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北师大版八年级下册期中模拟进阶提升卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于（ ）
A．50° B．130° C．100° D．65°
2．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，交于点，平分交于点，连接，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5． 由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A－∠B=∠C B．a：b：c=1：2：3
C． D．，，
6．如图，在中，，，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，，则的度数为（ ）
A．158° B．148° C．58° D．32°
9．用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（ ）
原料 甲 乙
维生素 600单位 100单位
原料价格 8元 4元
A．
B．
C．
D．
10．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若 S△APD=a，S△BQC=b，S ABCD=c，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图一次函数（为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是 ．
12．如图，射线是的平分线，C是射线上一点，于点F．若D是射线上一点，且，则的面积是 ．
13．平行四边形的两条对角线分别为和，则该平行四边形的一条边的取值范围为 ．
14．若一个三角形的三边长分别为，3，2，则此三角形的面积为 ．
15．若分式方程 有正数解，则 的取值范围是 .
16．三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．
（1）试证明是等腰三角形；
（2）求的长．
18．如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求和的长．
19．如图，中，.
（1）作BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E
（2）连接BE，若，求的度数.
20．已知一次函数.
（1）若图象过一、二、三象限，求的取值范围；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
21．如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点
（1）请画出关于原点对称的；
（2）设点与点关于轴对称，将点向上平移个单位长度得到点，使点落在的内部，直接写出点的坐标与的取值范围.
22．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE。
（1）若∠ADB=40°，求∠E的度数。
（2）若AB=3，CE=5，求AE的长。
23．
（1）解不等式
，并在数轴上表示其解集；
（2）解不等式组：
24．如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.
求：
（1）△ABC的周长；
（2）∠ABC度数.
25．某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？
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数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于（ ）
A．50° B．130° C．100° D．65°
【答案】B
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∠A=∠C，
∠B+∠D＝100°，
∠A+∠C＝260°，
2∠A＝260°，
∠A = 130° ，
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质得到∠A=∠C，结合∠B+∠D＝100°，利用四边形的内角和得到∠A+∠C＝260°，进而得到2∠A＝260°，从而求解.
2．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，
解得：.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义，列出不等式求解．
3．春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义可得：B选项图为中心对称图形，A，C，D都不是．
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断可得答案。
4．如图，在中，，交于点，平分交于点，连接，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，平分，，
∴，，
∴，
∴，即为的中点，
∴，
如图，作于，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，然后根据中线得到，，作于，即可求出AF长，在根据勾股定理求出CF长然后根据平行四边形的面积公式计算解题．
5． 由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A－∠B=∠C B．a：b：c=1：2：3
C． D．，，
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A-∠B=∠C，
∴∠A+∠B+∠A-∠B=180°，
∴∠A=90°，即△ABC是直角三角形；此选项不符合题意；
B、∵a：b：c=1：2：3，
∴设a=x，b=2x，c=3x，
∴a2+b2=x2+(2x)2=5x2，c2=(3x)2=9x2，
∴a2+b2≠c2，即△ABC不是直角三角形；此选项符合题意；
C、∵（b+c）（b-c）=a2，
∴b2-c2=a2，则a2+c2=b2，
∴∠B=90°，即△ABC是直角三角形；此选项不符合题意；
D、∵a=1，b=，c=，
∴a2+b2=12+()2=1+2=3=()2=c2，
∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形；此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据三角形的内角和定理“三角形三内角的和等于180°”并结合已知可求得∠A=90°，由直角三角形的定义可判断求解；
B、由题意设a=x，b=2x，c=3x，计算a2+b2和c2的值可知a2+b2≠c2，然后根据勾股定理的逆定理可判断求解；
C、由平方差公式可得a2+c2=b2，然后根据勾股定理的逆定理可判断求解；
D、由题意，计算a2+b2和c2的值可知a2+b2=c2，然后根据勾股定理的逆定理可判断求解.
6．如图，在中，，，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接CM
∵D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE为△CMN的中位线，
∴DE=CM.
当CM⊥AB时，CM取的最小值，此时DE也就取得最小值.
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10.
∵S△ABC=AB·CM=AC·BC，
∴CM=，
∴DE=CM=，即DE的最小值为.
故答案为：B.
【分析】连接CM，由题意可得DE为△CMN的中位线，则DE=CM，根据垂线段最短的性质可得：当CM⊥AB时，CM取的最小值，此时DE也就取得最小值，由勾股定理可得AB的值，根据等面积法可得CM，进而不难求出DE的最小值.
