ASA证明△APO≌△CQO，再根据全等三角形的性质得出AP＝CQ＝t，则BQ＝5－t，再根据平行四边形的判定定理可知当AP∥BQ，AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t＝5－t，求出t的值即可求解；（2）过A作AH⊥BC于点H，过O作OG⊥BC于点G，根据勾股定理求出AC＝4，由Rt△ABC的面积计算可求得AH＝ ，利用三角形中位线定理可得OG= ，再根据四边形OQCD的面积y=S△OCD＋S△OCQ＝ OC·CD＋ CQ·OG，代入数值计算即可得y与t之间的函数关系式；（3）如图2，若OE是AP的垂直平分线，可得AE＝ AP＝ ，∠AEO＝90°，根据勾股定理可得AE2＋OE2＝AO2，由（2）知：AO＝2，OE＝ ，列出关于t的方程，解方程即可求出t的值.
20．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：6，7，7，9，9，10；
小亮：5，8，7，8，10，10.
平均数（环） 中位数（环） 方差（环2）
小华 a 8 2
小亮 8 b 3
（1）表格中，a= ；b= ；
（2）根据以上表格中的信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，求小亮这8次射击成绩的方差.
【答案】（1）8；8
（2）解：选择小华参赛，理由如下：∵小亮的方差是3，小华的方差是2，即3＞2，而小亮的平均数和小华的平均数相等，
∴小华的成绩稳定，
∴选择小华参赛；
（3）解：小亮再射击后的平均成绩是（8×6+7+9）÷8=8（环），
射击后的方差是：
×[（5-8）2+（7-8）2×2+（8-8）2×2+（10-8）2×2+（9-8）2]=2.5（环2）.
【解析】【解答】解：（1）小华的平均成绩为a=（6+7+7+9+9+10）÷6=8（环），
把小亮的成绩从小到大排列为5，7，8，8，10，10，
则中位数为=8（环），
故答案为：8，8；
【分析】（1）首先求出小华的总环数，然后除以总次数可得平均数a的值，把小亮的成绩从小到大进行排列，求出中间两个数据的平均数可得中位数b的值；
（2）根据平均数、方差的大小进行分析判断；
（3）首先求出小亮的平均成绩，然后结合方差的计算公式进行计算.
21．如图，是的中线，，且，连接，.
（1）求证：；
（2）当满足条件 时，四边形是矩形，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵是的中线，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：当△ABC满足AB=AC（或）时，四边形ADCE是矩形，
∴，，
∴AE=CD.
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=DE，
∴当AB=AC（或）时，AC=DE，
∴四边形ADCE是矩形.
【解析】【分析】（1）由三角形的中线的定义及，可得AE=BD，结合AE∥BC可证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即得结论；
（2）先证四边形ADCE是平行四边形 ，再证AC=DE，根据矩形的判定定理即证.
22．狗头枣产于陕西省延安市一带，久负盛名，其性味甘平，有润心肺、止咳、补五脏、治虚损的功效，已成为革命圣地延安最为著名的特产．某经销商购进了一批狗头枣，根据以往的销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：当单价为38元/千克时，每天可以销售50千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，若设单价下调了x元/千克，销售量为y千克．
（1）y与x之间的关系式为 ；
（2）当售价为28元/千克，这天的销售量是多少？
（3）如果这批狗头枣的进价是20元/千克，某天的售价定为30元/千克，则这天的销售利润是多少元？
【答案】（1）
（2）解：当售价为28元/千克时，则单价下调了10元，
∴当时，销售量（千克）；
（3）解：当售价定为30元/千克时，则，
∴，
（元）．
答：这天销售利润是660元．
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，y与x之间的关系式为.
故答案为：.
【分析】（1）由题意可得销量会增加2x千克，实际的销量为(50+2x)千克，据此可得y与x的关系式；
（2）当售价为28元/千克时，则单价下调了10元，将x=10代入（1）的关系式中进行计算即可；
（3）当售价为30元/千克时，则单价下调了8元，将x=8代入（1）关系式中求出y的值，然后根据销售量×(售价-进价)即可求出销售利润.
