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北师大版七年级下册期中真题汇编培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知一个等腰三角形有一个角为80°，则顶角是（ ）
A．20° B．80° C．20°或80° D．不能确定
2．已知22×83=2n，则n的值为（ ）
A．18 B．8 C．7 D．11
3．下列等式中正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．对顶角相等，相等的角是对顶角
B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．任何一个锐角的余角比它的补角小90°
5．如图，有甲、乙、丙三种地砖，其中甲、乙是边长分别为a、b的正方形，丙是长为a宽为b的长方形（其中a>b），现在要拼成边长为（3a+b）的正方形，那么应取甲、乙、丙三种地砖的块数之比是（ ）
A．无法确定 B．2：1：2 C．3：1：2 D．9：1：6
6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，连接，，若．点M是直线上的一个动点，当最短时，求（ ）
A．5 B． C． D．3
7．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．买一张彩票，一定不会中奖
8．如图，下列5种说法：①∠1与∠4是内错角；②∠1与∠2是同位角；③∠4与∠5是同旁内角；①∠2与∠4是同位角；⑤∠2与∠5是内错角．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．计算的值是（ ）
A． B． C． D．2
10．式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 计算： ．
12． 如图，已知，，则 ．
13． ．
14．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若 ，则图中阴影部分面积是 .
15．一个等腰三角形的边长分别是4cm和9cm，则它的周长是 cm.
16．已知，则代数式的值为 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠BOD＝70°，∠DOF＝90°．则∠EOF＝ °；
（2）若OF平分∠COE，∠DOE＝40°，求∠BOF的度数．
18．已知的三边长是，，．
（1）若，，且三角形的周长是小于18的偶数．求边的长；
（2）化简．
19．如图，在四边形中，，，平分，E是上一点，交于点F．
（1）求的大小；
（2）若，求的大小．
20．如图， ， .
（1）若 ，求 的度数；
（2）判断 与 的位置关系，并说明理由.
21．已知：2a÷2b=2b÷2c=4，ac=5．
（1）a-c的值为 ；
（2）求a2+c2的值
22．甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2-7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x-3．
（1）求a，b的值；
（2）请计算这道题的符合题意结果
23．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
（1）如图，当点D在边BC上时，求证：①△ABD≌△ACE，②AC＝CE+CD；
（2）当点D不在边BC上时，其他条件不变，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．
24．如图，AD∥BC，若∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，射线OM上有一动点P．
（1）当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的何数量关系．
25．如图，在△ABC中，点E和点F在边BC上，连接AE，AF，使得∠EAC=∠ECA，∠BAE=2∠CAF．
（1）如图1，求证：∠BAF=∠BFA；
（2）如图2，在过点C且与AE平行的射线上取一点D，连接DE，若∠AED=∠B，求证：BE=CD；
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北师大版七年级下册期中真题汇编培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知一个等腰三角形有一个角为80°，则顶角是（ ）
A．20° B．80° C．20°或80° D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】（1）当80°角为顶角时，其顶角为80°；
（2）当80°为底角时，得顶角=180°-2×80°=20°．
故顶角为80°或20°．
故答案为：C．
【分析】分两种情况，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
2．已知22×83=2n，则n的值为（ ）
A．18 B．8 C．7 D．11
【答案】D
【解析】【解答】解：∵23×83=23×（23）3=23×29=211，22×83=2n，
∴n=11，
故选：D．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方，即可解答．
3．下列等式中正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【解答】对于A，正确结果应为-1，而对于B，
任何非零实数的0次方等于1，故B正确；
而C结果应为-20235，
对于D，正确结果应为20232.
故答案为：B.
【分析】任何非零实数的0次方为1，而A、C错在符号，D选项错在同底数幂运算的规则错误.
4．下列说法正确的是（ ）
A．对顶角相等，相等的角是对顶角
B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．任何一个锐角的余角比它的补角小90°
【答案】D
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，如角平分线分成的两个角，此选项错误，不符合题意；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，此选项错误，不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此选项错误，不符合题意；
D、设一个锐角为α，则它的余角比它的补小：（180°-α）-（90-α）=90°，此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据对顶角、余角和补角的定义、垂直的性质、点到直线的距离，依次判断即可求解.
5．如图，有甲、乙、丙三种地砖，其中甲、乙是边长分别为a、b的正方形，丙是长为a宽为b的长方形（其中a>b），现在要拼成边长为（3a+b）的正方形，那么应取甲、乙、丙三种地砖的块数之比是（ ）
A．无法确定 B．2：1：2 C．3：1：2 D．9：1：6
【答案】D
【解析】【解答】解：∵要拼成边长为的正方形，
∴正方形的面积为（3a+b）2.
