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湘教版八年级下册期中质量检测卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，12 B． C．5，12，13 D．
2．如图，平行四边形ABCD中，∠ADC 的平分线交BC于E，若AD=8，BE=2，则AB=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知四边形ABCD中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，于H，，则HE等于（ ）
A．4 B．5 C． D．
5．在中，的度数比值可能是（ ）
A．1：2：3：4 B．2：1：2：1 C．1：2：2：1 D．1：1：2：2
6． 如图1，在菱形中，对角线相交于点O，要在对角线AC上找两点E，F，使得四边形是菱形，现有如图2所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
7． 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A． B．
C． D．
8． 如图，在中，，点D为的中点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如果正方形的对角线长是，则它的边长是（ ）
A．2 B． C．2 D．1
10．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．笔直的公路，，如图所示，，互相垂直，的中点D与点C被建筑物隔开，若测得的长为，的长为，则C，D之间的距离为 ．
12．在中，的平分线交直线于点，，，则的周长为 ．
13．如图，在正方形中，，则的度数是 ．
14．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地高度米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.5米的学生正对门，走到离门1.6米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为 米.
15．如图，点B为x轴上的一个动点，点A的坐标为，点C的坐标为，轴于E点，当点B的坐标为 时，为直角三角形．
16．如图，在 ABCD两对角线A，BD相交于点O，且AC+BD=36，AB=11，则△COD的周长是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 如图，在□中，以点为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）求证：四边形ADEF是菱形；
（2）若AD＝10，△AED的周长为36，则菱形ADEF的面积是 ．
18．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，．
（1），求的度数；
（2）若，，求的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE，EF.
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
20．如图，一块四边形花圃中，已知，，，，.
（1）求四边形花圃的面积；
（2）求到的距离．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形.
（2）①在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、、，
②判断此三角形的形状并求出它的面积.
22．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，，连接.
（1）求证：是等边三角形：
（2）若，求的长.
23．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CEAB交DF的延长线于点E，连接AE，CD.
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°， ，求AB的长.
24．已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.
（1）求证：△AFD≌△CEB.
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形.
25．如图，在正方形和中，点B，C，G在同一条直线上，P是线段的中点，连接，连接并延长，交于点Q．请证明：
（1）四边形是矩形．
（2）当时，四边形是正方形．
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湘教版八年级下册期中质量检测卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，12 B． C．5，12，13 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵62+82≠122，故不能组成直角三角形，∴A错误；
B、∵，故不能组成直角三角形，∴B错误；
C、∵52+122=132，故能组成直角三角形，∴C正确；
D、∵，故不能组成直角三角形，∴D错误．
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
2．如图，平行四边形ABCD中，∠ADC 的平分线交BC于E，若AD=8，BE=2，则AB=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=8，
∴，AD=BC=8，AB=CD，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CD=CE，
∴AB=CE，
∵BE=2，
∴EC=BC－BE=8－2=6，
∴AB=6．
故答案为：D．
【分析】先利用平行线和角平分线的定义及等量代换可得∠DEC=∠CDE，再利用等角对等边的性质及等量代换可得AB=CE，最后利用线段的和差求出EC=BC－BE=8－2=6，从而可得AB的长.
3．已知四边形ABCD中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为： 由∠A=∠B=∠C=90°，可以判定四边形ABCD为矩形，
因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，
故答案为：D.
【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形.
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，于H，，则HE等于（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵D、F分别是BC、AB边的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴AC=2DF=2×5=10，
∵AH⊥BC于H，
∴△AHC为直角三角形，
在Rt△AHC中，E为斜边AC的中点，
则HE=AC=5.
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解答即可.
5．在中，的度数比值可能是（ ）
A．1：2：3：4 B．2：1：2：1 C．1：2：2：1 D．1：1：2：2
【答案】B
【解析】【解答】解： 在中，∠A=∠C，∠B=∠D，
∴的度数比值可能是 2：1：2：1 .
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠B=∠D，据此判断即可.
6． 如图1，在菱形中，对角线相交于点O，要在对角线AC上找两点E，F，使得四边形是菱形，现有如图2所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【答案】C
【解析】【解答】解：方案甲：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD.
∵AE=CF，
∴AO－AE=CO－CF，
即EO=FO.
又∵DO=BO，
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵AC⊥BD.，
∴四边形BEDF是菱形.
故方案甲是对的.
方案乙：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，BO=DO，AC⊥BD.
∴∠ADB=∠CBD.
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴
又∵∠DOE=∠BOF，DO=BO，
∴△DOE≌△BOF(ASA).
∴OE=OF.
∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵AC⊥BD.，
∴四边形BEDF是菱形.
故方案乙是对的.
故答案为：C.