23．如图，在直角△中，点D，E，F分别是边，， 的中点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求出矩形的周长．
【答案】（1）证明：连接DE．
∵E，F分别是边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∵点D是边AB的中点，
∴AD＝AB．
∴AD＝EF．
∴四边形ADFE为平行四边形；
由点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE＝BC．
∵在直角△ABC中，点F是边BC的中点，
∴BC＝2AF，
∴DE＝AF，
∴四边形ADFE为矩形；
（2）解：∵四边形ADFE为矩形，
∴∠BAC＝∠FEC＝90°，
∵AF＝2，
∴BC＝4，CF＝2，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2，CE＝，EF＝1，
∴AE＝，
∴矩形ADFE的周长＝2+2．
【解析】【分析】（1）连接DE，根据三角形的中位线的性质即可得出结论；
（2）根据矩形的性质得出∠BAC＝∠FEC＝90°，解直角三角形即可得出结论。
24．已知正比例函数的图象经过点M（-1，5）
（1）求这个函数的表达式；
（2）若将这个函数的图象向上平移5个单位后，写出图象与 轴的交点坐标.
【答案】（1）解：设正比例函数表达式为： ，
∵图象经过点 ，
代入表达式得： ，
∴ ，
∴这个函数的表达式为：
（2）解：图象向上平移5个单位后为： ，
图象与y轴相交：令 ，则 ，
∴图象与y轴的交点坐标为：（0，5）
【解析】【分析】（1）设正比例函数的解析式为y=kx，将点M坐标代入可得k的值，据此可得函数解析式；
（2）将图象向上平移5个单位后为y=-5x+5，然后令x=0，求出y的值，据此可得与y轴的交点坐标.
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF
（1）若a=4 ，求CE的长
（2）求 的值
【答案】（1）解：设CE=x，
因为 AC=BC=a=4 ， A点翻折与点D重合
所以AE=DE=4-x，
∵ AD是BC边上的中线， a=4
∴D为BC中点，CD=2
在Rt△CDE中，4+x =(4-x)
解得x=
所以CE长为
（2）解：设CE=x，
因为 AC=BC=a， A点翻折与点D重合
所以AE=DE=a-x，
∵ AD是BC边上的中线，
∴D为BC中点，CD=
在Rt△CDE中，+x =(a-x)
解得x=
所以CE长为，AE=a-CE=
所以
【解析】【分析】
（1）本题考查勾股定理与翻折问题，根据翻折，可知DE=AE，然后设CE为x，在△CDE中利用勾股定理列方程即可求得；
（2）本题思路和第（1）题相同，用含有a的表达式整理出CE与AE的值，然后再求比值。
26．龙华区某学校组织400名师生春游，计划租用7辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表．
甲种客车 乙种客车
载客量（座/辆） 70 45
租金（元/辆） 600 480
（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；（不要求写出x的取值范围）
（2）如何租车能保证所有的师生可以参加春游且租车费用最少，最少费用是多少元？
【答案】（1）解：由题意，得：
y＝600x+480（7﹣x），
化简，得y＝120x+3360，
即y（元）与x（辆）之间的函数表达式是y＝120x+3360；
（2）解：由题意，得：
，
解得 ，
∵y＝120x+3360，x为整数，
∵k=120 0，y随x的增大而增大，
∴x＝4时，租车费用最少，最少为：y＝120×4+3360＝3840（元），
即租甲种客车4辆，乙种客车3辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是3840元．
【解析】【分析】（1）根据表格可求出y于x间的函数表达式；
（2）由表格中的数据可得出甲乙两辆车的载客量应至少为400人，从而可列出相应的不等式得到x的值，因为x为整数，从而可得到解答。
27．如图，已知一次函数ykxb的图象经过A(2，2)，B（1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△DOB的面积．
【答案】（1）解：把A(2，2)，B（1，4）代入y=kx+b得
，解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）解：将x=0代入 ，得：y=2，
将y=0代入 ，得：x=-1，
∴点C和点D的坐标分别为C（-1，0），D（0，2）；
（3）解： ，
∴△DOB的面积为1．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可；
（2）将x=0和y=0分别代入一次函数解析式求出点C、D的坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式可得
。
28．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，且AE＝2
（1）若直线l经过点E，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点F，用无刻度的直尺画出点F；
（2）连接AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：如图所示，点F即为所求作的点.
（2）解：四边形AFCE是平行四边形，理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC.
∴∠OAE＝∠OCF.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF.
∴OE＝OF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分，作出平行四边形ABCD的对角线，过对角线的交点作直线EF，交AC边于点F.
