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苏科版八年级下册期中巩固提升卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．13
B．
C．60
D．120
4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
5． 下列各式中，一定能成立的是( )
A． B．
C． D．
6．如图，平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，且，CE交GH于点O，已知，则阴影部分面积S为（ ）
A． B． C． D．
7． 已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是由绕A点旋转得到的，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法中错误的是（ ）
A．中心对称图形的对称中心只有个，而轴对称图形的对称轴可能不止一条
B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形
C．图形在平移过程中，图形上的每一点都移动了相同的距离
D．图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转过了同样长的路程
10．如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，，，，，当四边形是菱形时， ．
12．体育测试中，小进和小俊进行800 m跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40 s.设小俊的速度是x m/s，则所列方程为 .
13．使代数式 有意义的x的取值范围是 .
14．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ．
15．已知，则的值是 ．
16． 如图，已知菱形的边长为6，且，点分别在边上，将菱形沿折叠，使点B正好落在边上的点G处．若，则的长为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
18．一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为cm，宽为cm的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个高为cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了cm．
（1）求从塑料容器中倒出的水的体积；
（2）求圆柱形玻璃容器的底面半径．（参考数据：取3）
19．电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．
（1）当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；
（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？
20．“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数最是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元。
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
21．
（1）已知a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，求代数式a2b﹣ab2的值.
（2）化简求值： ，其中x＝ ﹣2.
22．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线AC上的一点，过点B作BQ∥AC，且BQ＝CP，连接PD，PQ，AQ．
（1）求证：△PDC≌△QAB；
（2）若PA平分∠DPQ，求证：四边形AQPD为菱形．
23．某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长8千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50≤x≤100时具有一次函数关系，如表所示：
x（天） 60 80 100
y（万元） 45 40 35
（1）直接写出y关于x的函数解析式是 ；
（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修3千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了21天，求原计划每天的修建费？
24．如图①，在正方形中，，点分别在上．
（1）如图②，平移，使点与重合，若，求证：；
（2）如图③，将正方形沿翻折，使点落在上的点处，若，则 ．
25．小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难.
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦.
小明说：可将分式与分数进行类比.本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和.比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）.类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题.
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苏科版八年级下册期中巩固提升卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵邻边相等的平行四边形为菱形，
∴有两边相等的平行四边形是菱形这个说法错误，是假命题， 则本项不符合题意；
B、∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴ 有一个角是直角的四边形是矩形 这个说法错误，是假命题，则本项不符合题意；
C、∵四个角相等的四边形是矩形，而既是矩形又是菱形的四边形是正方形，
∴ 四个角相等的菱形是正方形这个说法正确，是真命题，则本项符合题意；
D、∵两条对角线相等的平行四边形是矩形，
∴ 两条对角线相等的四边形是矩形 这个说法错误，是假命题，则本项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据菱形、矩形和正方形的判定定理逐项分析判断即可求解.
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，
，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的被开方数不为负数列式计算即可.
3．如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．13
B．
C．60
D．120
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
根据折叠的性质可得∠AEH=∠MEH，∠BEF=∠FEM，
∴∠AEH+∠BEF=∠MEH+∠FEM，
∴∠HEF=90°，
同理得∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90 ，
∴四边形EHFG是矩形，
由折叠的性质得：S矩形ABCD=2S矩形HEFG=2×EH×EF=2×5×12=120；
故答案为：D.
【分析】先利用折叠的性质可得∠AEH=∠MEH，∠BEF=∠FEM，再利用角的运算和等量代换可得∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90 ，证出四边形EHFG是矩形，最后求出S矩形ABCD=2S矩形HEFG=2×EH×EF=2×5×12=120即可.
4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
【答案】D
【解析】【解答】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故答案为：D．
【分析】连接AC，先证出△ABC是等边三角形，可得AB＝BC＝AC＝20cm，再证出△ABC是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得AC＝AB＝20cm.
5． 下列各式中，一定能成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】 A：，当x<3时不成立；
B： ，当a<0时不成立；
C： ，当x<1时不成立；
D： 成立；
故D正确，A、B、C错误.
故答案为：D
【分析】二次根式运算性质成立条件考查，二次根式的乘法
根据以上规则不难得出正确答案。
6．如图，平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，且，CE交GH于点O，已知，则阴影部分面积S为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，，
∴，
∴.
∴在△OHE和△OBC中，，
∴△EHO≌△CBO.
∴.
∴阴影部分的面积：，
∵平行四边形EFGH的面积为b，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质和三角形全等将阴影部分OBC的面积转化为三角形OHE的面积，从而将阴影部分的面积转化为三角形HEG面积，根据平行四边形的性质即可求出三角形HEG面积，从而求出阴影部分面积.
7． 已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
∴=±，
∵ 0＜x＜1，
∴ 0＜＜1，
∴＞1，
∴＜0，
∴=-.
故答案为：B.