由于（3a+b）2=9a2+b2+6ab，
∴甲、乙、丙三种地砖的块数之比是9：1：6.
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式展开（3a+b）2，各项的系数即为三种地砖的块数之比.
6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，连接，，若．点M是直线上的一个动点，当最短时，求（ ）
A．5 B． C． D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，依题意得，由垂线段最短可知，当且仅当OM⊥BC时，AM最小.
在△ABC中，有，
∴.
故选：B.
【分析】由垂线段最短分析最值时点M的位置，进一步结合已知条件信息故而用等积法可求一边上的高.
7．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．买一张彩票，一定不会中奖
【答案】C
【解析】【解答】解： A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，属于随机事件，故不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，故不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，故符合题意；
D、买一张彩票，一定不会中奖，属于随机事件，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
8．如图，下列5种说法：①∠1与∠4是内错角；②∠1与∠2是同位角；③∠4与∠5是同旁内角；①∠2与∠4是同位角；⑤∠2与∠5是内错角．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解： ①∠1与∠4不是内错角，原说法错误；
②∠1与∠2是同位角，原说法正确；
③∠2与∠4不是内错角，原说法错误；
④∠4与∠5是同旁内角，原说法正确；
⑤∠2与∠4不是同位角，原说法错误；
⑥∠2与∠5是内错角，原说法正确．
正确的有3个．
故答案为：C.
【分析】 根据内错角、同位角、同旁内角的定义进行分析即可．
9．计算的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】把0.522和（-2）23转化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘法法则计算即可。
10．式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2-1）S=（2-1）
∴S=
=
=
= ，
=
故答案为：C．
【分析】将代数式变形为（2-1） ，再利用平方差公式计算即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：
【分析】 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
12． 如图，已知，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴a∥b
∴∠4=∠3=60°
故答案为：60°
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得a∥b，再根据直线平行性质即可求出答案.
13． ．
【答案】
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】添加，然后连续利用平方差公式计算解题．
14．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若 ，则图中阴影部分面积是 .
【答案】4
【解析】【解答】解：由中线性质，可得AG=2GD，则 ，∴阴影部分的面积为4.
故答案为：4.
【分析】由中线性质，可得AG=2GD，进而根据同高三角形的面积的关系得出△ABG的面积=2△BDG的面积，进而再根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分得出△BGF的面积=△AGF的面积，进而即可解决问题.
15．一个等腰三角形的边长分别是4cm和9cm，则它的周长是 cm.
【答案】22
【解析】【解答】解：当4cm是腰时，4+4＜9cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当9cm是腰时，周长=9+9+4=22cm．
故该三角形的周长为22cm．
故答案为：22．
【分析】分类讨论，腰长和底边长分别是4cm和9cm中的哪一个.
16．已知，则代数式的值为 .
【答案】2023
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴原式.
故答案为：2023.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(2x+1)(4x-3)=8x2-2x-3，由已知条件可得8x2-2x=2026，然后代入进行计算.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠BOD＝70°，∠DOF＝90°．则∠EOF＝ °；
（2）若OF平分∠COE，∠DOE＝40°，求∠BOF的度数．
【答案】（1）55
（2）∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝40°＝∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝80°，
∴∠COE＝180°-∠DOE＝180°-40°＝140°，
∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠EOF＝∠COE＝×140°＝70°，
∴∠BOF＝∠EOF-∠BOE
＝70°-40°
＝30°．
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOD＝70°，∠DOF＝90°，
∴∠BOF-∠DOF-∠BOD=20°.
∵∠BOD＝70°，OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠BOD=35°，
∴∠EOF=∠BOF+∠BOE=20°+35°=55°.
故答案为：55.
【分析】（1）根据角的和差关系可得∠BOF-∠DOF-∠BOD=20°，由角平分线的概念可得∠BOE=∠BOD=35°，然后根据∠EOF=∠BOF+∠BOE进行计算；
（2）由角平分线的概念可得∠BOD＝2∠DOE＝80°，由平角的概念可得∠COE的度数，由角平分线的概念可得∠COF＝∠EOF＝∠COE＝70°，然后根据∠BOF＝∠EOF-∠BOE进行计算.
18．已知的三边长是，，．
（1）若，，且三角形的周长是小于18的偶数．求边的长；
（2）化简．
【答案】（1），，是的三边，，，
，
三角形的周长是小于18的偶数，
，
或6；
（2），，是的三边，
，，
，
．
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系推出c的取值范围，再根据题意得到c的长；
（2）根据绝对值的定义以及三角形的三边关系化简即可得到结果.