（2）利用平行四边形的性质可证得OA＝OC，AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠OAE=∠OCF，然后利用ASA可证△AOE≌△COF，利用全等三角形的对应边相等，可证得OE=OF；然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
29．为了解某种车的耗油量，我们对这种车做了试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间t（h） 0 1 2 3 ……
剩余油量Q（L） 50 44 38 32 ……
（1）根据上表的数据，请写出Q与t的函数关系式．
（2）汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？
（3）若汽车油箱中剩余油量为14L，则汽车行驶了多少小时？
（4）贮满50L汽油的汽车，最多行驶几小时？
【答案】（1）解：由表可得，开始油箱中的油为 ，每行驶 小时，油量减少 ，
∴ ；
（2）解：当 时， ，
答：汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是20升
（3）解：当 时， ，
解得： ．
答：若汽车油箱中剩余油量为 ，则汽车行驶了6小时
（4）解：当 时， ，
解得， ，
答：贮满 汽油的汽车，理论上最多能行驶 小时．
【解析】【分析】（1）利用剩余油量=开始邮箱中油量-6小时耗油量，即得Q与t的函数关系式；
（2）利用（1）结论，求出当t=5时Q值即可；
（3）利用（1）结论，求出Q=14时t值即可；
（4）利用（1）结论，求出Q=0时的t值即可.
30．在平面直角坐标系xOy中，对于点 和点 ，给出如下定义：若 ，则称点 为点 的“调控变点”．例如：点（2，1）的“调控变点”为（2，1）．
（1）点（ ，4）的“调控变点”为 ；
（2）若点N（m，3）是函数 上点M的“调控变点”，求点M的坐标；
（3）点P为直线 上的动点，当 时，它的“调控变点”Q所形成的图象如图所示（端点部分为实心点）．请补全当 时，点P的“调控变点” 所形成的图象．
【答案】（1）
（2）解：点N（m，3）是函数y= 图象上点M的“可控变点”，
当m≥0时，点M的纵坐标为3，
令3= ，
则x=1，
即M（1，3）；
当m<0时，点M的纵坐标为-3，
令 ，
则x= ，
即M ；
∴点M的坐标为（1，3）或 ；
（3）解：点P为直线y=2x-2上的动点，
∴P（x，2x-2），当x<0时，点P的“可控变点”Q为（x，-2x+2），
即Q的纵坐标为-2x+2，
即Q的坐标符合函数解析式y=-2x+2，
∴当x<0时，点P的“可控变点”Q所形成的图象如下图．
【解析】【解答】（1）根据“可控变点”的定义可得，点 的“可控变点”为点 ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据题意可以知道，当x0时，y不变，当x0时，y变为相反数。从而求出点（-2，4）的“调控变点”.
（2）由于N（m，3）是M点的“调控变点”，当m0时，M点的纵坐标为3，将M点代入函数y=x+2，可得到x，再看x是否大于或等于0.当m0时，M点的纵坐标为-3，将M点代入函数y=x+2中，得到x，再看x是否小于0.
31．为了打赢湖北保卫战、武汉保卫战，4万多名医护人员逆行出征，约4万名建设者从八方赶来，并肩奋战，抢建火神山和雷神山医院．他们日夜鏖战，与病毒竞速，创造了10天左右时间建成两座传染病医院的“中国速度”！他们不畏风险，同困难斗争，充分展现团结起来打硬仗的“中国力量”，在建设过程中，有一位木工遇到了这样一道数学题：
有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积？
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为 ，宽为 的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
【答案】（1）解：∵两个正方形的面积分别为 和 ，
∴这两个正方形的边长分别为 和 ，
∴剩余木料的面积为 ；
（2）2
【解析】【解答】解：（2）∵剩余木料的长为 ，宽为 ，且 ， ，
∴从剩余的木料中截出长为 ，宽为 的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．
【分析】（1）先利用正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据矩形的面积公式计算即可；
（2）先估算出剩余木料的长和宽的范围，再进行计算即可得出答案。
32．某社区活动中心为中老年舞蹈队统一队服和道具，准备购买 10 套某种品牌的舞蹈鞋，每双舞蹈鞋配 x（x≥2）个舞蹈扇，供舞蹈队队员使用．该社区附近 A，B 两家超市都有这种品牌的舞蹈鞋和舞蹈扇出售，且每双舞蹈鞋的标价均为 30 元，每个舞蹈扇的标价为 3 元，目前两家超市同时在做促销活动：
A 超市：所有商品均打九折（按标价的 90%）销售；
B 超市：买一双舞蹈鞋送 2 个舞蹈扇．
设在 A 超市购买舞蹈鞋和舞蹈扇的费用为 （元），在 B 超市购买舞蹈鞋和舞蹈扇的费用为 （元）．请解答下列问题：
（1）分别写出
， 与 x 之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
【答案】（1）解：由题意得：
=
=
（2）解：若 ，即 ，
若 ，即 ，
若 ，即 ，
∴当 时，到B超市购买更划算
当 时，两家超市都一样
当 时，到A超市购买更划算
【解析】【分析】（1）根据购买费用=单价×数量建立关系式就可以表示出 ， 的解析式；
（2）分三种情况进行讨论，当、、时，分别求出购买划算的方案。
33．如图，在 中， ， 和 的角平分线交于D点，E、F、G、H分别是线段 、 、 、 的中点．
（1）求 的度数
（2）证明：四边形 为平行四边形
【答案】（1）解：
分别平分 和
，
∴
=
（2）证明：∵E、F、G、H分别是线段 、 、 、 的中点
∴ 分别是△ABC和△DBC的中位线，
且EF= BC ，GH= BC
∴
∴四边形 为平行四边形.