【分析】先取的平方，再将 的值求得的值，再根据x的取值范围求得＜0，即可确定的值.
8．如图，是由绕A点旋转得到的，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠C=45°，∠B=90°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=45°，
∵∠CAD=8°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=53°，
即旋转角的度数为53°；
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理可得∠BAC=180°-∠C-∠B=45°，从而求出∠BAD=∠BAC+∠CAD=53°，即得旋转角的度数.
9．下列说法中错误的是（ ）
A．中心对称图形的对称中心只有个，而轴对称图形的对称轴可能不止一条
B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形
C．图形在平移过程中，图形上的每一点都移动了相同的距离
D．图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转过了同样长的路程
【答案】D
【解析】【解答】解： A、中心对称图形的对称中心只有个，而轴对称图形的对称轴可能不止一条，说法正确，故不符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形 ，说法正确，故不符合题意；
C、图形在平移过程中，图形上的每一点都移动了相同的距离 ，说法正确，故不符合题意；
D、图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转过了相同的角度 ，说法错误，故符合题意；
故答案为：D
【分析】根据图形的轴对称性、中心对称性、平移的性质及旋转的性质分别判断即可.
10．如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，
∴此结论正确；
②∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，
∴此结论错误；
③∵S ABCD=AB AC=AC CD，
∴此结论正确；
④∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S ABCD=3：8，
∵S△AOD：S ABCD=1：4，
∴．
∴此结论正确；
综上可得，其中成立的个数有3个.
故答案为：C．
【分析】①由题意，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABE为等边三角形，由等边三角形的性质并结合已知即可求解；
②由①的结论易得∠BAC=90°，根据直角三角形中斜边大于直角边即可判断求解；
③由平行四边形的面积公式和三角形中线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”并结合三角形的面积公式可判定求解．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，，，，，当四边形是菱形时， ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，
四边形是菱形，
，，
，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】连接，交于点，根据菱形的性质易知，，利用等面积法和勾股定理，分别求出，，的长度，从而求出的长度．
12．体育测试中，小进和小俊进行800 m跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40 s.设小俊的速度是x m/s，则所列方程为 .
【答案】-=40
【解析】【解答】解：设小俊的速度是x m/s，则小进的速度是1.25xm/s，
根据题意，得：.
故答案为：。
【分析】设小俊的速度是x m/s，则小进的速度是1.25xm/s，根据 小进比小俊少用了40 s，即可得出方程。
13．使代数式 有意义的x的取值范围是 .
【答案】x≥0
【解析】【解答】解：若该代数式有意义则，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件．根据分式有意义的条件列出，根据二次根式有意义的条件列出，联立可得不等式组，解不等式组可求出答案．
14．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：，
∵是整数，
∴n的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】根据，再结合二次根式的性质可得n的最小值是5。
15．已知，则的值是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：可化为，
则，
故答案为：2．
【分析】根据，可得，再求出即可。
16． 如图，已知菱形的边长为6，且，点分别在边上，将菱形沿折叠，使点B正好落在边上的点G处．若，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，设与交于点，交于点．
∵ 四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形的高，
即为等边三角形的高，
∴．
故答案为：.
【分析】先根据菱形的性质得到∠B，∠D，进而得到是等边三角形，通过角的关系计算出∠AGH=90°，最后利用勾股定理求出即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝5．
【解析】【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案。
18．一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为cm，宽为cm的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个高为cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了cm．
（1）求从塑料容器中倒出的水的体积；
（2）求圆柱形玻璃容器的底面半径．（参考数据：取3）
【答案】（1）解：由题意可得：从塑料容器中倒出的水的体积为：
；
（2）解：设圆柱形玻璃容器的底面半径为：，
∴，
∴，
解得：，（负根舍去），
∴圆柱形玻璃容器的底面半径为．
【解析】【分析】（1）长方体的体积=长×宽×高，据此计算即可；
（2）设圆柱形玻璃容器的底面半径为，根据圆柱的体积=从塑料容器中倒出的水的体积 ，列出方程并解之即可.
19．电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．
（1）当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；
（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？
【答案】（1）解：由题意10（4n-2）＝30n，
解得，n＝2，
设y＝．
∵过点（10，6），
∴m＝xy＝10×6＝60．
∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为：；
（2）解：∵过点（30，2），
∵温度每上升1℃，电阻增加kΩ．
∴过点（31，2），
∴，
解得：，
故y与x的关系式为：y＝x-4，
，当y＝5时，得x＝12；
y＝x-4，当y＝5时，得x＝45；
答：温度x取值范围是：12≤x≤45．
【解析】【分析】（1）由题意可设：当10≤x≤30时，y=，将（10，4n-2）、（30，n）代入可得n、m的值，据此可得对应的函数关系式；
（2）由图象过点（30，2）以及温度每上升1℃，电阻增加kΩ可得一次函数的图象过点（31，2），利用待定系数法可得对应的函数关系式，分别令一次函数、反比例函数解析式中的y=5，求出x的值，进而可得x的范围.