7．下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、三角形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意；
B、四边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意；
C、五边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意；
D、六边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】计算多边形的内角和和外角和，逐项判断解题即可．
8．在中，，则的度数为（ ）
A．158° B．148° C．58° D．32°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°-∠A=180°-40°=140°.
故答案为：B
【分析】利用平行四边形的对边平行，可证得AD∥BC，再利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠B的度数.
9．用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（ ）
原料 甲 乙
维生素 600单位 100单位
原料价格 8元 4元
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料（10-x）kg，
根据题意，得：；
故答案为：C.
【分析】所需甲种原料x（kg），则需乙种原料（10-x）kg，根据xkg甲原料所含维生素+（10-x）kg乙原料所含维生素≥4200单位；购买甲原料所花的费用+购买乙原料所花的费用≤72，列出不等式组即可求解.
10．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若 S△APD=a，S△BQC=b，S ABCD=c，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图
△ABF与平行四边形ABCD等底等高，故S△ABF=SABCD=c，于是S△ADF+S△BCF=c，S△APD=a，S△BQC=b故S△PFD+S△FCQ=c-a-b，
故选B.
【分析】结合等底等高的三角形和平行四边形，可得△ABF的面积为平行四边形面积的一半，再将剩下的一半减去△APD和△BCQ的面积即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图一次函数（为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：一次函数、为常数，且的图象与直线都经过点，
由图象可知，当时，的取值范围是，
故答案为：．
【分析】根据函数图象找到在下方的部分即可．
12．如图，射线是的平分线，C是射线上一点，于点F．若D是射线上一点，且，则的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】过点C作CH⊥OB于点H，
由OE平分∠AOB，CF⊥OA，CH⊥OB得CH=CF=3，而OD=3，故S△ODC==
故答案为：.
【分析】由角平分线的性质可得C到OB的距离等于CF，再求面积.
13．平行四边形的两条对角线分别为和，则该平行四边形的一条边的取值范围为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，
平行四边形，
，，
在中，，
即：，
则该平行四边形的一条边的取值范围为：，
故答案为：，
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得到，，然后根据三角形三边关系解题即可．
14．若一个三角形的三边长分别为，3，2，则此三角形的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】∵，
∴三角形是直角三角形且直角边为和2，
∴三角形的面积=××2=，
故答案为：.
【分析】先证出三角形是直角三角形且直角边为和2，再利用三角形的面积公式求解即可.
15．若分式方程 有正数解，则 的取值范围是 .
【答案】k＜6
【解析】【解答】解： ，
解得，x=-k+6
∵分式方程 有正数解，
∴-k+6＞0，
∴k＜6
故答案为：k＜6
【分析】解分式方程 得x=-k+6，根据分式方程 有正数解，得-k+6＞0，解此不等式即可.
16．三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是 .
【答案】直角三角形
【解析】【解答】解：∵（a-b）2=c2-2ab，
∴a2-2ab+b2=c2-2ab，
∴a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【分析】首先对等式进行变形得到a2+b2=c2，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．
（1）试证明是等腰三角形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：由折叠可得，，
由可得，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：设，则，
∵，
∴中，，即，
解得，
∴．
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得∠BAC=∠EAC，根据矩形的性质可得∠BAC=∠DCA，进而得到∠DCA=∠EAC，由此可证；
（2）在Rt△ADF中，根据勾股定理可求。
18．如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求和的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，解得：．
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得 ，由矩形的性质得AB∥CD，进而得出∠BAP=∠PQD，∠BPA=∠DPQ，根据等量代换可得∠PQD=∠DPQ，故而可证。
（2）根据勾股定理即可求解。
19．如图，中，.
（1）作BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E
（2）连接BE，若，求的度数.
【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：如图：
垂直平分BC
又
故答案为：
【解析】【分析】（1）根据作已知线段垂直平分线步骤，即分别以C、B为圆心，大于BC一半长为半径，画圆弧在BC线段两侧各交一点，连接两点并延长交BC于点D，交AC于点E，即可画出线段BC的线段垂直平分线；
（2）由垂直平分线性质可得BE=CE，即而得∠C=∠CBE，由三角形外角性质得到∠AEB=2∠C，再由BA=BE，得∠A=
∠AEB=∠C，则∠ABC=2∠C，进而结合三角形内角和定理，即可求得∠C的度数.