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ABC+∠ACB=110°，再根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形中位线的定理得到EF//BC，GH//BC，且 EF= BC ，GH= BC ，根据平行四边形的判定定理即可得到结论。
34．已知 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
，
∴
（2）解：
.
【解析】【分析】（1）根据题意先计算 和 的值，再化简原式得出 ，整体代入求解即可；（2）化简原式得出 ，利用 和 的值即可求解.
35．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”.为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机抽样调查了321名初中学生.根据调查结果将学生每天在校体育活动时间t（小时）分成 ， ， ， 四组，并绘制了统计图（部分）.
组： 组： 组： 组：
请根据上述信息解答下列问题：
（1） 组的人数是 ；
（2）本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该市约有12840名初中学生，请你估算其中达到国家规定体育活动时间的人数大约有多少.
【答案】（1）141
（2）C
（3）解：估算其中达到国家规定体育活动时间的人数大约有 （人）.
【解析】【解答】解：（1） 组人数为 （人），
故答案为：141；
（ 2 ）本次调查数据的中位数是第161个数据，而第161个数据落在 组，
所以本次调查数据的中位数落在 组内，
故答案为： .
【分析】（1）C组的人数为总人数减去各组人数；（2））根据中位数的概念即中位数应是第161个数据，即可得出答案；（3）首先计算样本中达国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达国家规定体育活动时间的人数.
36．如图所示，在平面直角坐标系中，把矩形OCBA绕点C顺时针旋转α角，得到矩形FCDE，设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（6，0）.
（1）当α=45°时，求H点的坐标.
（2）当α=60°时，ΔCBD是什么特殊的三角形 说明理由.
（3）当AH=HC时，求直线HC的解析式.
【答案】（1）解：H（2，4）
∵A（0，4），C（6，0），四边形OCBA为矩形，
OA=BC=4，AB=OC=6
∵α=45°，∠ABC=90°，
△HBC是等腰直角三角形，BH=BC=4，
AH=AB-BH=6-4=2，
H（2，4）.
（2）解：△CBD为等边三角形
∵α=60°，
∠BCD=∠α=60°
又∵BC=DC，
△CBD为等边三角形
（3）解：设AH=CH=x，则在RtΔBCH中由勾股定理可得x2=（6-x）2+42，解得x= .故H（ ，4）.
设HC：y=kx+b（k≠0），则有 解得
∴直线HC的解析式为y=- x+ .
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得OA=BC=4，AB=OC=6，由已知条件可知△HBC是等腰直角三角形，故可求AH=2，即可求出H的坐标；（2）根据α=60°，得∠BCD=∠α=60°，又BC=DC即可证明△BCD是等边三角形；（3）设AH=CH=x，则在RtΔBCH中由勾股定理代入数进行计算即可得到AH的长，进而得到H点坐标，设HC：y=kx+b（k≠0），再把C与H的坐标代入求解即可.