20．“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数最是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元。
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
【答案】（1）解：设第一批每套的进价为x元，则第二批每套的进价为(x+10)元，由题意可得×1.5=，
解得x=50.
经检验：x=50是分式方程的解.
答：第一批玩具每套的进价为50元.
（2）解：设每套的售价为y元，则第一批的数量为=50（套），第二批的数量为×1.5=75（套），
由题意可得50y+75y-2500-4500≥(2500+4500)×25%，
解得y≥70.
答：每套售价至少是70元.
【解析】【分析】（1）设第一批每套的进价为x元，则第二批每套的进价为(x+10)元，第一批的数量为，第二批的数量为，然后根据第二批所购数最是第一批数量的1.5倍建立方程，求解即可；
（2）设每套的售价为y元，根据第一批、第二批的进价可求出第一批、第二批的套数，然后根据售价×第一批的套数+售价×第二批的套数-第一批的费用-第二批的费用≥总费用的25%建立不等式，求解即可.
21．
（1）已知a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，求代数式a2b﹣ab2的值.
（2）化简求值： ，其中x＝ ﹣2.
【答案】（1）解：∵a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，
∴ab＝（3+2 ）（3﹣2 ）＝1，
a﹣b＝（3+2 ）﹣（3﹣2 ）＝4 ，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）=1×4 ＝4
（2）解：原式＝（ ）×
＝ ×
＝ ，
当x＝ ﹣2时，原式＝ ＝
【解析】【分析】（1）先求出a-b，ab的值，再将原式变形为 a2b﹣ab2＝ab（a﹣b） ，然后代入计算即可；
（2）将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
22．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线AC上的一点，过点B作BQ∥AC，且BQ＝CP，连接PD，PQ，AQ．
（1）求证：△PDC≌△QAB；
（2）若PA平分∠DPQ，求证：四边形AQPD为菱形．
【答案】（1）证明：∵BQ∥AC，BQ=CP，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∴∠PCB+∠ABC+∠ABQ=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠PCD+∠PCB+∠ABC=180°，CD=AB，
∴∠PCD=∠ABQ，
∴在△PDC和△QAB中，
，
∴．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵四边形BCPQ是平行四边形，
∴PQ∥BC，PQ=BC，
∴AD∥PQ，AD=PQ，
∴四边形DAQP是平行四边形，∠DAP=∠APQ，
又∵PA平分∠DPQ，
∴，
∴DA=DP，
∴四边形AQPD为菱形．
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得CD=AB，∠PCD=∠ABQ，再利用“SAS”证明
即可；
（2）先证明四边形DAQP是平行四边形，∠DAP=∠APQ，再证明DA=DP即可证明四边形AQPD为菱形。
23．某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长8千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50≤x≤100时具有一次函数关系，如表所示：
x（天） 60 80 100
y（万元） 45 40 35
（1）直接写出y关于x的函数解析式是 ；
（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修3千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了21天，求原计划每天的修建费？
【答案】（1）y＝ +60
（2）解：设原计划修完这条路需要m天，
根据题意得：
解得m＝56，
经检验m＝56是原方程的根，
∵50≤m≤100，
∴y＝ ×56+60＝46（万元），
答：原计划每天的修建费是46万元．
【解析】【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象过点（60，45），（80，40），
∴，
解得：
；
∴y关于x的函数解析式为y＝
+60．
故答案为：y＝
+60；
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2） 设原计划修完这条路需要m天， 根据计划前后每天的工作量不变建立方程并求解，即得计划的时间，然后将其代入（1）的解析式中即可得解.
24．如图①，在正方形中，，点分别在上．
（1）如图②，平移，使点与重合，若，求证：；
（2）如图③，将正方形沿翻折，使点落在上的点处，若，则 ．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴．
（2）
【解析】【解答】 解：（2）∵四边形 是正方形，
∴ ，
根据折叠可知， ，设 ，则 ，且 ，
∴在 中， ，即 ，
解得， ，
如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，设点 的对称点为 ，
∴四边形 ， 是矩形，
∴ ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
∴在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．
【分析】（1）先根据正方形的性质即可得到，进而结合题意即可得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）先根据正方形的性质得到 ，再根据折叠的性质得到 ，设 ，则 ，且 ，进而根据勾股定理即可求出a，连接 ，过点 作 于点 ，设点 的对称点为 ，根据矩形的性质得到 ， ， ，设 ，则 ， ， ，再根据题意运用勾股定理即可求解。
25．小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难.
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦.
小明说：可将分式与分数进行类比.本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和.比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）.类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题.
【答案】（1）解：当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，
∴x＝0，﹣2，2，﹣4.
（2）解：＝3﹣，
当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，
∴x＝0，﹣2，4，﹣6.
【解析】【分析】（1）当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，求解即可；
（2）对进行变形可得3-，当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，求解即可.
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