20．已知一次函数.
（1）若图象过一、二、三象限，求的取值范围；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：根据题意，得，
解得
（2）解：分两种情况讨论：①当k＞0，且当x=1时，y≥0，
得，
解得0＜k≤1；
②当k＜0，且当x=2时，y≥0，
得，
解得k＜0.
所以k的取值范围是0＜k≤1或k＜0
【解析】【分析】（1）根据一次函数图象与系数的关系，若图象通过一、二、三象限，可得，解不等式即可求得k的范围；
（2）分两种情况讨论：①当k＞0，且当x=1时，y≥0，②当k＜0，且当x=2时，y≥0，分别列出关于k的不等式组，解之即可求得k的取值范围.
21．如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点
（1）请画出关于原点对称的；
（2）设点与点关于轴对称，将点向上平移个单位长度得到点，使点落在的内部，直接写出点的坐标与的取值范围.
【答案】（1）解：画图如下：
（2）解：(-2，-3)，
【解析】【解答】（2）解：画图如下：
B2的坐标为(-2，-3)，
点B2到A1C1的距离为4，到B1的距离6，
故点B3落在△A1B1C1的内部时，h的取值范围为.
【分析】（1）根据关于原点对称点的特征，即对称点的横纵坐标分别互为相反数，确定A1、B1、C1的坐标，顺次连接A1、B1、C1即可画出△A1B1C1；
（2）根据关于y轴对称点的特征，即纵坐标不变，横坐标为相反数，求得B2的坐标为(-2，-3)，从而得到B2到A1C1的距离，再求得B2到B1的距离，即可得到点B3落在△A1B1C1的内部时h的取值范围.
22．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE。
（1）若∠ADB=40°，求∠E的度数。
（2）若AB=3，CE=5，求AE的长。
【答案】（1）解：如图，连接AC，设AC和BD的交点为O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD∥BC，OA=OB=OC=OD，
又∵CE=BD，
∴AC=CE，
∴∠CAE=∠E，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=40°，
∵OB=OC，
∴∠ACB=∠CBD=40°，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E=40°=2，
∴∠E=20°.
（2）解：由（1）知AC=CE=5，
∴BC= ==4，
∴BE=BC+CE=4+5=9，
∵∠ABE=90°，
∴AE===3.
【解析】【分析】（1）连接AC，设AC和BD的交点为O，根据矩形的性质得出AC=BD，AD∥BC，OB=OC，然后根据平行线的性质求出∠CBD，则可求出∠ACB，最后根据三角形外角的性质求∠E的度数即可；
（2）首先根据勾股定理求出BC长，从而得出BE长，最后在Rt△ABE中利用勾股定理求AE长即可.
23．
（1）解不等式
，并在数轴上表示其解集；
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：去括号，得：2x+3＜6+3x，
移项、合并，得：-x＜3，
系数化为1，得：x＞-3，
数轴表示如下：
（2）解： ，
由①得：x＜ ，
由②得：x≤-1，
则不等式组的解集为x≤-1．
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质及不等式的解法求出解集，再在数轴上表示出解集即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
24．如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.
求：
（1）△ABC的周长；
（2）∠ABC度数.
【答案】（1）解：AB＝ ，
BC＝ ，
AC＝ ，
∴△ABC的周长＝ + +5＝ +5；
（2）解：∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°.
【解析】【分析】（1）利用勾股定理分别求出AB、BC、AC的长，然后求出△ABC的周长=AB+BC+AC的值即可；
（2）根据勾股定理的逆定理进行解答即可.
25．某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？
【答案】（1）解：设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米，
由题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
；
答：甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米；
（2）解：设甲工程队修路天，由题意，得∶
，解得：，
∵为整数，
∴可以取：；
∴共有13种方案；
设共需花费万元，由题意，得：
，
∵，随着的增大而增大，
∴当时，的值最小，
即：甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱．
答：共有13种方案，其中甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱．
【解析】【分析】（1），假设乙工程队每天修路 千米，则甲工程队每天修路千米 ，根据题意列出方程，解方程即可求出答案。
（2） 设甲工程队修路天 ，根据题意列出不等式组，解不等式组求出a的取值范围，结合a为整数，可得出所有的修路方案。 设共需花费万元，由题意列出w关于a的解析式，根据函数性质，即可求出答案。
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