37．一次函数 ．
（1）若函数图象经过原点，求 的值；
（2）若函数图象平行于直线 ，求 的值；
（3）在（1）的条件下，将这个正比例函数的图象向右平移4个单位，求出平移后的直线解析式．
【答案】（1）解：将x=0，y=0代入函数 得：
，则
（2）解：∵函数 图像平行于直线 ，
∴ 则
（3）解：当 时，函数解析式为： ，
平移后： .
【解析】【分析】（1）根据函数图象经过原点可得
，再计算求解即可；
（2）根据平行求出
，再解方程计算求解即可；
（3）根据平移的性质求出函数解析式。
38．如图，已知一次函数y1=-x+b的图象交x轴于点A（3，0），与一次函数y2= x+1的图象交于点B.
（1）求一次函数y1=-x+b的表达式；
（2）当x取哪些值时，0【答案】（1）解：∵一次函数y1=-x+b的图象交x轴于点A（3，0），
将点A（3，0）代入y1=-x+b，
得0=-3+b，解得b=3，
所以一次函数y1=-x+b的表达式为y1=-x+3；
（2）当-x+3= x+1时，
解得： ，即点B的横坐标为 ，
观察图象可知，
当 时，0【解析】【分析】(1)由一次函数y1=-x+b的图象交x轴于点A（3，0），用待定系数法列式求解即可得到答案；(2)先求出两个一次函数函数的交点坐标，观察图像可以直接得到答案；
39．某电脑公司经销甲种型号电脑，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元.如果卖出相同数量的电脑，去年的销售额为10万元，那么今年的销售额只有8万元.
（1）今年三月份甲种型号电脑每台的售价为多少元
（2）为增加收入，电脑公司决定经销乙种型号电脑.已知甲种型号电脑每台的进价为3500元，乙种型号电脑每台的进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种型号的电脑共15台，则有几种进货方案
（3）如果乙种型号电脑每台的售价为3800元，为打开乙种型号电脑的销路，公司决定每售出一台乙种型号电脑，返还顾客现金a元，要使(2)中所有方案的获利相同，那么a的值应是多少？
【答案】（1）设今年三月份甲种型号电脑每台的售价为x元.
根据题意，得 ，
解得
经检验， 是原方程的解.
∴今年三月份甲种型号电脑每台的售价为4000元
故答案为：今年三月份甲种型号电脑每台的售价为4000元
（2）设购进甲种型号电脑y台，则购进乙种型号电脑(15-y)台.
由题意得：48000≤3500y+3000(15-y)≤50000，
解得6≤y≤10
∴y的正整数解为6，7，8，9，10
∴共有5种进货方案
故答案为：共有5种进货方案
（3）设总获利为 元，则 =(4 000-3500)y+(3800-3000-a)(15-y)
=(a-300)y+12000-15a，
∴当a=300时， =12000-15a，（2）中所有方案的获利相同.
故答案为：a=300
【解析】【分析】（1）根据销售的数量相等，则每台降低的价格乘以台数就是销售额减少的数量，即可列方程求解；（2）根据销售额的范围即可列不等式组求得电脑台数的范围；（3）把获利 表示成台数y之间的函数，根据函数的性质求解.
40．在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE.
（1）求∠B的度数；
（2）求线段DE的长.
【答案】（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ ；
（2）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的高，即∠ADB＝90°
在直角三角形ABD中，点E是AB的中点，
∴DE为斜边AB边上的中线，
∴DE .
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质∠B=∠C可推导求出；（2）根据等腰三角形的性质，确定点D是BC的中点，从而得出DE是△ABC的中位线，从而得出DE的长.
41．计算：
（1）已知 ，求代数式 的值；
（2）已知 ， ，求代数式 的值.
【答案】（1）解：∵
∴原式= ；
（2）解：∵ ，
∴原式= .
【解析】【分析】（1）将x的值代入代数式，先算乘方和乘法运算，再合并同类二次根式.
（2）将a，b的值代入代数式，先利用完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式.