【分析】方案甲：证明OE=OF，再结合菱形的性质即可证明四边形BFDE是菱形；方案乙，先证明△DOE≌△BOF，得到OE=OF，再结合菱形的性质即可证明四边形BFDE是菱形.
7． 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、S表示最大正方形的面积，故S=15+5=20≠10，故选项A不符合题意；
B、S表示最大正方形的面积，故S=8+5=13≠10，故选项B不符合题意；
C、S表示最小正方形的面积，故S=8-6=2≠10，故选项C不符合题意；
D、S表示小正方形的面积，故S=15－5=10，故选项D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意和勾股定理：两个小正方形中的数字和等于大正方形中的数字，据此判断即可.
8． 如图，在中，，点D为的中点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】【解答】解： 在中，，
∴△ABC是直角三角形，且AB为斜边.
∵，
∴.
故答案为：
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质计算即可.
9．如果正方形的对角线长是，则它的边长是（ ）
A．2 B． C．2 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：设这个正方形的边长为x，
这个正方形的对角线长是，
，
解得：x=1，
这个正方形的边长为1.
故答案为：D.
【分析】先设这个正方形的边长为x，再利用勾股定理建立方程求解即可.
10．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
【答案】A
【解析】【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
【解答】A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选A．
【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．笔直的公路，，如图所示，，互相垂直，的中点D与点C被建筑物隔开，若测得的长为，的长为，则C，D之间的距离为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，互相垂直，
∴，为直角三角形，
由勾股定理得，
∵D为的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得.
12．在中，的平分线交直线于点，，，则的周长为 ．
【答案】14或18
【解析】【解答】解：如图1，当点E在边AD上时，在 中 ，AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4，
∵DE=1，∴AD=AE+DE=4+1=5，
∴的周长为 2（AB+AD）=2×（4+5）=18；
如图2，当点E在边AD的延长线上时，同理可得AE=AB=4，
∴AD=AE-DE=4-1=3，
∴的周长为 2（AB+AD）=2×（4+3）=14；
故答案为：14或18.
【分析】分两种情况：当点E在边AD上时和点E在边AD的延长线上时，利用平行线的性质及等腰三角形的性质分别求出AD，再求出平行四边形的周长即可.
13．如图，在正方形中，，则的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在正方形中，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】先利用正方形的性质及三角形的内角和求出，最后利用邻补角求出即可．
14．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地高度米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.5米的学生正对门，走到离门1.6米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为 米.
【答案】2
【解析】【解答】解：过点作，垂足为点，如图所示，
由题意可知，米，米，
∴米，
∴ 学生头顶离感应器的距离为米．
故答案为：．
【分析】过点作，根据勾股定理计算出AD即可.
15．如图，点B为x轴上的一个动点，点A的坐标为，点C的坐标为，轴于E点，当点B的坐标为 时，为直角三角形．
【答案】，，
【解析】【解答】解：设点B的坐标为（x，0），分三种情况：
第一种AB为斜边
勾股定理得
解得：
第二种AC为斜边
勾股定理得
解得：
第三种BC为斜边
勾股定理得
解得：
点B得坐标是（）、（2，0）、（-3，0）
故答案为：（）、（2，0）、（-3，0）
【分析】分类讨论：①第一种AB为斜边，②第二种AC为斜边，③第三种BC为斜边，再分别利用勾股定理求解即可。
16．如图，在 ABCD两对角线A，BD相交于点O，且AC+BD=36，AB=11，则△COD的周长是 ．
【答案】29
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=11，
∴OC+OD=（AC+BD）=18，
∴△OCD的周长=OC+OD+CD=18+11=29．
故答案为：29．
【分析】利用平行四边形的对边相等，可求出CD的长，再利用平行四边形的对角线互相平分可求出OC+OD的长，然后求出△OCD的周长.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 如图，在□中，以点为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）求证：四边形ADEF是菱形；
（2）若AD＝10，△AED的周长为36，则菱形ADEF的面积是 ．
【答案】（1）证明 ∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，∠AED=∠BAE．
∵，
∴．
∴四边形ADEF是平行四边形．
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE．
∴∠AED=∠DAE．
∴ AD=DE．
∴平行四边形是菱形．
（2）96
【解析】【解答】解：（2）连接DF交AE于点O，
∵ 四边形是菱形 ，AD=10，
∴DE=AD=10，DF⊥AE，AO=OE，DO=OF，
∵ △AED的周长为36 ，
∴AE=36-10-10=16，
∴AO=8，
∴DO==6，
∴DF=2DO=12，
∴ 菱形ADEF的面积为；
故答案为：96.
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，， 结合已知可得，可证四边形ADEF是平行四边形，由作图知AE平分∠BAD ，利用角平分线的定义及平行线的性质可推出 ∠AED=∠DAE，可得AD=DE，根据菱形的判定定理即证结论；
（2）根据菱形的性质及△AED的周长 ，可得DE=AD=10，DF⊥AE，AO=OE=8，DO=OF，利用勾股定理求出DO，即得DF，根据菱形ADEF的面积为进行计算即可.