19．如图，在四边形中，，，平分，E是上一点，交于点F．
（1）求的大小；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DCB+∠D=180°，结合∠D的度数可得∠DCB的度数，由角平分线的概念可得∠ACB=∠DCB，由平行线的性质可得∠DAC=∠ACB，据此解答；
（2）由平行线的性质可得∠BAC=∠BFE=3∠B，由内角和定理可得∠BAC+∠B的度数，进而可求出∠B的度数，然后根据∠BAC=3∠B进行计算.
20．如图， ， .
（1）若 ，求 的度数；
（2）判断 与 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2） .
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和对顶角的线段得出∠BDC=∠1，再根据平角的定义得出∠BDC+∠2=180°，即可求出∠2的度数；
（2）根据平行线的性质得出∠A+∠ADC=180°，从而得出∠C+∠ADC=180°，再根据平行线的判定定理即可得出BC∥AD.
21．已知：2a÷2b=2b÷2c=4，ac=5．
（1）a-c的值为 ；
（2）求a2+c2的值
【答案】（1）4
（2）（a-c）2=a2+c2-2ac=16
∵ac=5
∴a2+c2=26
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，2a-b=4，2b-c=4
∴a-b=2，b-c=2
∴a-b+b-c=2+2=4
∴a-c=4
【分析】（1）根据同底数幂的除法，运算得到a-c的值即可；
（2）根据a-c的值以及ac的值，利用完全平方公式，计算得到答案即可。
22．甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2-7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x-3．
（1）求a，b的值；
（2）请计算这道题的符合题意结果
【答案】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：（x-a）（2x+b）=2x2+（-2a+b）x-ab=2x2-7x+3，
故：对应的系数相等，-2a+b=-7，ab=-3
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab=x2+2x-3．
故：对应的系数相等，a+b=2，ab=-3，
∴
∴，
解得，
（2）正确的计算结果：（x+3）（2x-1）=2x2+5x-3．
【解析】【分析】（1）先根据题意求出甲的结果（x-a）（2x+b）=2x2+（-2a+b）x-ab=2x2-7x+3，再利用待定系数法可得-2a+b=-7，ab=-3，再求出乙的结果（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab=x2+2x-3，再利用待定系数法可得a+b=2，ab=-3，最后利用二元一次方程组求出a、b的值即可；
（2）将a、b的值代入（x+a）（2x+b），再利用多项式乘多项式的计算方法求解即可。
23．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
（1）如图，当点D在边BC上时，求证：①△ABD≌△ACE，②AC＝CE+CD；
（2）当点D不在边BC上时，其他条件不变，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．
【答案】（1）证明：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵BC＝BD+CD，AC＝BC，
∴AC＝CE+CD；
（2）解：如图2，当点D在边BC的延长线上时，AC＝CE﹣CD，
理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CE﹣CD＝BD﹣CD＝BC＝AC，
∴AC＝CE﹣CD；
如图3，当点D在边CB的延长线上时，AC＝CD﹣CE，
理由如下：同（2）的方法可证，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
∵BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE，
∴AC＝CD﹣CE，
综上所述，点D在边BC的延长线上，AC＝CE﹣CD；点D在边CB的延长线上，AC＝CD﹣CE．
【解析】【分析】（1）①先利用等边三角形的性质和角的运算可得∠BAD＝∠CAE，再利用“SAS”证明△ABD≌△ACE即可；
②根据全等的性质可得BD=CE，再利用BC＝BD+CD，AC＝BC，可得AC＝CE+CD；
（2）分两种情况，分别画出图形，先利用“SAS”证明△ABD≌△ACE，再利用全等三角形的性质和等量代换求解即可。
24．如图，AD∥BC，若∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，射线OM上有一动点P．
（1）当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的何数量关系．
【答案】（1）解：∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图1，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）解：分两种情况：①当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β-∠α；
理由：如图2，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE-∠DPE＝∠β-∠α；
②当P在BO之间时，∠CPD＝∠α-∠β．
理由：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE-∠CPE＝∠α-∠β．
【解析】【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，根据平行线的性质可得∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，再利用角的运算和等量代换可得∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）分两种情况：①当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β-∠α；②当P在BO之间时，∠CPD＝∠α-∠β，再分别画出图象并求解即可。
25．如图，在△ABC中，点E和点F在边BC上，连接AE，AF，使得∠EAC=∠ECA，∠BAE=2∠CAF．
（1）如图1，求证：∠BAF=∠BFA；
（2）如图2，在过点C且与AE平行的射线上取一点D，连接DE，若∠AED=∠B，求证：BE=CD；
【答案】（1）设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ；
（2） ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
【解析】【分析】（1）设 ，则 ，可得 ， ，易证 ；（2）根据 ， ，则有 ， ， ，利用AAS可证 ，则有 ．
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