42．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值．
【答案】（1）解：设CD=x，则BC=8-x，
∵AC= ，CE= ，
∴AC+CE= +
（2）解：由两点之间线段最短可知，当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小
（3）解：如图所示
作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数 的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE= = =13，
即 的最小值为13．
【解析】【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式 的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
43．某快餐店共有10名员工，所有员工工资的情况如下表：
人员 店长 厨师甲 厨师乙 会计 服务员甲 服务员乙 勤杂工
人数 1 1 1 1 1 3 2
工资额 20000 7000 4000 2500 2200 1800 1200
请解答下列问题：
（1）餐厅所有员工的平均工资是 ；所有员工工资的中位数是 ．
（2）用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？
（3）去掉店长和厨师甲的工资后，其他员工的平均工资是多少？它是否也能反映该快餐店员工工资的一般水平？
【答案】（1）4350；2000
（2）解：由（1）可知，用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当
（3）解：去掉店长和厨师甲的工资后，其他员工的平均工资是2062.5元，和（2）的结果相比较，能反映餐厅员工工资的一般水平．
【解析】【解答】解：（1）平均工资为 （20000+7000+4000+2500+2200+1800×3+1200×2）=4350元；
工资的中位数为 =2000元；
故答案为：4350，2000；
【分析】（1）计算出平均工资为（20000+7000+4000+2500+2200+1800×3+1200×2）÷10=4350元，工资的中位数为 （2200+1800）÷2=2000元；（2）由（1）可知，用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当；（3）去掉店长和厨师甲的工资后，其他员工的平均工资是2062.5元，和（2）的结果相比较，能反映餐厅员工工资的一般水平．
44．我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费．该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元．
（1）若0＜x≤6，请写出y与x的函数关系式．
（2）若x＞6，请写出y与x的函数关系式．
（3）如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？
【答案】（1）解：根据题意可知：
当0＜x≤6时，y=2x；
（2）解：根据题意可知：
当x＞6时，y=2×6+3×（x﹣6）=3x﹣6
（3）解：∵当0＜x≤6时，y=2x，
y的最大值为2×6=12（元），12＜27，
∴该户当月用水超过6吨．
令y=3x﹣6中y=27，则27=3x﹣6，
解得：x=11．
答：这个月该户用了11吨水．
【解析】【分析】（1）当0＜x≤6时，根据“水费=用水量×2”可得出y与x的函数关系式；
（2）当x＞6时，根据“水费=6×2+（用水量-6）×3”可得出y与x的函数关系式；
（3）当0＜x≤6时，y≤12，由此可知这个月该户用水量超过6吨，将y=27代入y=3x-6中，得到关于x的一元一次方程，然后求得x的值即可.
45．如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
（1）作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD= ；
（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
【答案】（1）14﹣x
（2）解：∵AD⊥BC，
∴AD2=AC2﹣CD2，AD2=AB2﹣BD2，
∴132﹣（14﹣x）2=152﹣x2，
解得：x=9
（3）解：由（2）得：AD= = =12，
∴S△ABC= BC AD= ×14×12=84
【解析】【解答】解：（1）∵BC=14，BD=x，
∴DC=14﹣x，
故答案为：14﹣x；
【分析】（1）直接利用BC的长表示出DC的长；（2）直接利用勾股定理进而得出x的值；（3）利用三角形面积求法得出答案．
46．某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元。每天工作8小时，一个月工作25天。月工资底薪800元，另加计件工资。加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元。在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时.(工人月工资底薪+计件工资)
（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时
（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”。设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元。请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺
【答案】（1）解：设一名熟练工加工1件A型服装需要x小时，1件B型服装需要y小时，根据题意得
解之：
答：熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时.
（2）解：当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装(25×8 2a)件。
∴W=16a+12(25×8 2a)+800，
∴W= 8a+3200
又∵a (200 2a)，
解得：a 50，
∵ 8<0，
∴W随着a的增大则减小，
∴当a=50时，W有最大值2800.
∵2800<3000，
∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺。
【解析】【分析】（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时，根据“一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时”，列出方程组，求解即可解答。
（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8-2a）件．从而得到W=-8a+3200，再根据“加工A型服装数量不少于B型服装的一半”，得到a≥50，利用一次函数的性质，即可解答．
47．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，点O是EF中点，连结BO井延长到G，且GO＝BO，连接EG，FG
（1）试求四边形EBFG的形状，说明理由；
（2）求证：BD⊥BG
（3）当AB＝BE＝1时，求EF的长，
【答案】（1）解：结论：四边形EBFG是矩形.
理由：∵OE=OF，OB=OG，
∴四边形EBFG是平行四边形，
∵∠ABC＝90°即∠CBF=90°，
∴ EBFG是矩形.
（2）证明：∵CD=AD，∠ABC＝90°，
∴BD=CD
∴∠C=∠CBD，
同理可得：∠OEB=∠OBE，
∵DF垂直平分AC，即∠EDC=90°，
∴∠C+∠DEC=90°，
∵∠DEC=∠OEB，
∴∠CBD+∠OBE=90°，
∴BD⊥BG.