18．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，．
（1），求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：垂直平分，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，
，
在中，，
，
又，
在中，，
；
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AE=AC，利用等腰三角形的性质可得，根据三角形外角的性质可得∠AEC=54°，利用等腰三角形的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）由等腰三角形三线合一的性质可得ED=CD=3，利用勾股定理求出AE=5，即得DB=DE+EB=8.再利用勾股定理求出AC的长即可.
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE，EF.
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）解：能．
理由：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60－4t＝2t，解得t＝10.
∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形；
（2）解：①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，
解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
即60－4t＝4t，解得t＝；
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，
D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形
【解析】【分析】(1)先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，根据菱形的性质即可求解；
（2）分三种情形讨论，①当∠DEF＝90°时，②当∠EDF＝90°时，③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
20．如图，一块四边形花圃中，已知，，，，.
（1）求四边形花圃的面积；
（2）求到的距离．
【答案】（1）解：连接，
∵，，，
∴m，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形花圃的面积
∴四边形花圃的面积是；
（2）解：过点C作于E，
∵，
∴，
∴，
∴到的距离是．
【解析】【分析】（1）连接，勾股定理求得，进而根据勾股定理逆定理得出 是直角三角形，且， 进而根据三角形的面积公式即可求解；
（2）过点C作于E，根据等面积法即可求解．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形.
（2）①在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、、，
②判断此三角形的形状并求出它的面积.
【答案】（1）解：∵正方形面积为5，
∴边长为，
如图1，正方形ABCD即为所求；
（2）解：①由题意可知，，
如图，△ABC即为所求.
②∵，
∴此三角形是等腰直角三角形，
，
∴三角形是等腰直角三角形，面积为5.
【解析】【分析】（1）先以勾股定理，结合网格找出一边为，然后以此边长作正方形即可；
（2） ① 利用勾股定理，结合网格画出一个三角形使三边长分别为、、即可；
② 根据勾股定理的逆定理，即最大边的平方等于较小两边的平方和，进行判断即可.
22．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，，连接.
（1）求证：是等边三角形：
（2）若，求的长.
【答案】（1）证明：∵DE垂直平分AB，
∴D是AB的中点，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，，
∴△BCD是等边三角形
（2）解：∵△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴∠DCA=30°，
∵DE垂直平分AB，
∴∠ADE=∠BDE=90°，
∴∠CDE=30°=∠DCE，
∴CE=DE=1
【解析】【分析】（1）由垂直平分线性质得D是AB中点，由直角三角形性质得∠B=60°，CD=BD=AD=AB，即可证明△BCD是等边三角形；
（2）由等边三角形性质得∠BCD=∠BDC=60°，即得∠DCA=30°，由垂直平分线性质得 ∠ADE=∠BDE =90°，从而得∠CDE=30°=∠DCE，根据含30°角直角三角形的性质得 ，进而求得CE的长.
23．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CEAB交DF的延长线于点E，连接AE，CD.
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°， ，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵ABCE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED.
∵F是AC中点，
∴AF＝CF.
在△AFD与△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠CAB＝45°，
∴，
在△ACG中，∠AGC＝90°，
∴，
∵，
∴CG＝AG＝ ，
∵∠B＝30°，
∴ ，
∴ ，
在Rt△BCG中， ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，根据中点的概念可得AF＝CF，证明△AFD≌△CFE，得到DF＝EF，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，易得AG=CG，结合勾股定理可得AG、CG的值，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC，然后利用勾股定理求出BG，据此计算.
24．已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.
（1）求证：△AFD≌△CEB.
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】（1）解：∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF.
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
（2）解：由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠DFE=∠BEF，利用SAS证明△AFD≌△CEB.
（2）利用全等三角形的性质可得到∠DAC=∠BCA，AD=BC，利用平行线的判定定理可证得AD∥BC；然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
25．如图，在正方形和中，点B，C，G在同一条直线上，P是线段的中点，连接，连接并延长，交于点Q．请证明：
（1）四边形是矩形．
（2）当时，四边形是正方形．
【答案】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴平行四边形 是矩形；
（2）证明：在正方形 和 中，点B，C，G在同一条直线上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵P是线段 的中点，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形．
【解析】【分析】
（1）根据正方形的性质和平角的定义证明∠GCE=90°即可证明平行四边形ECGF是矩形；
（2）如图所示，先利用ASA证明△APQ≌△FPE，得到AQ=EF，QP=PE， 再由正方形的性质得到DE=DG，进一步证明△PDQ≌△PDE，得到EC=EF， 从而运用“一组邻边相等的矩形为正方形”来解答。
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