（3）解：如图：连接AE，
在Rt△ABE中，AB=BE=1，
∴AE=，
∵DF是AC垂直平分线，
∴AE=CE，
∴BC=1+
∵∠CDE=∠CBF=90°，
∴∠C=∠BFE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（AAS）
∴BF=BC，
在Rt△BEF中，BE=1，BF=1+，
∴EF=.
【解析】【分析】本题是三角形与四边形的综合运用，在判定四边形的形状时，需要熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形共同和特有的判定条件，并能结合直角三角形的性质，解决角的度数与数量关系，线段的数量和位置关系等.
48．正方形中，点E为边上的任意一点（点E不与B，C重合），点P为线段上一动点，过点P作直线．
（1）如图1，当直线l经过点D时，直线l交边于点F，求证：；
（2）如图2，当直线l分别交边，边于点M，点N时，如果，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点M作于点H，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质即可得到，进而结合题意即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）过点M作于点H，进而根据题意得到，再根据正方形的性质即可得到，进而根据矩形的判定与性质即可得到，，从而得到，然后证明即可求解。
49．已知：如图，在平行四边形中，G、H分别是、的中点，，，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，当四边形是矩形时的长为 ．
【答案】（1）证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵G、H分别是 、 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）
【解析】【解答】解：（2）如图，连接GH
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD
∴∠ABE=∠CDF
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴BE=DF，AE=CF
∵GA//HB，GA=HB
∴四边形GABH是平行四边形，
∴GH=AB=4
当四边形GEHF是矩形时，EF=GH=4，
设BF=x，则BE=4-x
在Rt△AEB中，AE2=AB2-BE2=16-（x-4）2
在Rt△CFB中，CF2=BC2-BF2=49-x2
∵AE=CF，
∴16-（x-4）2=49-x2，解得x=，即BF=
∴DF=BE=-4=
∴BD=BF+DF=+=
故答案为：.
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC，AD//BC，从而得到∠GDB=∠FBH，在根据直角三角形斜边上的中线可以得到EG=FH，∠GED=∠BFH，然后可以得出EG//FH，从而证明四边形GEHF是平行四边形.
（2）连接GH，根据平行四边形的性质，证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，AE=CF，从而推出四边形GABH是平行四边形，得到GH=AB=4，根据矩形的性质，得到EF=GH=4，利用AE=CF和勾股定理，求出BF的长，然后求出BE、DF的长，利用BD=BF+DF就可以求出BD的长.
50．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：
（1）A，B两城相距 千米；甲车的速度为 ，乙车的速度为 ；
（2）乙车出发 小时后追上甲车；
（3）当甲、乙两车相距50千米时，t= ．
【答案】（1）300；60千米/时；100千米/时
（2）1.5
（3） 或 或 或
【解析】【解答】解：（1）由题意得A，B两城相距300km，
甲车的速度为，
乙车的速度为，
故答案为：300；60千米/时；100千米/时
（2）设甲车离开A城的距离y与时间t的关系式为y=at，
将（5，300）代入得a=60，
∴甲车离开A城的距离y与时间t的关系式为y=60t，
设乙车车离开A城的距离y与时间t的关系式为y=mt+n，
将（1，0），（4，300）代入得，解得，
∴乙车车离开A城的距离y与时间t的关系式为y=100t-100，
联立方程得，解得t=2.5，
∴乙车出发1.5小时后追上甲车，
故答案为：1.5
（3）由题意得，
∴，
当100-4t=50时，，
当100-4t=-50时，，
∵当时，乙还没有出发，但甲已经行驶50米，
当时，乙已经到达，此时甲乙也相距50米，
综上，t= 或 或 或 ，
故答案为： 或 或 或
【分析】（1）先根据图像即可得到A、B两城的距离，再根据速度=路程÷时间即可求出甲车和乙车的速度；
（2）设甲车离开A城的距离y与时间t的关系式为y=at，代入（5，300）即可得到解析式；设乙车车离开A城的距离y与时间t的关系式为y=mt+n，代入（1，0），（4，300）即可得到一个二元一次方程，进而即可求出m和n的值，从而求出解析式，再令联立甲乙两个解析式即可求解；
（3）先根据题意得到，进而分类讨论即可求解。
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